《导数及其应用》章未归纳复习

高中数学精选资源3/3《导数及其应用》章未归纳复习知识网络建构答案=1\*GB3①称或为函数在以为端点的闭区间上的平均变化率=2\*GB3②一般地,设函数在附近有意义,自变量在处的改变量为,当无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数,那么称常数为函数在处的瞬时变化率.此时,也称在处可导,并称为在处的导数,即=3\*GB3③是曲线在点处(也称在处)的切线的斜率=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦一般地,函数与的复合函数为,则..还可表示为=8\*GB3⑧一般地,如果在区间内,,则在上是增函数;如果在区间内,,则在上是减函数=9\*GB3⑨一般地,设函数在处可导,.（1）如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极大值点,是极大值.（2）如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极小值点,是极小值.（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则一定不是的极值点=10\*GB3⑩一般地,如果函数在定义域内的每一个点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数的定义域为且存在最值,函数在内可导,那么函数的最值点要么是区间端点或,要么是极值点知识要点整合一、导数的运算与导数的几何意义1.对于导数的运算,应熟练学握基本导数公式和运算法则,这是正确进行导数运算的必备知识.另外,复合函数的求导法则学生易于忽视,求导时.首先分清复合函数的构成形式,然后利用.2.涉及曲线的切线问题,注意两点:一是该点处的导数就是切线的斜率,二是切点既在曲线上又在切线上.例1求下列函数的导数.（1）;（2）;（3）.解析前两小题可通过函数和(或差)与函数积的求导法则求解,最后一小题根据复合函数的求导法则求解.答案（1）.（2）因为，所以.（3）例2（1）已知曲线在点处的万线方程为,则（）A.B.C.D.（2）已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是_____.解析（1）因为,所以切线的斜率,所以.将代入,得.故选D.（2）因为为偶函数,所以当时,,所以,则.所以在点处的切线方程为,郥.答案（1）D（2）二、利用导数研究函数的性质把导数作为数学工具,求解单调区间,研究函数的极大(小)值,以及求在闭区间上函数的最大(小)值是本章的重点.利用导数求函数的单调性是基础,求极值是关键,学习时一定要熟练掌握求解方法.1.利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤如下:（1）确定函数的定义域;（2）求;（3）解不等式或;（4）不等式的解集与定义域取交集;（5）确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间.2.应用导数求函数极值的一般步骤如下:（1）确定函数的定义域;（2）求方程的根,检验的根的两侧的符号.若“左正右负”,则的此根处取得极大值;若“左负右正”,则在此根处取得极小值;否则,此根不是的极值点.3.求函数在上的最值的一般步骤如下:（1）求在内的极值;（2）将极值与比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.特别地,（1）当在上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得;（2）当在内只有一个极值点时,若在这一点处有极大(或极小)值,则可以判定在该点处取得最大(最小)值,这里也可以是.例3已知函数,其中为常数,为自然对数的底数.若,求函数的极值.解析利用导数求解函数的极值即可.答案由题意可得，即,当时,.令,解得,可得下表:所以的极小值为,极大值为.例4已知函数,其中.（1）若曲线在点处的切线的斜率为1,求的值;（2）讨论函数的单调性;（3）若函数的导函数在区间上存在零点,证明:当时,.解析（1）根据导数的几何意义运算即可得解.（2）,对的大小关系进行分类讨论,根据导数的符号判断函数的单调性.（3）结合导函数的零点可得,再由函数的单调性,进而可转化条件为,为,通过导数证明即可得证.答案（1）因为,所以,所以,解得.