专题932三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.32三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.特别提醒：三角形有三条中位线.不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别.【知识点二】三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.特别提醒：三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一.【考点目录】【考点1】三角形中位线的理解；【考点2】利用三角形的中位线定理证明与求值；【考点3】利用三角形的中位线与直角三角形斜边上中线性质求值或证明；【考点4】三角形的中位线定理综合应用；【考点5】三角形的中位线定理拓展与应用；【考点1】三角形的中位线定理实际应用.【例1】如图，在四边形中，M，N分别是AD，BC的中点．若，求MN长度的取值范围．【答案】解：如图，连接，取的中点，连接PM，PN．是的中点，是的中位线，．同理可得．在中，，．【变式1】如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（

）①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④．解：如图，连接，是的中线，点D是的中点，、分别是、边上的中点，，故①②⑤正确；，，四边形是平行四边形，和互相平分；故③④正确；则正确的有5个，故选：D．【变式2】如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为．【答案】3【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解．解：∵在中，点D、E分别是、的中点，，∴，即，∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，，∴，∴，故答案为：3．【考点2】利用三角形的中位线定理求值或证明；【例2】如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．（1）求证：；（2）写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）写出x为何值时，？【答案】（1）见详解;（2），;（3）【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键．（1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；（3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，．（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接∵，点D是边的中点，∴都是三角形中位线∴，∵，∴，∴，∵，∴在与中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴即∵E是边上的一个动点（不与A、B重合），∴；（3）解：连接，当E与H重合时，，∵此时，∴当时，．【变式1】如图，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取的中点F，连结，计算即可．解：如图，取的中点F，连结，∵是的中线，∴，∴是的中位线，∴，∵，，∴，．由勾股定理，得．∵BE平分，，∴，∴，∴．根据等腰三角形“三线合一”，得．∵，∴∴E是的中点，∴是的中位线，∴，∵的中点F，∴，∴．故选D．【变式2】如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则.【答案】【分析】本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．由折叠可知，垂直平分，连接，可得是的中位线，求出即可求．解：由折叠可知，垂直平分，连接，是的中点，是的中点，，，，，，故答案为：．【考点3】利用三角形的中位线与直角三角形斜边上中线性质求值或证明【例3】如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点，若，．

（1）求证：为的角平分线；（2）求的长．【答案】（1）见分析；（2）4【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论．（2）根据三角形中位线定理得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）证明：，，为斜边的中点，F为中点，是的中位线，，，，为的角平分线．（2）解：为斜边的中点，F为中点，，，，，在中，D为斜边的中点，．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的性质及直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，解答本题的关键是求出的长．【变式1】如图，在中，D是斜边的中点，E是上一点，F是的中点．若，，则的长是（

）

A．8 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．解：∵D是的中点，F是的中点，，∴是的中位线，∴，∵，∴，在中，D是斜边的中点，则，故选：B．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式2】已知中，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点B落在点E的位置，交于F，连接．若，，则AE的长为．【答案】【分析】利用直角三角形的勾股定理和斜边中线等于斜边一半可以得到等腰三角形的边长，通过作辅助线，可将所求的问题进行转化到求，由折叠得是的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出，进而求出，由等腰三角形的性质，可得是三角形的中位线，得，求出，再根据勾股定理，求出，进而解得．解：如图，过点D作，，垂足为，连接交于点G，在中，，，得，∵点D为斜边的中点，∴，在中，，得，那么，在中，，∴，∴为的中位线，∴，，由折叠得，垂直平分，在中，由三角形面积公式得，即，在中，，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考图形的查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理及等面积法，能够构造出并证明三角形中位线是解题的关键．【考点4】三角形的中位线的综合应用【例4】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的度数．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证；（2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案．解：（1）证明：，，为的中位线，，，为的中点，，，四边形为平行四边形，，，四边形是平行四边形；（2）解：四边形为平行四边形，，，，，，．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键．【变式1】如图，矩形对角线、相交于点，平分交于点，过点作交于点，若，，则的长为（）​A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由角平分线的定义可得，则为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形三线合一的性质得，，进而易求得，于是，由三角形中位线定理易知为的中位线，则．解：∵四边形为矩形，，∴，，，∵平分，∴，∴为等腰直角三角形，，∵，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，，即点、分别为、的中点，∴为的中位线，∴．故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的三线合一性质得到，进而得出为的中位线是解题关键．【变式2】如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则．

【答案】2【分析】如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可．解：如图，记的中点为，连接，，

∵，的中点分别是，，的中点为，∴是的中位线，是的中位线，∴，，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，∴，解得，，故答案为：2．【点拨】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【考点5】三角形的中位线的拓展应用【例5】如图所示，菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A、B重合），线段的垂直平分线分别交于点F，G；的中点分别为点M，N．（1）求证：；（2）求的最小值；（3）在点E的运动过程中，的大小是否变化?若没有变化，请求出的度数；若有变化，请说明变化情况．【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）不变，的度数为【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由菱形的性质可得，，证明，则，进而结论得证；（2）由，是线段的中点，可知是的中位线，是的中位线，则，，，则当三点共线时，的值最小，是等边三角形，可得，进而可得的最小值；（3）如图，延长交于，由三角形外角的性质得，，则，由，可得，则，由，可得，，则，由三角形外角的性质得，进而可得，进而结论得证．解：（1）证明：∵是线段的垂直平分线，∴，∵四边形是菱形，∴，，在和中，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，是线段的中点，∴是的中位线，是的中位线，∴，，∴，∴当三点共线时，的值最小，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴的最小值为；（3）解：不变，为；如图，延长交于，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是定值，为．【点拨】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式1】如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④上述结论始终正确的有（

）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质逐个验证即可．解：如图，连接．

是等腰直角三角形∵点是的中点同理可得：，结合（已证），故①正确．是等腰三角形，又是直角，是等腰直角三角形，故③正确过点P分别作，垂足为点M、N．如下图．

，点是的中点是三角形的两条中位线，故④正确．连接．

假定点E与点N不重合．由，为直角知，四边形是矩形．又（前面已证）知，四边形是正方形．则为等腰直角三角形．由前面已证可知，也是等腰直角三角形．∴．在直角中，总有：．∴．∴即：．由四边形是正方形知，，∴．只有当点E与点N重合时，．故②不正确．综上，正确的有①③④．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定定理与性质、三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．【变式2】如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为．【答案】【分析】首先说明拼成的四边形是平行四边形，周长=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得结论．解：如图，由旋转的性质可知，BC=N′N″，M′M″=2DE，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，BC=2DE，∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″，∴四边形M′M″N″N′是平行四边形，∴四边形M′M″N″N′的周长=2MN+10，如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J．∵S△ABC=•BC•AH=10，BC=5，∴AH=4，∵∠ABC=