人教B版高中数学选修2-2133导数的实际应用测试（教师版）

导数的实际应用（检测教师版）时间:50分钟总分：80分班级：姓名：选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N＋)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大()A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【解析】年平均利润f(x)＝eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12(x∈N＋)，又f′(x)＝－1＋eq\f(25,x2)，令f′(x)＝0，解得x＝5.又极值唯一，故选C.2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为()A．6cm B．8cmC．10cm D．12cm【答案】B【解析】设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.其中0<x<24，V′(x)＝12x2－384x＋482＝12(x2－32x＋192)令V′(x)＝0，则x2－32x＋192＝0，∴x1＝8，x2＝24(舍去)．在(0,24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大．故选B.3．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为()A．32m2 B．14m2C．16m2 D．18m2【答案】C【解析】设矩形的长为x米，则宽为8－x，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝42＝16.故选C.4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400,80000x>400))，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100 B．200C．250 D．300【答案】D【解析】由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－200000≤x≤400,60000－100xx>400)).P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x0≤x≤400,－100x>400)).令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．故选D.5．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．eq\f(1,2)πr2【答案】A【解析】如图所示，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，∴S′＝4πr(cos2θ－sin2θ)＝0，∴θ＝eq\f(π,4)，即当θ＝eq\f(π,4)，R＝eq\f(\r(2)r,2)时，S侧最大，且最大值为2πr2.故选A.6．某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A．3216 B．3015C．4020 D．3618【答案】A【解析】要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为xm，则长为eq\f(512,x)m，因此新墙总长为L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，则L′＝2－eq\f(512,x2)，令L′＝0得x＝±16，又x>0，∴x＝16，则当x＝16时，Lmin＝64，∴长为eq\f(512,16)＝32(m)．故选A.填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．【答案】1515【解析】设矩形的长为xcm，则宽为eq\f(60－2x,2)＝(30－x)cm(0<x<30)，矩形的面积S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝2(15－x)，令S′＝0得x＝15，当0<x<15时S′>0，当15<x<30时S′<0，∴当x＝15时，S取极大值，这个极大值就是最大值，故当矩形长为15cm，宽为15cm时面积最大．8．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．【答案】115【解析】利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，(30≤x≤200)S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．9．货车欲以xkm/h的速度行驶去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是[50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．【答案】18eq\r(10)km/h26eq\r(10)元【解析】行车的总费用y＝eq\f(130,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))×2＋eq\f(130,x)×14＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x，y′＝eq\f(13,18)－eq\f(2340,x2)令y′＝0，解得x＝18eq\r(10)∈[50,100]．∴当x＝18eq\r(10)(km/h)时，总费用最低，且ymin＝26eq\r(10)(元)．10．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．【答案】eq\f(3R,2)【解析】设∠OBC＝θ，则0<θ<eq\f(π,2).OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0∴cos2θ＝sinθ，∴θ＝eq\f(π,6)，即当θ＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积最大，此时高为OA＋OD＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3R,2).三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋eq\f(101,50)x－blneq\f(x,10)，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．【解析】(1)由条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a×102＋\f(101,50)×10－bln1＝19.2，,a×302＋\f(101,50)×30－bln3＝50.5，))解得a＝－eq\f(1,100)，b＝1，则f(x)＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(101,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(51,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)，则T′(x)＝eq\f(－x,50)＋eq\f(51,50)－eq\f(1,x)＝－eq\f(x－1x－50,50x)，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－eq\f(502,100)＋eq\f(51,50)×50－lneq\f(50,10)＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.12．已知某厂生产x件产品的总成本为f(x)＝25000＋200x＋eq\f(1,40)x2(元)．(1)要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？【解析】(1)设生产x件产品的平均成本为y元，则y＝eq\f(25000＋200x＋\f(1,40)x2,x)＝eq\f(25000,x)＋200＋eq\f(1,40)x(x>0)y′＝－eq\f(25000,x2)＋eq\f(1,40)令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)当x∈(0,1000)时，y取得极小值．由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数L(x)＝500x－(25000＋200x＋eq\f(x2,40))＝300x－25000－eq\f(1,40)x2L′(x)＝300－eq\f(x,20)令L′(x)＝0，得x＝6000当x∈(0,6000)时，L′(x)>0当x∈(6000，＋∞)时，L′(x)<0，∴x＝6000时，L(x)取得极大值，即函数在该点取得最大值，因此要使利润最大，应生产6000件产品．13．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽视不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解析】设污水处理池的长为xm，则宽为eq\f(200,x)m，再设总造价为y元，则有(1)y＝2x×400＋eq\f(200,x)×2×400＋248×2×eq\f(200,x)＋80×200＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000≥2eq\r(800x·\f(259200,x))＋16000＝2×14400＋16000＝44800，当且仅当800x＝eq\f(259200,x)，即x＝18(m)时，y取得最小值．∴当污水处理池的长为18m，宽为eq\f(100,9)m时总造价最低，为44800元．(2)∵0<x≤16,0<eq\f(200,x)≤16，∴12.5≤x≤16，x≠18，∴不能用基本不等式．但我们可用函数单调性定义或导数证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．由(1)知，y＝φ(x)＝800(x＋eq\f(324,x))＋16000(12.5≤x≤16)．方法1：利用定义证明单调性．对任意x1，x2∈[12.5,16]，设x1<x2，则φ(x1)－φ(x2)＝800[(x1－x2)＋324·(eq\f(1,x1)－eq