平面及其基本性质学案高三数学一轮复习

授课主题平面及其基本性质教学目标1、掌握平面的性质以及表示2、掌握三个公理及其对应的推论合理演绎推理证明相关命题教学重难点重点：平面的基本性质、平面的确定难点：公理的应用以及相关证明教学内容平面及其基本性质平面及其基本性质【知识梳理】一、平面的基本概念1.平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．【注意】（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；（2）“平面”无厚薄之分；（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2.平面的画法：通常画平行四边形表示平面．【注意】（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3.平面的表示法：（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4.点、直线、平面的位置关系：表一：点与直线、点与平面位置关系符号表示图形表示点与直线点A在直线l上（直线l经过点A）点B不在直线l上（直线l不经过点B）点与平面点A在平面上（平面经过点A）点B不在平面上（平面经过点B）表二：直线与平面直线l与平面公共点的个数位置关系符号表示图形表示0直线l与平面平行（）1直线l与平面相交于点A2直线l在平面上（平面经过直线l）表三：平面与平面空间两个不同平面的位置关系符号表示图形表示相交平行二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.①公理1：（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）符号语言表述：，，，；（3）图形语言表述：②公理2：（1）文字语言表述：不在一条直线上的三点确定一个平面；（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；（3）图形语言表述：【注意】公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．（4）公理2的推论：①一条直线和直线外一点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面.公理3：（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（2）符号语言表述：且；（3）图形语言表述：【典型例题】【例1】下面的说法中正确的是（）．A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面【变式训练】1、下列命题：（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面的长是50m，宽是20m；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（）．A．1B．2C．3D．42、如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（）A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．直线与相交C．A，B，C，D四点中不存在三点共线 D．直线与平行3、判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为，宽为． （ ）（2）一个平面的面积为． （ ）（3）光滑的桌面就是一个平面． （ ）（4）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分． （ ）（5）若一条直线和一个平面仅有一个公共点，则称该平面经过这条直线． （ ）（6）若一条直线上有两个点在一个平面内，则称该平面经过这条直线． （ ）（7）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面． （ ）（8）空间两个平面可将空间分成四部分． （ ）【例2】平面内的直线a、b相交于点P，用符号语言概述为“，且P∈”，是否正确？【变式训练】指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．（1）如图1，直线a在平面α内．（2）如图2，直线a和平面α相交．（3）如图3，直线a和平面α平行．【例3】判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）一点和一条直线确定一个平面；（2）经过一点的两条直线确定一个平面：（3）两两相交的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内．【变式训练】1、空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A． B． C．或 D．或2、正方体的八个顶点一共可以确定个平面．3、（1）两条直线可以确定一个平面；（2）一个点，一条直线可以确定一个平面；（3）一组对边平行的四边形是平面图形；（4）三角形是平面图形；（5）四边形是平面图形；（6）六边形是平面图形；（7）两两平行的三条直线共面；（8）空间四点共面，则其中必有三点共线；（9）两两相交的三条直线必定共面；（10）四条边都相等的四边形一定是菱形；（11）一条直线和两条平行直线都相交，则这三条直线共面．以上命题正确的有．【例4】三个互不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．建议做出图像：【例5】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；（3）由点A、D、C可以确定一个平面；（4）由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1；（5）由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面．【例6】已知直线a∥b，直线与a，b都相交，求证：过a，b，有且只有一个平面．【变式训练】证明题（1）空间两两相交的四条直线能确定几个平面？（2）证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．【例7】如下图，已知△ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R．求证：P、Q、R在同一条直线上．【变式训练】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P．求证：B，D，P在同一直线上．【例8】如下图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且．求证：直线EF、GH、AC相交于一点．一、单选题1．空间的4个平面最多能将空间分成（）个区域．A．13 B．14 C．15 D．162．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面3．已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒C．A∈，A∈β⇒D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合4．在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（）A． B．C． D．二、填空题5．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______.6．给出下列说法：①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是______．7．设平面与平面相交于直线，直线，直线，，则_____（用符号表示）.8．下列说法中正确的有______个.①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；②一个平行四边形确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上.9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是______.10.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定___个平面.11.用符号语言改写下列语句.（1）点在平面内，点不在直线上；（2）直线在平面内，直线与平面有且只有一个公共点；（3）直线和相交于一点；（4）平面与平面相交于过点A的直线.1、平面在高中数学的定义2、点线面的关系有哪些，数学符号表示是什么3、公理1、2、3的内容以及公理2的三个推论【补充】一、证明点线共面所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．1．证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．2．证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a、β重合；（3）反证法．3．具体操作方法：（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．二、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另