【整合学案】10.2.2　复数的乘法与除法

高中数学精选资源2/210.2.2复数的乘法与除法学习目标核心素养1.理解复数的乘除运算法则.2.会进行复数的乘除运算．(重点)3.掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)4.掌握共轭复数的运算性质．(易混点)通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.一、复数的乘法1．定义一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z33.运算性质zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zeq\o\al(n,1)zeq\o\al(n,2).(其中m，n∈N＋)．4．i的乘方运算性质i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.5．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．二、复数的除法1．定义如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝eq\f(z1,z2)(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．2．意义一般地，给定复数z≠0，称eq\f(1,z)为z的倒数，z1除以z2的商eq\f(z1,z2)也可以看成z1与z2的倒数之积，因此可以利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝eq\f(1,zn).3．复数倒数运算设z＝a＋bi，则eq\f(1,z)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)，且eq\f(1,z)＝eq\f(\x\to(z),|z|2).4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且(1)当Δ＝b2－4ac(2)当Δ＝b2－4ac(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭1．复数eq\f(2,1－i)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，∴eq\f(2,1－i)的共轭复数为1－i，故选B.]2．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于()A．1 B．－1C.eq\r(2) D．－eq\r(2)B[∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0.得m3＋1＝0，即m＝－1.]3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝()A．2＋i B．2－iC．1＋2i D．1－2iB[法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(2a＋b由已知及复数相等的条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2b＝4，,2a＋b＝3，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))故选B.法二：z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i.]4．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．2[∵i·z＝1＋2i，∴z＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i，故z的实部为2.]复数代数形式的乘法运算【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数eq\x\to(z)等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.(1)D(2)C(3)5－5i[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.∴eq\x\to(z)＝2－3i.故选C.(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]复数乘法运算的方法与常用公式1．两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝_____________.4＋3i或－4－3i[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝eq\r(a2＋b2)＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4∵z1·z2是纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝0，,3b＋4a≠0，,a2＋b2＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－3.))∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]复数代数形式的除法运算【例2】eq\f(1＋i3,1－i2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i(2)i是虚数单位，复数eq\f(7＋i,3＋4i)＝()A．1－i B．－1＋iC.eq\f(17,25)＋eq\f(31,25)i D．－eq\f(17,7)＋eq\f(25,7)i(1)D(2)A[(1)法一：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i1＋i2,－2i)＝eq\f(1＋i1＋i2＋2i,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.故选D.法二：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up8(2)(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．(2)eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i，故选A．]复数除法运算方法与常用公式1．两个复数代数形式的除法运算方法(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)eq\f(1,i)＝－i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．(1)满足eq\f(z＋i,z)＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i B．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i D．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B．2C.eq\r(2) D．eq\r(3)(1)B(2)C[(1)∵eq\f(z＋i,z)＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝eq\f(i,i－1)＝eq\f(i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,2)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).]in的周期性及应用[探究问题]1．i5与i是否相等？提示：i5＝i4·i＝i，相等．2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.【例3】计算i1＋i2＋i3＋…＋i2020.[思路探究]可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)化简．[解]∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2020＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2017＋i2018＋i2019＋i2020)＝0.虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．3．计算：(1)eq\f(1＋i,1－i)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up8(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up24(3)·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(10).(2)1＋2i＋3i2＋…＋2021i2020.[解](1)∵eq\f(1＋i,1－i)＝i，∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.(2)设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2021i2020∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2021i2021∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2020－2021i2021＝1－2021i∴S＝eq\f(1－2021i,1－i)＝eq\f(1－2021i1＋i,2)＝1011－1010i1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．3．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．4．对共轭复数的理解：(1)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，其中a＋bi与a－bi是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据．(2)互为共轭复数的两个复数的模相等，且|eq\x\to(z)|2＝|z|2＝zeq\x\to(z).1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3A[z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，则复数eq\f(z1,z2)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－i,i)＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]3．若eq\f(2,1－i)＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.2[因为eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．