51任意角和弧度制-重点强化提升（知识点典型例题针对练习高考真题）讲义-2025年高三数学一轮复习

5.1任意角和弧度制知识知识归纳任意角的概念与弧度制1、将沿轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为轴上角：轴上角：3、第一象限角：｛α|0°+k360°<α<90°+k360°}（kZ）第二象限角：第三象限角：第四象限角：4、区分第一象限角、锐角以及小于的角第一象限角：｛α|0°+k360°<α<90°+k360°}（kZ）锐角：｛α|0°<α<90°}小于的角：若为第二象限角，那么为第几象限角？所以在第一、三象限弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作.7、角度与弧度的转化：8、角度与弧度对应表：角度弧度9、弧长与面积计算公式弧长：；面积：，注意：这里的均为弧度制.考点讲解考点讲解题型一：周期现象1．如果今天是星期三，则2020天后的那一天是星期（

）A．五 B．六C．日 D．一【答案】C【分析】根据题意得到周期为7，进而求解.【详解】每隔七天循环一次，，故2020天后为周日.故选：C.2．王涛今年岁了，请问下面他班的哪个年龄的老师跟他属相相同（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据周期为直接判断即可.【详解】有生肖，属相是每年循环一次；对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.3．下列现象不是周期现象的是（

）A．挂在弹簧下方作上下振动的小球B．游乐场中摩天轮的运行C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数D．每四年出现一个闰年【答案】C【分析】由周期现象定义直接判断即可.【详解】周期现象是指间隔相等而重复出现的现象，由此可知ABD均为周期现象，C不是周期现象.故选：C.4．下列现象不是周期现象的是（

）A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间【答案】D【分析】根据周期现象的定义逐一判断四个选项的正误即可得符合题意的选项.,【详解】对于A：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B：分针每隔一小时转一圈，是周期现象；对于C：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象；对于D：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象，故选：D.题型二：任意角的概念1．已知，则的余角是（

）A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°【答案】A【分析】根据余角的定义进行计算即可.【详解】的余角为.故选：.2．设集合，那么（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得．【详解】由题意得，即M是由的奇数倍构成的集合，又，即N是由的整数倍构成的集合，则，故选：C．3．下列说法中正确的个数是（

）①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可.【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误；对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确；对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确；对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误．综上，正确的个数是2.故选：B．4．已知{第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解.【详解】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误；对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确；对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误；对D，错误.如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误.故选：B题型三：终边相同的角1．下列说法中，正确的是（

）A．第二象限角都是钝角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则【答案】D【分析】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D.【详解】A错，是第二象限角，但不是钝角；B错，是第二象限角，是第一象限角，但；C错，，则，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故.故选：D.2．（多选）下列命题，为真命题的是（

）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．角是第一象限角【答案】ABC【分析】找出各角在范围内终边相同的角，由此可判断出各命题中角的象限.【详解】对于A，，是第四象限角，则是第四象限角，A正确；对于B，是第三象限角，B正确；对于C，，是第二象限角，则是第二象限角，C正确；对于D，，是第二象限角，则是第二象限角，D错误.故选：ABC.3．如果角与角的终边相同，角与角的终边相同，那么的可能值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据终边相同可得角与角之间的关系，可得的代数形式，再结合选项可得答案.【详解】角与角的终边相同，则，角与角的终边相同，则，，即角与角的终边相同，选项A，C符合题意．故选：AC．4．的角属于第象限.【答案】一【分析】根据终边相同的角的性质即可求解.【详解】由于，且为第一象限角，故的角属于第一象限角，故答案为：一题型四：根据图形写出角(范围)1．（多选）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】假设，为内的角，可得，再由终边相同角的表示即可求解.【详解】假设，为内的角，如图所示：

