理科数学一轮复习高考帮试题第8章第3讲直线平面平行的判定及性质（考题帮数学理）

第三讲直线、平面平行的判定及性质题组直线、平面平行的判定与性质1.[2013广东,8,5分]设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.[2017江苏,15,14分][理]如图831,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.图8313.[2017浙江,19,15分]如图832,已知四棱锥PABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:CE∥平面PAB;(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.图8324.[2014新课标全国Ⅱ,18,12分][理]如图833,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角DAEC为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥EACD的体积.图833A组基础题1.[2017湘中名校高三联考,3]已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n2.[2017郑州市高三第一次质量预测,9]如图834,直三棱柱ABCA'B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'=4,点E,F,G,H,M分别是边AA',AB,BB',A'B',BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动,并且始终有MP∥平面ACC'A',则动点P的轨迹长度为()图834A.2 B.2π C.23 D.43.[2018惠州市二调,19]如图835,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,点O为CD的中点.图835(1)求证:OM∥平面ABD;(2)若AB=BC=2,求三棱锥MABD的体积.4.[2018辽宁五校联考,18]如图836,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CD∥AB,BC⊥AB,侧面ABE⊥平面ABCD,且AB=AE=BE=2BC=2CD=2,动点F在棱AE上,且EF=λFA.图836(1)试探究λ的值,使CE∥平面BDF,并给予证明;(2)当λ=1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.B组提升题5.[2018南昌市调考,19]如图837,在四棱锥PABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.图837(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值.6.[2017武汉市五月模拟,18]如图838,四棱锥PABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.图838(1)求证:AE∥平面PCD;(2)记平面PAB与平面PCD的交线为l,求二面角ClB的余弦值.7.[2017宁夏银川市、吴忠市3月联考,19]如图839,已知在等腰梯形ABCD中,AE⊥CD,BF⊥CD,AB=1,AD=2,∠ADE=60°,沿AE,BF折成三棱柱AEDBFC.图839(1)若M,N分别为AE,BC的中点,求证:MN∥平面CDEF;(2)若BD=5,求二面角EACF的余弦值.答案1.B画出一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于选项A,C1D1∥平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD,但平面ABB1A1与平面ABCD相交,故选项A错误;对于选项C,BB1⊥平面ABCD,BB1∥平面ADD1A1,但平面ABCD与平面ADD1A1相交,故选项C错误;对于选项D,平面ABB1A1⊥平面ABCD,CD∥平面ABB1A1,但CD⊂平面ABCD,故选项D错误.选B.2.(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.3.(Ⅰ)如图D834,图D834设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=12AD,又因为BC∥AD,BC=12所以EF∥BC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,又CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,因此CE∥平面PAB.(Ⅱ)分别取BC,AD的中点为M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.因为PN∩BN=N,PN,BN⊂平面PBN,所以AD⊥平面PBN,由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2所以sin∠QMH=28所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是284.(Ⅰ)连接BD交AC于点O,连接EO,如图D835所示.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图D835,以A为坐标原点,AB的方向为x轴的正方向,|AP|为单位长度,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,3,0),E(0,32,12),AE=(0,32,图D835设B(m,0,0)(m>0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n1·可取n1=(3m,1,3)又n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量,由题设知|cos<n1,n2>|=12,即33+4m2=1因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为12所以三棱锥EACD的体积V=13×12×3×32×1A组基础题1.D选项A中,两直线可能平行,相交或异面,故选项A错误;选项B中,两平面可能平行或相交,故选项B错误;选项C中,两平面可能平行或相交,故选项C错误;选项D中,由线面垂直的性质定理可知结论正确.