eq\f(8,3)[设eq\f(z1,z2)＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4b，,2＝3b，))所以a＝eq\f(8,3).]5．计算：(1)(1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(1＋i)；(2)eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)；(3)(2－i)2.[解](1)法一：(1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(1＋i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i＋\f(1,2)i－\f(\r(3),2)i2))(1＋i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)＋\f(\r(3)＋1,2)i))(1＋i)＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(\r(3)＋1,2)i＋eq\f(\r(3)－1,2)i＋eq\f(\r(3)＋1,2)i2＝－1＋eq\r(3)i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝(1－i2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝－1＋eq\r(3)i.(2)eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)－\r(2)i\r(3)＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝eq\f(5i,5)＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.课时分层作业(七)复数的乘法与除法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．i为虚数单位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝()A．－1 B．1C．－i D．iA[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1－i2,1＋i2)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.]2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋iB[(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.]3．在复平面内，复数z＝eq\f(－2i,1＋i)(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[z＝eq\f(－2i,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,1＋i1－i)＝－1－i的共轭复数为－1＋i，对应的点为(－1,1)，在第二象限．]4．已知eq\x\to(z)是z的共轭复数，若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，则z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iA[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，代入z·eq\x\to(z)i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2b由复数相等的条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a2＋b2＝2b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))∴z＝1＋i，故选A．]5．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)等于()A．eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2A[∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(－\r(3)i2＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(i1－\r(3)i,1－\r(3)i2)＝eq\f(i,1－\r(3)i)＝eq\f(i1＋\r(3)i,4)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(i,4)，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(i,4)，∴z·eq\x\to(z)＝eq\f(1,4).]二、填空题6．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是________．－2[(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以7．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.1[因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝eq\f(4＋3i,3－4i)＝eq\f(4＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(25i,25)＝i.则|z|＝1.]8．已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.1[∵eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]三、解答题9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)).[解](1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.(2)原式＝(1＋i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(3,4)))＝1＋i.10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．[解](1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为eq\r(4＋4＋a2)＝eq\r(20＋8a＋a2).又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2eq\r(5).由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.[等级过关练]1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)D[A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，真命题；B，z1＝eq\x\to(z)2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然zeq\o\al(2,1)＝1，zeq\o\al(2,2)＝－1，即zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2)，假命题．]2．复数z＝eq\f(\r(3),2)－ai，a∈R，且z2＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，则a的值为()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)C[由z＝eq\f(\r(3),2)－ai，a∈R，得z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(\r(3),2)×ai＋(ai)2＝eq\f(3,4)－a2－eq\r(3)ai，因为z2＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－a2＝\f(1,2)，,－\r(3)a＝－\f(\r(3),2)，))解得a＝eq\f(1,2).]3．若复数z＝eq\f(7＋ai,2－i)的实部为3，则z的虚部为_____________．1[z＝eq\f(7＋ai,2－i)＝eq\f(7＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(14－a＋7＋2ai,5)＝eq\f(14－a,5)＋eq\f(7＋2a,5)i.由题意知eq\f(14－a,5)＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.∴z的虚部为1.]4．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，eq\x\to(z)对应点在直线y＝eq\f(4,3)x上，则z＝________.－3＋4i[设eq\x\to(z)＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti，∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，∵z的对应点在第二象限，∴t＜0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.]5．已知z为复数，eq\f(z－1,i)为实数，eq\f(z,1－i)为纯虚数，求复数z.[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\f(z－1,i)＝eq\f(a－1＋bi,i)＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.因为eq\f(z－1,i)为实数，所以a－1＝0，即a＝1.又因为eq\f(z,1－i)＝eq\f(a＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a－b＋a＋bi,2)为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.*10.3复数的三角形式及其运算(略)复数的概念【例1】复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[思路探究]根据复数的分类列不等式组求解．[解](1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2x－3＝0，②,x－3>0，③))由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2x－3≠0，②,x－3>0，③))由①得x>eq\f(3＋\r(21),2)或x<eq\f(3－\r(21),2).由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>eq\f(3＋\r(21),2)且x≠4时，z为虚数．