湖南省汨罗市2025届高二数学第一学期期末考试试题含解析

湖南省汨罗市2025届高二数学第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A. B.C. D.与2的大小关系不确定2．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.3．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（）A. B.C. D.4．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥05．若直线与圆：相切，则（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或26．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）A. B.2C.3 D.17．已知直线：和：，若，则实数的值为（）A. B.3C.-1或3 D.-18．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.9．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（）A. B.C. D.10．已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（）A. B.C D.11．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B.C. D.12．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A.20 B.30C.40 D.50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________14．有一组数据：，其平均数是，则其方差是________.15．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.16．如图，茎叶图所示数据平均分为91，则数字x应该是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，与轴垂直，且（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上，且，求的面积18．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）1819202122销量（册）6156504845（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.19．（12分）已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.20．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知正项等差数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和22．（10分）如图，在半径为6m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|xm，圆柱的体积为Vm3.（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.2、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.3、D【解析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以的竖坐标为0，横、纵坐标与A点的横、纵坐标相同，所以点的坐标为.故选：D4、C【解析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.5、B【解析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.【详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.故选：B6、B【解析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：B7、D【解析】利用两直线平行列式求出a值，再验证即可判断作答.【详解】因，则，解得或，当时，与重合，不符合题意，当时，，符合题意，所以实数的值为-1.故选：D8、A【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线，结合建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程【详解】椭圆的标准方程为，椭圆中的，双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，双曲线满足，即又在双曲线中，即，解得：，所以双曲线的方程为，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题9、A【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.故选：A10、D【解析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，所以，又因是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故B错误；所以，故A错误；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D.11、C【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因为点满足，所以，所以，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.12、B【解析】由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.【详解】由，可得，即圆心为，又圆过原点，所以圆的半径，故圆的标准方程为故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.14、2【解析】先按照平均数算出a，再按照方差的定义计算即可。【详解】∵，所以，方差，故答案为：2.15、8【解析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.16、1【解析】结合茎叶图以及平均数列出方程，即可求出结果.【详解】由题意可知，解得，故答案为：1.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由椭圆的性质求出，进而得出方程；（2）由，结合余弦定理求出，再由面积公式得出三角形的面积.【详解】解：（1），与轴垂直，，∴∴椭圆的方程为（2）由（1）知，∵，∴∴，∴的面积为【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用余弦定理结合完全平方和公式求出，进而得出面积.18、(1)(2)当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.19、(1);(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立,解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难.20、（1）当时，上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】（1）先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】易知函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，成立，所以符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，要使恒成立，则，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，要使恒成立，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.21、（1）；（2）.【解析】（1）设数首项为，公差为，由，，列出方程组，求得，，即可求