由和的终边关于轴对称，所以根据终边相同角的概念，可得，所以满足条件的为A、C故选：AC2．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为．【答案】【分析】首先考虑在范围内，终边落在阴影内的角的特征，再结合周期性即可得解.【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足或，所以所有满足题意的角的集合为：．故答案为：.3．写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合．【答案】（1）；（2）.【分析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可求解.【详解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得（1）；（2）.4．如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.(1)终边在射线上；(2)终边在直线上.【答案】(1)；(2).【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可.（2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可.【详解】（1）由任意角的定义得，终边在射线上的角为.（2）由任意角的定义得，终边在射线上的角为，化简得，所以终边在直线上的角为.题型五：象限角和轴线角1．若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（）A．轴的非负半轴 B．第一象限C．轴的非负半轴 D．第三象限【答案】A【分析】由对称可知，得终边所在位置.【详解】角的终边与角的终边关于轴对称，则角的终边与角的终边相同，得，则有，所以的终边落在轴的非负半轴．故选：A．2．是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】直接利用角的旋转求出该角为第几象限角．【详解】是第三象限角，故选：C．3．下列说法正确的是：（

）A．终边在轴上的角的集合为B．第三象限角的集合为C．第二象限角大于第一象限角D．角与角是终边相同角【答案】A【分析】根据终边相同角的表示可判断A，D；根据象限角的概念与表示可判断B，C．【详解】对于A，终边在轴上的角的集合为，即，即，故A正确；对于B，第三象限角的集合为，故B错误；对于C，是第二象限角，是第一象限角，，故C错误；对于D，，与终边不同，故D错误．故选：A．4．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】分别写出终边在x、y轴上的角，再应用集合写出终边与坐标轴重合的所有角.【详解】终边与x轴重合的角为且，即且为偶数，终边与y轴重合的角为且，即且为奇数，所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是.故选：B题型六：角所在象限和范围1．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.【详解】∵α为第三象限角，∴，∴，令，，时，，，可得的终边在第一象限；令，时，，，可得的终边在第三象限，令，时，，，∴可得的终边在第四象限，故选:B．2．下列说法中，正确的是（

）A．是第四象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角大于第一象限的角D．若角为第二象限角，那么为第一象限角【答案】AB【分析】结合象限角的定义逐一分析即可得.【详解】，故是第四象限角，选项A正确；锐角是第一象限角，故B正确；第二象限角为，第一象限角为，故第二象限角不一定大于第一象限的角，故C错误；若角为第二象限角，则，故，即可能为第一象限角也可能为第三象限角，故D错误.故选：AB.3．设为第二象限角，则可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】CD【分析】为第二象限角，得到，得到答案.【详解】为第二象限角，故，所以，所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴.故选：CD4．若（），则的终边在．【答案】轴上【分析】根据得，即可判断.【详解】因为，所以，所以，即的终边在轴上.故答案为：轴上.题型七：弧度的概念1．下列说法正确的是（

）A．1弧度的角与1°的角一样大B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是C．经过5分钟分针转了30°D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】B【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可.【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误；对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确；对于C，经过5分钟分针转了，故C错误；对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误.故选：B．2．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出对应的“古典正弦”值.【详解】设由圆心角对应弧长，由，得圆心角弧度数绝对值为2.则,所以故选：D3．与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代入终边相同的角的集合，即可求解.【详解】与角终边相同的角的集合是，当时，.故选：B4．与60°角终边相同的角可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断.【详解】A,B弧度角度混用，错误.与60°角终边相同的角可以表示，则C错误．弧度制下表示为，则D正确.故选：D.题型八：角度化和弧度制的换算1．把化成角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得.【详解】.故选：B2．角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据弧度制与角度值的转化即可.【详解】.故选：A.3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD.【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．对C，，则与终边相同，而与终边相同，且化为角度制即为，则与的终边相同，则是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对D，由C得与终边相同，则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．故选：CD．4．（多选）下列选项正确的是（

）A．是第二象限角B．C．经过4小时，时针转了D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】BCD【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项.【详解】选项A，在第三象限，故A错误；选项B，，故B正确；选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角，每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确；选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确．故选：BCD题型九：弧长的有关计算1．一钟表的分针长10cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（

）A．30cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】由弧长公式直接计算.【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–，∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）．故选：C．2．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，而积为，周长为，则下列说法不正确的是（