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模的前提.,两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.,求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.1．(1)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．(1)D(2)1[(1)因为a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝－3，,a＋1＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故复数z的实部是1.法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝eq\f(－3＋2i,i)＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.]复数的四则运算【例2】(1)设i是虚数单位，eq\o(z,\s\up8(－))表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up8(－))＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i[思路探究](1)先求出eq\x\to(z)及eq\f(z,i)，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C(2)A[(1)∵z＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up8(－))＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq\f(5,2－i)＝2i＋eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝2i＋2＋i＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母i2＝－1，除法运算注意应用共轭的性质z·eq\o(z,\s\up8(－))为实数.2．(1)复数eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是()A．－eq\f(3,5)i B．eq\f(3,5)iC．－i D．i(2)已知复数z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)i))(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.(1)C(2)4＋2i[(1)依题意：eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2i－1,1－2i·i)＝－eq\f(1,i)＝i，∴其共轭复数为－i.(2)z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)i))(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.]复数的几何意义【例3】(1)在复平面内，复数eq\f(i,1－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)在复平面内，复数eq\f(1－2i,2＋i)对应的点的坐标为()A．(0，－1) B．(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))[思路探究]先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．(1)B(2)A[(1)复数eq\f(i,1－i)＝eq\f(i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.∴复数对应点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).∴复数eq\f(i,1－i)在复平面内对应的点位于第二象限．故选B.(2)∵eq\f(1－2i,2＋i)＝eq\f(1－2i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．]1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．EB．FC．GD．H(1)A(2)D[(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A．(2)由题图可得z＝3＋i，所以eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】设z∈C，满足z＋eq\f(1,z)∈R，z－eq\f(1,4)是纯虚数，求z.[思路探究]本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋eq\f(1,z)＝x＋yi＋eq\f(1,x＋yi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(x,x2＋y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,x2＋y2)))i，∵z＋eq\f(1,z)∈R，∴y－eq\f(y,x2＋y2)＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－eq\f(1,4)＝x＋yi－eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＋yi是纯虚数．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)＝0，,y≠0，))∴x＝eq\f(1,4)，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±eq\f(\r(15),4)，∴复数z＝eq\f(1,4)±eq\f(\r(15),4)i.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yix，y∈R，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.4．满足z＋eq\f(5,z)是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．[解]设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋eq\f(5,z)＝x＋yi＋eq\f(5,x＋yi)＝x＋eq\f(5x,x2＋y2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i，z＋3＝(x＋3)＋yi.由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y，))因为y≠0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．专题强化训练(二)复数(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－2 B．0C．2 D．－2或2A[由复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,x－2≠0，))解得x＝－2.]2．已知复数z＝2－i，则z·eq\x\to(z)的值为()A．5 B．eq\r(5)C．3 D．eq\r(3)A[z·eq\x\to(z)＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]3．设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\r(2)C[∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.]4．在复平面内，复数eq\f(1＋2i2,1＋i)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D[eq\f(1＋2i2,1＋i)＝eq\f(－3＋4i,1＋i)＝eq\f(－3＋4i1－i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(7,2)i，其共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(7,2)i，对应点位于第四象限，故选D.]5．已知z＝(m－3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)B[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3＜0，,m＋1＞0，))即－1＜m＜3.故实数m的取值范围为(－1,3)．]二、填空题6．复数eq\f(1＋2i2,3－4i)的值是________.－1[eq\f(1＋2i2,3－4i)＝eq\f(－3＋4i,3－4i)＝－1.]7．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋eq\f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．－4[因为eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))，所以2＋eq\f(a,2)i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－b＝－2a，,\f(a,2)＋a＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6，))得a－b＝－4.]8．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．－2[∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]三、解答题9．把复数z的共轭复数记作eq\x\to(z)，已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，求z及eq\f(z,\x\to(z)).[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝4，,2a－b＝3.))得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.∴eq\f(z,\x\to(z))＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(2＋i2,2－i2＋i)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.10．已知z＝1＋i，a，b∈R，若eq\f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝1－i，求a，b的值．