（2）,=1\*GB3①若,即的解为,所以当时,,当时,故函数在上单调递减,在上单调递增.=2\*GB3②若,即的解为或,所以当时,;当时,.故函数在上单调递增,在上单调递减.=3\*GB3③若,即恒成立,所以在上单调递增.=4\*GB3④若,即的解为或所以当时,;当时,.故函数在上单调递增,在上单调递减.综上所述,若,当时,单调递减,时,单调递增;若,当时,单调递增,时,单调递减;若在上单调递增;若2,当时,单调递增,时,单调递减.（3）由题意,.因为导函数在区间上存在零点,设零点为,则,结合（2）,所以在上单调递减,在上单调递增,故,设,则设,则,故单调递减.又,故在上恒成立,故单调递减,所以.故当时,.三、利用导数求参数的范围导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题,此类问题主要是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值的关系,并结合函数与方程思想、分类讨论思想等来解答的.常见问题及解题方法如下:1.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路:（1）转化为不等式在某区间上恒成立问题,即恒成立,用分离参数求最值或函数性质求解,注意验证使的参数是否符合题意.（2）构造关于参数的不等式求解,即令0)求得用参数表示的单调区间,结合所给区间,利用区间端点列不等式求参数的取值范围.2.根据直线与曲线相切的条件求解参数问题,主要是利用导数的几何意义来求解.求解时要㧓住切点,因为切点既在曲线上,又在切线上,同时将切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.利用切点的特点通过建立方程(组)可求解参数问题.3.根据函数的极值求解参数问题,求解时须㧓住极值点,因为极值点的横坐标就是方程的根,由此可以通过建立参数的方程(组)使问题获解.例5已知为常数且.（1）若函数的极大值为2,求间的关系式;（2）若函数的极大值为2,且在区间上的最小值为,求的值.解析（1）令求得极值点,通过列表知,知小䒣,从而得间的关系式.（2）利用函数的单调性以及函数的极大值,推出函数的单调区间,求解函数的最大值,然后分情况求的值.答案（1）由题意可得,令,解得,因为,所以.当变化时,的变化情况见下表:所以当时,有极大值2,即.（2）当时,由知,在上为减函数,在上为增函数,所以为最小值,.即,又由,于是有,即,故2,此时.当时,结合（1）知在上为减函数,即为最小值,故,从而得,与矛盾,应舍去.综上,.例6设函数（1）若恒成立,求的取值范围;（2）=1\*GB3①若,试讨论的单调性;=2\*GB3②若有两个不同的零点,求的取值范围,并说明理由.解析（1）由得出,令,利用导数求出函数的最大值,进而可得出实数的取值范围.（2）=1\*GB3①将代入函数的解析式,利用导数可求得函数的单调区间.=2\*GB3②由参变量分离法得出,构造函数,利用导数分析函数的单调性与极值,进而可求得实数的取值范围.答案（1）因为,所以,则.令,则,令,解得.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,则,因此,实数的取值范围是.（2）=1\*GB3①当时,,则,令,则,当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,所以恒成立,即恒成立,因此,函数在上单调递减.=2\*GB3②由,得,得,令,其中,则，令，当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.因为,所以当时,当时,,则;当时,,则.所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则,且当时,,所以,.四、导数的实际应用一般地,高考中的数学应用题往往以现实生活为原型设计,其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力,求解时一般按以下几步进行:=1\*GB3①阅读理解,认真审题;=2\*GB3②建立数学模型;=3\*GB3③解决问题,求得答案;=4\*GB3④检验结果.在利用导数解决实际问题时,一般会用到求导、利用导数求函数的极值、最值等知识,应熟练掌握.