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2024/10/261一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：第四节有理函数的积分

第四章2024/10/262假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和2024/10/2632）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式2024/10/264（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为2024/10/265

为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例12024/10/266例2通分以后比较分子得：2024/10/267

我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到2024/10/268例3整理得2024/10/269例4

求积分解：例22024/10/2610例5

求积分解：例32024/10/2611解:

原式例6求2024/10/2612解:说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例7求2024/10/2613解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）

求点击看“常规解法”2024/10/2614第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!按常规方法解:2024/10/2615二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则2024/10/26162024/10/2617令2024/10/2618例9

（P215例4）求解：令则2024/10/2619例10（补充题）

求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。

由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。2024/10/2620解:

说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例11求2024/10/2621令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2.简单无理函数的积分2024/10/2622解:

令则原式例12（P217例6）求2024/10/2623解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例13求2024/10/2624解:

令则原式例14求（P217例8）2024/10/2625本节小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,

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