[解]∵z＝1＋i，∴z2＝2i，∴eq\f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝eq\f(2i＋a＋ai＋b,2i－1－i＋1)＝eq\f(a＋2i＋a＋b,i)＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝1,a＋b＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2.))[等级过关练]1．若z＝1＋2i，则eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1 B．－1C．i D．－iC[因为z＝1＋2i，则eq\x\to(z)＝1－2i，所以zeq\x\to(z)＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝eq\f(4i,4)＝i.故选C.]2．设有下面四个命题p1：若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq\x\to(z)2；p4：若复数z∈R，则eq\x\to(z)∈R.其中的真命题为()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4B[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/⇒a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.]3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.3i[设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴eq\r(x2＋y2)＝3，①且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＋3≠0，))由①可得y＝3.∴z＝3i.]4．设i是虚数单位，复数z＝eq\f(\r(2)＋4i,1＋i)，则|z|等于________．3[z＝eq\f(\r(2)＋4i,1＋i)＝eq\f(\r(2)＋4i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4＋\r(2)＋4－\r(2)i,2)＝eq\f(4＋\r(2),2)＋eq\f(4－\r(2),2)i，∴则|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(2),2)))eq\s\up12(2))＝3.]5．已知复数z＝(2＋i)m2－eq\f(6m,1－i)－2(1－i)(m∈R)，当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．[解]由于m∈R，复数z可以表示为z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m当2m2－3m－2＝－(m2即m＝0或m＝2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．章末综合测评(二)复数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－iD[eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.]2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．b>0，a∈R D．a>0，b∈RD[复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．]3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是eq\x\to(z)，则eq\f(2－\x\to(z),z)等于()A．－1－2i B．－2＋iC．－1＋2i D．1＋2iC[由题意可得eq\f(2－\x\to(z),z)＝eq\f(2－－1＋i,－1－i)＝eq\f(3－i－1＋i,－1－i－1＋i)＝－1＋2i，故选C.]4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)＝2i”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件A[当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A．]5．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D[∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．]6．若1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1B[因为1＋eq\r(2)i是实系数方程的一个复数根，所以1－eq\r(2)i也是方程的根，则1＋eq\r(2)i＋1－eq\r(2)i＝2＝－b，(1＋eq\r(2)i)(1－eq\r(2)i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.]7.eq\x\to(z)是z的共轭复数．若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－iD[法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则eq\o(z,\s\up8(－))＝a－bi，∵z＋eq\o(z,\s\up8(－))＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\o(z,\s\up8(－)))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－eq\o(z,\s\up8(－)))i＝2，∴z－eq\o(z,\s\up8(－))＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\o(z,\s\up8(－))＝2，∴(z－eq\o(z,\s\up8(－)))＋(z＋eq\o(z,\s\up8(－)))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.]8．下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4C[∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵eq\x\to(z)＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题为p2，p4.]9．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是()A．－2＋3i B．－3－2iC．2－3i D．3－2iB[设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋－2,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(3＋－3,2)＝\f(2＋y,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.]10．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数mA．m≤－eq\f(1,4) B．m≥－eq\f(1,4)C．m＝eq\f(1,12) D．m＝－eq\f(1,12)C[设实根为x0，则xeq\o\al(2,0)＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(xeq\o\al(2,0)＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋x0＋3m＝0，,2x0＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1,2)，,m＝\f(1,12).))]11．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4bA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D[复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b又∵a2－6a＋10＝(a－3)2－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.所以复数对应的点在第四象限．故选D.]12．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0C[设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))则z2＝－b2<0，正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．13[复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝eq\r(－52＋－122)＝13.]14．a为正实数，i为虚数单位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝__________.eq\r(3)[eq\f(a＋i,i)＝eq\f(a＋i·－i,i·－i)＝1－ai，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝eq\r(3).]15．设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．8[a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]16．若复数z满足|z－i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．2π[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤eq\r(2)可得eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)．(2)eq\f(2＋2i,1－i2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))2020.[解](1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)eq\f(2＋2i,1－i2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))eq\s\up12(2020)＝eq\f(2＋2i,－2i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2i)))eq\s\up12(1010)＝i(1＋i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,i)))eq\s\up12(1010)＝－1＋i＋(－i)eq\s\up12(1010)＝－1＋i＋1＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＋i＝y－3－yi，①,2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i，②))有实数解，求实数a，b的值．