选D.2.D连接MF,FH,MH,因为M,F,H分别为BC,AB,A'B'的中点,所以MF∥平面AA'C'C,FH∥平面AA'C'C,所以平面MFH∥平面AA'C'C,所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA'C'C,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.3.(1)∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,点O为CD的中点,∴OM⊥CD.∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM⊂平面CMD,∴OM⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD,∴OM∥AB.∵AB⊂平面ABD,OM⊄平面ABD,∴OM∥平面ABD.(2)解法一由(1)知OM∥平面ABD,∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.∵AB=BC=2,△BCD是等边三角形,点O为CD的中点,连接BO,如图D836,图D836∴S△BOD=12S△BCD=12×12×BC×CD×sin60°=12×12×2×2×3连接AO,则VMABD=VOABD=VABOD=13S△BOD×AB=13×32×2故三棱锥MABD的体积为33解法二由(1)知OM∥平面ABD,∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.如图D837,过O作OH⊥BD,垂足为点H,图D837∵AB⊥平面BCD,OH⊂平面BCD,∴OH⊥AB.∵AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,AB∩BD=B,∴OH⊥平面ABD.∵AB=BC=2,△BCD是等边三角形,∴BD=2,OD=1,OH=OD·sin60°=32∴V三棱锥MABD=13×12×AB×BD×OH=13×12×2×2×∴三棱锥MABD的体积为334.(1)当λ=12时,CE∥平面BDF.连接AC交BD于点G,连接GF,∵CD∥AB,AB=2CD,∴CGGA=CDAB=∵EF=12FA,∴EFFA=CGGA=12,∴又CE⊄平面BDF,GF⊂平面BDF,∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O,连接EO,则EO⊥AB,∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,且EO⊥AB,∴EO⊥平面ABCD,连接DO,∵BO∥CD,且BO=CD=1,∴四边形BODC为平行四边形,∴BC∥DO,又BC⊥AB,∴AB⊥OD,则OD,OA,OE两两垂直,以OD,OA,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,3).当λ=1时,有EF=FA,∴F(0,12,3∴BD=(1,1,0),CE=(1,1,3),BF=(0,32,32设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则有n·BD=0,n·BF=0,即x+y=0,32y设直线CE与平面BDF所成的角为θ,则sinθ=|cos<CE,n>|=15故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为15B组提升题5.(1)∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA.又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ACD,又DC⊥AC,平面PAC∩平面ACD=AC,∴DC⊥平面PAC.如图D838,以点A为原点,AC所在直线为x轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,图D838∴A(0,0,0),C(2,0,0),P(0,0,2),D(2,23,0),N(1,3,0),∴CN=(1,3,0),PN=(1,3,2),设n=(x,y,z)是平面PCN的法向量,则n即-x+3y=0,x+又平面PAC的一个法向量为CD=(0,23,0),∴cos<CD,n>=CD·n|CD||由图可知,二面角NPCA的平面角为锐角,∴二面角NPCA的平面角的余弦值为776.(1)因为∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,E是BC的中点,所以AD∥CE,且AD=CE,所以四边形ADCE是平行四边形,所以AE∥CD.因为AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE∥平面PCD.连接DE,BD,设AE交BD于点O,连接PO,如图D839所示,图D839则四边形ABED是正方形,所以AE⊥BD.因为PD=PB=2,O是BD中点,所以PO⊥BD,则PO=PB2-OB又OA=2,PA=2,所以PO2+OA2=PA2,则PO⊥AO.因为BD∩AE=O,所以PO⊥平面ABCD.建立如图D839所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),A(2,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0),D(0,2,0),所以PA=(2,0,2),PB=(0,2,2),PD=(0,2,2),AE=(22,0,0).设平面PAB的法向量是n1=(x1,y1,z1),则n1·取x1=1,则y1=z1=1,所以n1=(1,1,1).设平面PCD的法向量是n2=(x2,y2,z2),则n2·PD=0取y2=1,得n2=(0,1,1).所以cos<n1·n2>=n1·n2即所求二面角的余弦值为0.7.(1)取AD的中点G,连接GM,GN,在三角形ADE中,∵M,G分别为AE,AD的中点,∴MG∥DE,∵DE⊂平面CDEF,MG⊄平面CDEF,∴MG∥平面CDEF.由于G,N分别为AD,BC的中点,由棱柱的性质可得GN∥DC,∵CD⊂平面CDEF,GN⊄平面CDEF,∴GN∥平面CDEF.又GM⊂平面GMN,GN⊂平面GMN,MG∩NG=G,∴平面GMN∥平面CDEF,∵MN⊂平面GMN,∴MN∥平面CDEF.(2)连接EB,在Rt△ABE中,AB=1,AE=ADsin60°=3,∴BE=2,又ED=1,DB=5,∴EB2+ED2