）A．若，确定，则唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定【答案】C【分析】利用，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.【详解】因为，对于选项A，若，确定，则唯一确定，所以选项A正确，对于选项B，若，确定，由知，确定，则，唯一确定，所以选项B正确，对于选项C，若确定，由，消得到，又，当时，有两个值，当时，有1个值，当时，无解，所以选项C错误，对于选项D，若确定，由知，确定，又，所以确定，故选项D正确，故选：C.3．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是．【答案】【分析】根据弧长公式求圆心角弧度即可.【详解】圆心角的弧度数为.故答案为：4．已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为.【答案】4【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式即可直接得答案.【详解】由，可得，所以.从而可得.故答案为：4.题型十：扇形面积的有关计算巩固提升巩固提升1．（2024·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】将，与的终边相同．【详解】，又终边在第三象限，所在的象限为第三象限，故选：C．2．（2024·全国·模拟预测）如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（

）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】C【分析】首先求出一个时辰所对应的圆心角，再根据丑时与午时相差的时辰个数计算可得；【详解】解：一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为，丑时与午时相差个时辰，故丑时与午时的夹角为故选：C3．（2024·河南·三模）下列各角中，与终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据终边角的定义表示出各角，即可判断.【详解】解：对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：D.4．已知是第二象限的角，那么是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【答案】D【分析】写出第二象限角，再求出的范围，讨论的取值范围即可求解.【详解】是第二象限的角，则，所以，当时，，属于第一象限角，当时，，属于第三象限角，当时，，属于第一象限角，所以是第一或第三象限角，故选：D【点睛】本题考查了象限角，考查了分类讨论的思想，属于基础题.5．（2024·上海杨浦·模拟预测）角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是_____.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角终边与的终边的对称性可得正确选项.【详解】角终边与的终边关于轴对称，因为在角终边上，故在的终边上，故选：C.【点睛】本题考查终边相同的角，一般地，角的终边的几何关系往往蕴含着角的代数关系，比如终边关于轴对称时，则有，本题属于基础题.6．（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（

）A．π B． C． D．【答案】A【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解.【详解】由已知，．得，则莱洛三角形的周长是故选：A．7．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】显然为等腰三角形，，则，，即，于是，所以璜身的面积近似为.故选：C8．（2023·河北·模拟预测）已知两圆锥的底面积分别为、π，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别设出两圆锥侧面展开图的圆心角及母线长，借助相关公式及基本不等式即可求出最小值.【详解】设两圆锥的侧面展开图的圆心角分别为、，母线长分别为、，由题知两个圆锥的底面半径分别为，，所以，，所以，即，所以，当且仅当、时等号成立.故选：C.9．（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD.【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．对C，，则与终边相同，而与终边相同，且化为角度制即为，则与的终边相同，则是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对D，由C得与终边相同，则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．故选：CD．10．（多选）下列命题，为真命题的是（

）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．角是第一象限角【答案】ABC【分析】找出各角在范围内终边相同的角，由此可判断出各命题中角的象限.【详解】对于A，，是第四象限角，则是第四象限角，A正确；对于B，是第三象限角，B正确；对于C，，是第二象限角，则是第二象限角，C正确；对于D，，是第二象限角，则是第二象限角，D错误.故选：ABC.11．（多选）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（

）A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为B．扇形面积的最大值为C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为D．扇形面积的最大值为【答案】BC【分析】由题意可知由扇形面积公式，结合基本不等式即可求解最值.【详解】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知：则，当且仅当时，即时等号成立，故BC正确，AD错误，故选：BC．12．（2023·上海浦东新·三模）与终边相同的最小正角是.【答案】【分析】根据终边相同的角的定义以及最小正角的要求，可确定结果.【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是.故答案为：.13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为平方步.【答案】120【分析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，故答案为：12014．与角终边相同的最小正角是；最大负角是．【答案】【分析】根据与角终边相同的角是，对k取满足要求的整数可得解.【详解】因为与角终边相同的角是，所以当时，与角终边相同的最小正角是.当时，与角终边相同的最大负角是.故答案为：，.15．（2023·上海黄浦·二模）某企业