专题66图形的相似（全章直通中考）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题6.6图形的相似（全章直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2017·甘肃兰州·中考真题）已知，则下面结论成立的是（）A． B． C． D．2．（2019·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，分别是边上的点，，若，则的长是（

）．A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·四川巴中·统考中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对4．（2012·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（

）A．2 B．3 C． D．5．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（

）A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣166．（2020·陕西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）

A． B． C．3 D．27．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（）A． B．C． D．8．（2023·陕西·统考中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（

）

A． B．7 C． D．89．（2019·湖南邵阳·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（

）A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C． D．10．（2005·江苏南京·中考真题）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m"，CA=0.8m，则树的高度为（）A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2018上·江苏·九年级统考期末）已知：，则的值是.12．（2015·河南·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=.

13．（2023·河南·统考中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为．

15．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为．16．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为．

17．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G，连接．若，，则．

18．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2014·山东济宁·统考中考真题）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出的值为__________（不必写出计算过程）.20．（8分）（2019·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．（1）求证：为等腰直角三角形．（2）若，，求的长．21．（10分）（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求，两点的坐标；（2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．22．（10分）（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）已知，求的值．23．（10分）（2020·广西贵港·中考真题）如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为．（1）求该抛物线的表达式：（2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标；（3）设动点在该抛物线上，当时，求的值．24．（12分）（2011·吉林长春·中考真题）如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E．F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．（1）用含有x的代数式表示CE的长；（2）求点F与点B重合时x的值；（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式；（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．参考答案：1．A解：试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．考点：比例的性质.2．C【分析】根据分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．解：∵，∴，∴，即，解得，，故选C．【点拨】本题考查分线段成比例定理，熟练掌握运算法则是解题关键3．A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．4．A【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．解：延长BC至F点，使得CF=BD，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECB．∴∠EDB=∠ECF．∴△EBD≌△EFC（SAS）．∴∠B=∠F．∴BE=EF∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB∴∠ACB=∠F．∴AC∥EF．∴∵BA=BC，∴AE=CF=2，∴BD=AE=CF=2，故选A5．D【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值．解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，∵D点在双曲线y上，∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，∵D点在矩形的对角线OB上，∴矩形OEDF∽矩形OABC，∴，∵S矩形OABC=36，∴S矩形OEDF=16，∴|k|=16，∵双曲线y在第二象限，∴k=16，故选：D．【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|．6．D【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．解：连接AC，交EF于点H，如图，

∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴∴H是AC的中点，F是AG的中点，∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，∴，，而FH=EFFH=4，∴CG=2FH=3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键．7．C【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．解：由题意得，，平分，∵在中，，，∴∵平分，∴，故A正确；∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故B正确；∵，∴，∴，设，则，∴，∴，解得，∴，∴，故C错误；过点E作于G，于H，

∵平分，，，∴∴，故D正确；故选：C．【点拨】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．8．C【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．解：是的中位线，，，，，，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．9．C【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，，∴C选项错误，符合题意．故选C．【点拨】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．10．C解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，设树高x米，则，即∴x=8故选C．11．【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.解：由，可设a=2k，b=3k，（k≠0）,故：，故答案：.【点拨】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.12．.解：∵DE//AC,∴DB:AD=BE:CE,∴4:2=3:EC,EC=.考点：平行线分线段成比例定理.13．2或【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．解：当时，

∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线的中点，∴，∴，即：，∴，当时，

∵M为对角线的中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．【点拨】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．14．或【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可．解：连接，

∵以为直径的半圆O与相切于点D，∴，，∴设，则，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵为等腰三角形，当时，，当时，∵，∴点与点重合，∴，

不存在的情况；综上：的长为或．故答案为：或．【点拨】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键．15．【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．解：四边形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．16．3【分析】可令的长为x，证明，可得，即，从而可得，，最后利用进行求解即可．解：设的长为x，∵，∴，∴，又∵，，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，∴，故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，通过相似比找出其他线段与的关系是解题的关键．17．【分析】由作图得平分，垂直平分，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．解：由作图得平分，垂直平分，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式和相似三角形的性质是关键．18．或【分析】分两种情况：当点在点左侧时，设交于点，过点作于点，则四边形为矩形，，由折叠可知，，由平行线的性质可得，于是，，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，于是，，则，代入计算即可得到答案；当点在点右侧时，设交于点，过点作于点，同理可得，，四边形为矩形，，利用相似三角形的性质求得，，进而去除，则，代入计算即可求解．解：当点在点左侧时，如图，设交于点，过点作于点，则，点为边的中点，，四边形为矩形，，，，，，四边形为矩形，，，由折叠可知，，，，，，即，，，，在中，，，，，，，，，即，，，，，；当点在点右侧时，如图，设交于点，过点作于点，同理可得：，，四边形为矩形，，，在中，，，，即，，，，．综上，的长是或．故答案为：或．【点拨】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．19．（1）证明见分析；（2）.【分析】（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解．解：（1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，∴BE=ABAE，DG=ADAG，∴BE=DG，∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF=DF；（2）连接AC，∵BF=DF∴点F在对角线AC上，∵AD∥EF∥BC，∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=，∴CF：BE=．【点拨】本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题．20．（1）见分析；（2），【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，，由“”可证，可得，，可证，，即可得结论；（2）由题意可得，由平行线分线段成比例可得，即可求的长．解：（1）∵四边形，四边形都是正方形∴，，，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，且，∴，且，∴为等腰直角三角形；（2）∵，，∴，，，∵，∴，且，∴，【点拨】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．21．（1）；（2）【分析】（1）联立与解方程即可求解；（2）过点作轴于点，可得，根据平行线分线段成比例可得，根据平移求得平移后的解析式为，求得,进而求得的坐标，的坐标，将点的坐标代入一次函数，解方程即可求解．（1）解：联立与，解得，；（2）解：如图，过点作轴于点，，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，平行线分线段成比例，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；（2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论；（3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．解：（1）证明：如图1，连接，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线；（2）证明：∵为的直径，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如图2，过P作于点E，由（2）可知，，∵，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．23．（1）；（2）点的坐标为；（3）的值为或5【分析】（1）将和，代入抛物线解析式即可；（2）过点作轴于点，而，轴，由相似三角形的判定与性质解题；（3）分类讨论，当点在轴上方时，或当点在轴下方时，设直线AP与直线L的交点为M，结合全等三角形的判定与性质解题即可．解：（1）∵抛物线经过和，∴，∴