例7新冠肺炎疫情发生后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额(万元)在的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件:=1\*GB3①补助款(万元)随企业原纳税额(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额的.经测算政府决定采用函数模型(其中为参数)作为补助业发放方案.（1）判断当使用参数时是否满足条件,并说明理由;（2）求同时满足条件(1)(2)的参数的取值范围.解析（1）当时,求得与0的大小关系,得到在时的单调性,又由,即可得到答案.（2）先求出,分类讨论求得函数的单调性,得到,再由不等式在上恒成立,求得,即可求解.答案（1）当,函数,可得,所以在时为增函数,满足条件=1\*GB3①;又因为,所以当时不满足条件=2\*GB3②.综上可得,当使用参数时不满足条件.（2）由函数,可得所以当时,,满足条件=1\*GB3①;当时,由,可得,当时,单调递增,所以,解得,综上可得,.由条件=2\*GB3②可知,,即不等式在上恒成立,等价于.当时,取最小值12,所以.综上,参数的取值范围是.核心素养梳理1.直观想象涉及切线问题往往与导数的几何意义结合起来，借助于图形找到解题的突破口，同时又可以优化解题过程，迅速找到最佳的解题方案，有利于学生直观想象核心素养的提升.例1在平面直角坐标系中,是曲线上的一个动点,则点到直线的距离的最小值是_____.解析由,得,设斜率为的直线与曲线切于点,由得舍去,所以曲线上,点到直线的距离最小,最小值为.答案42.数学运算与逻辑推理导数在研究函数的性质中需要较高的运算技巧,而分类讨论思想是优化数学运算的重要方法,构造函数是进行逻辑推理的重要手段,同时数学运算又有力推进了逻辑推理的进程.学生利用导数求函数的性质,利于提升数学运算和逻辑推理核心素养.例2已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）设,求在区间上的最大值;（3）证明:对任意,不等式成立.解析对于,首先求得,令和可求得函数的单调区间.对于,由(1)得到函数在上的单调区间,对进行分类讨论,确定函数的单调性,即可求得在上的最大值.对于,分析题意可知,只需证明在上,恒有即可.答案(1)由题意可得的定义域为,，由,得.当时,;当时,.所以函数在上单调递增,在上单调递减.（2）=1\*GB3①当,即时,在上单调递增,所以=2\*GB3②当时,在上单调递减,所以.=3\*GB3③当,即时,在上单调递增,在上单调递减,所以.（3）由（1）知,当时,,所以在上,恒有,即,并且当时等号成立.因此,对任意,恒有.因为,所以,即,所以,即对任意,不等式成立.3.数学建模导数在实际生活中应用很广,但同时导数也是数学中比较抽象的一个概念,所以在解决实际问题中数学建模非常关键,尤其是确定函数模型对学生将实际问题转化为数学问题的要求较高,有利于数学建模核心素养的提升.例3某市举办“广电狂欢购物节”促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在狂欢购物节的销售量(万件)与广告费用(万元)满足(其中为正常数).已知生产该批产品万件还需投入成本万元不含广告费用),产品的销售价格定为元件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.（1）将该产品的利润(万元)表示为广告费用(万元)的函数;（2）问广告费投入多少万元时,厂商的利润最大?解析本题考查函数模型的应用及利用导数研究函数的最值.（1）由已知易求出解析式.(2)求出导数,然后对分类讨论,根据单调性求解即可.答案（1）由题意知,,将代入上式,化简得,（2）由（1）知，当时,当时,,所以函数在上单调递增;当时,,所以函数在上单调递减,所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大.当时,因为函数在上单调递增,所以在上单调递增,所以时,函数有最大值,即促销费用投入万元时,厂家的利润最大.综上所述,当时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;当时,促销费用投入万元,厂家的利润最大.高考真题再现考点1导数的几何意义导数的几何意义在高考中常以选择题、填空题的形式考查,难易度,预计分值为5分,有时会以解答题的第一问的形式出现,考查的方式是与曲线的切线方程有关的问题.求解此类问题,首先证明已知点是否为切点,若是切点,可以直接利用导数求解;若不是切点,设出切点,再求导,然后列出切线方程.例1（2019·全国Ⅱ）曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.