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文档简介
§1.7赫姆霍兹定理1、函数定义性质(1)δ函数是偶函数(2)δ函数具有抽样性例1-7
试证明是δ函数。证明:对于
，当时，有当时，，δ函数的第1个性质被满足。以为圆心作半径为的球面S，
限定体积为V。
则符合δ函数定义，故为δ函数。2、矢量场的类型无旋场、无散场、调和场和一般矢量场（1）无旋场的旋度恒为零，即
无旋场在其定义域内沿任意闭合路径l的环量恒为零，无旋场就是保守场。
无旋场环量为零的特性也可陈述为：无旋场的线积分与积分起点和终点的位置有关，而与积分路径无关。证明：即PQmn两点间的任意两条积分路径由可以定义一个标量场这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。令
2
=
b得的微分方程
负号意指某点的方向为该处取得最大减小率的方向可得无散场的二阶偏微分方程由上式可定义一个矢量位函数
A(r)（2）无散场的散度恒为零，即令泊松方程。（3）调和场在定义域内的旋度与散度均为零
调和场可简单看成是无旋场的散度也为零的特例，因此亦可引入标量位函数，
2
=0调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程令
b=0
得（4）一般矢量场的旋度和散度均不为零3、赫姆霍兹定理
在闭面S
所包围的有限区域(单连域或多连域)V
内，若给定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界S
上的法向分量Fn
或切向分量
Ft，则V内是唯一确定的。（1）唯一性定理：
用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两个和，然后再论证这两个矢量场是相同的，即。令在V内，有在边界S上，则有或
由可引入标量函数
(r)
且有
2
=0
(在V
内）
①②或对于条件①，可知对于条件②，因
对矢量函数
应用格林第一公式，并考虑到在V内有
2
=0，故同样得到由于的非负性，意味着
=0，即赫姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知在电磁场中电荷密度
电流密度
J场域边界条件矢量F
的通量源密度矢量F
的旋度源密度场域边界条件（矢量F唯一地确定）例：判断矢量场的性质=0=0=0
0
0=0（2）分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r)
，可以分解为无旋的Fi(r)和无散或管形的
Fs(r)两个部分，即
F(r)=Fi(r)+Fs(r)设矢量场F(r)的旋度和散度分别为
可得引入和，分别满足和因此，一般矢量场可用和表示为1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为Z
轴)的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F(r)=F(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族子午面上,场F的分布都相同，即F(r)=
F(
,z)，则称这个场为轴对称场。3、三种特殊形式的场
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