辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学

高二考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，，则（）A8 B.11 C.18 D.192.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A. B. C. D.3.已知数列满足，则（）A.2 B. C.5 D.4.定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（）A. B.C. D.5.已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（）A B.C. D.6.已知等差数列的前项和为，则（）A14 B.26 C.28 D.327.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A. B.C. D.8.已知等比数列前项和为，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知，函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.11.已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（）A.B.C.恒成立D.若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若函数的导函数为，则__________.13.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.14.以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.16.已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.（1）证明：.（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有个零点，求的取值范围.18.已知数列满足.（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19.已知函数（1）若求曲线在点处的切线方程．（2）若证明：在上单调递增．（3）当时，恒成立，求的取值范围．高二考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，，则（）A.8 B.11 C.18 D.19【答案】D【解析】【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果.【详解】由，得.故选：D2.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值.【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.故选：A3.已知数列满足，则（）A.2 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】求出，可得是以2为周期的周期数列，求得.【详解】由，可得，所以数列是以2为周期的周期数列，故.故选：D4.定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对各选项求导，结合题意即可得出答案.【详解】对于A，，，无法判断单调性，故A错误；对于B，，，无法判断单调性，故B错误；对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确；对于D，，，无法判断单调性，故D错误.故选：C.5.已知函数的部分图象如图所示，为的导函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由导数的意义和斜率的定义得到正确结果.【详解】

由导数的意义可知，和分别表示图像上点切线的斜率，所以由图像可知，，而表示过点直线的斜率，由图像可知，，故选：D.6.已知等差数列的前项和为，则（）A.14 B.26 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，，可求得，利用前项和公式可求.【详解】设等差数列的公差为，则，则，所以.故选：B.7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.【详解】在曲线上任取一点，，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得，令函数，则.当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.设，所以，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，，所以，的图象如图：由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B8.已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果．【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，即，因，所以，解得，所以，所以，当为奇数时，，所以，当为偶数时，，所以，所以.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式计算判断各选项.【详解】因为，所以错误；因为，所以正确；因为，所以错误；因为，所以D正确.故选：BD10.已知，函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误.【详解】对于A，当时，，，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，又，A正确；对于B，当时，，，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，又，B正确；对于C，当时，，，，的定义域为，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，，在上单调递减，且当时，恒成立；由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；又图象关于轴对称，为偶函数，，此时图象应为B中图象，D错误.故选：ABC.11.已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（）A.B.C.恒成立D.若，关于不等式恰有两个解，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】知数列与的关系式，即可判断A，构造数列的地推关系，即可判断B；首先求解数列的通项公式，再判断单调性，即可判断C；并求解数列的最值，并根据恰有两个解，判断D.【详解】当时，，即，所以.当时，，所以，即.因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故A正确；由，得，则，所以数列为常数列，所以，即，故B错误；故.当时，，令，可得，令，可得，所以，则当或时，取得最大值，故C正确；，因为关于的不等式恰有两个解，所以的取值范围为，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题第D选项的判断的关键是首先判断函数的单调性和最值，并结合临界值比较大小，即可确定的取值范围.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若函数的导函数为，则__________.【答案】【解析】【分析】求函数的导数，令，求出，得到的解析式，再令，即可得到.【详解】由题意得，令，得，则，所以.故答案为：.13.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为__________.【答案】##0.064【解析】【分析】根据条件求得，，当时，有最小值，计算求得满足此不等关系的项.【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则，解得，则，所以.易知当时，，当时，，故的最小值为.故答案为：14.以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据的结构特征，可构造函数，利用导数判断其单调性，即可比较的大小关系，再结合作商法比较大小，即可求得答案.【详解】构造函数，则.，当时，，则在上单调递减，而，故，所以.又，，所以，故.故答案为：；四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.【答案】（1）（2）22（3）【解析】【分析】（1）由已知可得，利和长方体的体积公式可求；（2）由平均变化率的定义可得，计算可得平均变化率；（3）由，可求，进而求得可得在处的瞬时变化率.【小问1详解】（1）因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】若自变量从变到，则的平均变化率为.【小问3详解】由，得.，则，所以在处的瞬时变化率为30.16.已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.（1）证明：.（2）已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.【答案】（1）证明见解析（2）185【解析】【分析】（1）设数列的公差为，由等差中项的性质可得，再由等比数列和等差数列的性质代入化简即可得出答案；（2）先求出数列和的通项公式，分析得，从而得解.【小问1详解】设数列的公差为，因为是和的等差中项，是和的等差中项，所以，，所以，解得，得证.【小问2详解】因为，所以..为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项.因为，，所以的前100项中，含有7个，所以.17已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导可得，利用导函数分类讨论可求单调区间；（2）若，求得零点，可判断不符合题意，由有3个零点，结合（1）可得，可求的取值范围.【小问1详解】，当时，恒成立，所以在上单调递增.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，上单调递减.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，，令，解得或，不符合题意，故，由（1）可知，又有3个零点，所以，.由，所以，因，所以，可得或或，即的取值范围为.18.已知数列满足.（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据所给条件推导出，即可求出的通项公式，再分奇、偶讨论，求出的通项公式；（2）由（1）可得，再利用分组求和与错位相减法求出，最后再分奇、偶讨论，求出.【小问1详解】由题可知，当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，当为偶数时，，当为奇数时，，故.【小问2详解】由（1）可得，所以，记，①则，②①②得，所以，则，所以当为偶数时，，当为奇数时，.故.19.已知函数（1）若求曲线在点处的切线方程．（2）若证明：在上单调递增．（3）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案；（2）对求导，令证明在上恒成立即可.（3）在上恒成立等价于，分类讨论和，令求出的单调性可得，分离参数，令求出即可得出答案.【小问1详解】因为所以则又所以曲线在点处的切线方程为即【小问2详解】证明：因为所以则令则当时，单调递增，故当时，单调递增，当时，单调递减，故．从而在上恒成立，则在上单调递增.【小问3详解】解：在上恒成立等价于在上