[解]由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,y－3＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4，))将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋4a＝9，,－6＋b＝－8，))所以a＝1，b＝2.19．(本小题满分12分)已知m∈R，复数z＝eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R.(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．[解](1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得eq\f(mm2＋2m－4,m－1)＝0.解得m＝0或m＝－1±eq\r(5).所以当m＝0或m＝－1±eq\r(5)时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．20．(本小题满分12分)已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数[解]a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝eq\r(5)i，z2＝eq\r(2)－eq\r(3)i，z3＝2－i，z4＝－eq\r(5)在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→))，求点P对应的复数．[解](1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝eq\r(5)，即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．(2)∵A(0，eq\r(5))，B(eq\r(2)，－eq\r(3))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(3)－eq\r(5))．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up8(→))＝(x，y－eq\r(5))，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→))，那么(eq\r(2)，－eq\r(3)－eq\r(5))＝(2x,2y－2eq\r(5))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)＝2x，,－\r(3)－\r(5)＝2y－2\r(5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(5)－\r(3),2)，))∴点P对应的复数为eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(5)－\r(3),2)i.22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量eq\o(OZ,\s\up8(→))1，eq\o(OZ,\s\up8(→))2分别对应复数z1，z2，且z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，a∈R.若eq\x\to(z)1＋z2可以与任意实数比较大小，求eq\o(OZ,\s\up8(→))1·Oeq\o(Z,\s\up8(→))2的值．[解]由题意，得eq\x\to(z)1＝eq\f(3,a＋5)－(10－a2)i，则eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)－(10－a2)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋(a2＋2a－15)i.因为eq\x\to(z)1＋z2可以与任意实数比较大小，所以eq\x\to(z)1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝eq\f(3,8)＋i，z2＝－1＋i.所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，1))，eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝(－1,1)．所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1·eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝eq\f(3,8)×(－1)＋1×1＝eq\f(5,8).11.1空间几何体11.学习目标核心素养1.了解空间几何体的概念．(一般)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(难点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(易错点)1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养.2.借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养.1．空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．2．直观图立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图．3．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)．(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半．(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．4．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段．(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆．1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°C[在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.]2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点B[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]3．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3cm，平行于y轴的边长为1.5cm.]4．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形C[如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．]画平面图形的直观图【例1】用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)[解](1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图．(变条件)若将本例中的等腰梯形ABCD改为正五边形ABCDE，如图所示，那么其直观图如何画出？[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．画平面图形的直观图的技巧1．在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半．2．原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．3．原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[思路探究]eq\x(画轴)→eq\x(画底面)→eq\x(画侧棱)→eq\x(成图)[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．简单几何体直观图的画法步骤1．画轴：通常以高所在直线为z轴建系．2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．3．确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．4．连线成图．2．画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图．[解](1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如左图所示．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图.直观图的还原和计算问题[探究问题]1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？[提示]原三角形面积为S＝eq\f(1,2)a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝eq\f(1,2)h·sin45°＝eq\f(\r(2),4)h，S′＝eq\f(1,2)a′·h′＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(2),4)h＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)a·h＝eq\f(\r(2),4)S.【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键：(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．1．斜二测画法中的“斜”和“二测”(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上．3．直观图中“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变．(2)点的共性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)．(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． ()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴． ()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变． ()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ()[解析]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．[答