解析因为,所以,则曲线在点处的切线方程为,即.故选C.答案C例2（2018·全国Ⅲ）曲线在点,1)处的切线的斜率为,则_____.解析由题意得,则,所以.答案例3（2019·江苏）在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点为自然对数的底数,则点的坐标是_____.解析设点,则.又,当时,,则曲线在点处的切线方程为,即.将点代入,得,即.考察函数,当时,,当时,,且,当时,单调递增,注意到,故存在唯一的实数根,此时,故点的坐标为.答案考点2识图问题此类题在高考中主要以选择题形式出现,难易度为,预计分值为5分.识图主要从以下几个方面来考虑;(1)定义域;(2)值域;(3)单调性;(4)对称性;(5)极值与极值点;特殊点;极限思想.此类问题中,通常在研究函数的单调性和极值点时用到导数.例4（2017·浙江）函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是（）A.B.C.D.解析本题主要考查导数图像与原函数图像的关系:若导函数图像与轴的交点为,且图像在两侧附近连续分布于轴上下方,则为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数的正负,可得出原函数的单朋区问.答案D例5（2018·全国Ⅲ）函数大致为（）A.B.C.D.解析当时,,排除选项.时,，排除C选项.故选D.答案D考点3求函数的单调区间求解函数的单调区间通常以解答题形式考查，难易度为,预计分值分，其有两种考查方式：一是不含参数的函数求单调区间；二是含参数的函数求单调区间.例6（2019·浙江节选）已知实数，设函数.当时,求函数的单调区间.解析首先确定函数的定义域，求得，再令和，可求得函数的单调区间答案当时,,，令,得,函数单调递增.令,得,函数单调递减.所以,函数的单调递减区间为，单调递增区.例7（2019·全国Ⅲ节选）已知函数.讨论的单调性.解析首先求,再求方程的根，通过比较两根的大小分类讨论.令和可永数的单调区间.答案.令,得或.若,则当时;当时,,故在,若在上单调递减；若,则当时,0：当时.,故在,上单调递增在上单调递减.考点4函数的扱值高考通常以解答题形式考查函数的极值，难易度为0.4，预计分值为3~5分，考查方式：一是证明极值点的个数，二是已知极值点求参数.例8(2019·全国I节是)已知函数为的导数.证明:在区间存在唯一极大值点.解析设,先求式，再对x属于不同区间时函数的单调性进行讨论，从而得证.答案设,则,当吋,单调䢟淢,而.,可得在上有唯一零点,设为.则当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.故在上存在唯一极大值点，即在间上存在唯一极大值点.考点5函数的最值在高考中考查函数的最值有解答题，也有选择题和填空题，难易度为0.4，预计分值为3~6分，其通常与函数的单调性、极值结合起来考查.例9（2018·江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_____.解析由待,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以.因此,.从而函数在上单调递增,在上单调递减,所以.答案例10（2018·全国I）已知函数,则的最小值是_____.解析由题意可得是的一个周期,故只需考虑在上的值域.先来求该函数在上的极值点,求导数可得,令可解得或,可得此时或,所以的最小值只能在点或和边界点中取到,计算可得,，所以函数的最小值为.答案例11（2019·全国Ⅲ节选）已知函数.是否存在,使得在区间的最小值为且最大值为?若存在,求出的所有值;若不存在,说明理由.解析令,得和,然后对讨论,结合函数的单调性求解.答案满足题设条件的存在.（1）当时,,在上单调递增,所以在区间上的最小值为,最大值为.此时满足题设条件当且仅当,即.（2）当时,,在上单调递减,所以在区间上的最大值为,最小值为.此时满足题设条件当且仅当,即.（3）当时,若,则,若,则,故在上的最小值为,最大值为或.若,则,与矛盾.若,则或或,与矛盾.综上,当且仅当或时,在的最小值为,最大值为1.利用导数解决恒成立问题在高考中是高频考点,难易程度为,预计分值为分,有选择题也有解答题,其考查方式有两种:一是求参数范围,二是证明不等式.例12（2019·天津）已知,设函数若关于x的不等式在上恒成立,则的取值范围为（）A.B.C.D.解析当时,恒成立.当时,恒成立,令