2025届江西省新余四中数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2025届江西省新余四中数学高二上期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m2．设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．已知，，，，则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.4．设双曲线：（，）的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于另一个点（为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.26．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A. B.C. D.7．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.58．已知、，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.9．已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为（）A.20 B.18C.16 D.910．复数的共轭复数是A. B.C. D.11．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）A. B.C. D.12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）A.101 B.99C.95 D.91二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点坐标为，则该抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________.14．若平面内两条直线，平行，则实数______15．直线的倾斜角为_______________.16．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列，则___________，___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.若函数有两个极值点，求实数的取值范围.18．（12分）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若，求以为直径的圆方程；（3）当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由19．（12分）甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；（2）目标被击中的概率20．（12分）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.21．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程，曲线C的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.2、B【解析】求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由已知可得，，则，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.3、C【解析】不等式性质相关的题型，可以通过举反例的方式判断正误.【详解】若、均为负数，因为，则，故A错.若、，则，故B错.由不等式的性质可知，因为，所以，故C对.若，因为，所以，故D错.故选：C.4、A【解析】由给定条件写出点A，F坐标，设出点B的坐标，求出线段FC的中点坐标，由三点共线列式计算即得.【详解】令双曲线的半焦距为c，点，设，由双曲线对称性得，线段FC的中点，因直线平分线段，即点D，A，B共线，于是有，即，即，离心率.故选：A5、D【解析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.6、D【解析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.7、D【解析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.详解】，圆心，半径，圆心，半径设点P，则，即到与两点距离之和的最小值，当、、三点共线时，的和最小，即的和最小值为.故选：D【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.8、B【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得，，因此，.故选：B.9、B【解析】根据椭圆的定义求解【详解】由椭圆方程知，所以，故选：B10、B【解析】因,故其共轭复数.应选B.考点：复数的概念及运算.11、B【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误故选：B12、C【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，求得，得到焦点坐标，结合抛物线的定义，得到，根据，求得，即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标为，可得，解得，设抛物线上的任意一点为，焦点为，由抛物线的定义可得，因为，所以，所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是.故答案为：.14、-1或2【解析】根据两直线平行，利用直线平行的条件列出方程解得答案.【详解】∵，∴，解得或，经验证都符合题意，故答案为：-1或215、【解析】由直线的斜率为，得到，即可求解.【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16、①.②.【解析】根据，，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.【详解】因为，，，，，以上个式子累加，得，则；因为，所以.故答案为：，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、.【解析】求得，根据其在上有两个零点，结合零点存在性定理，对参数进行分类讨论，即可求得参数的取值范围.【详解】因为，所以，令，由题意可知在上有两个不同零点.又，若，则，故在上为增函数，这与在上有两个不同零点矛盾，故.当时，，为增函数，当时，，为减函数，故，因为在上有两个不同零点，故，即，即，取，，故在有一个零点，取，，令，，则，故在为减函数，因为，故，故，故在有一个零点，故在上有两个零点，故实数的取值范围为.【点睛】本题考察利用导数由函数的极值点个数求参数的范围，涉及零点存在定理，以及利用导数研究函数单调性，属综合困难题.18、（1）或（2）（3）过定点，定点坐标为【解析】（1）对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，在所求直线斜率不存在时，直接验证直线与圆相切；在所求直线斜率存在时，设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合可得出所求直线的方程；（2）分点在轴上方、点在轴下方两种情况讨论，求出点、的坐标，可得出所求圆的圆心坐标和半径，即可得出所求圆的方程；（3）设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可求得以线段为直径的圆的方程，并化简圆的方程，可求得定点的坐标.【小问1详解】解：易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.【小问2详解】解：易知直线的方程为，、，若点在轴上方，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.综上所述，以为直径的圆方程为.【小问3详解】解：不妨设直线的方程为，其中，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，线段中点为，，所以，以线段为直径的圆的方程为，即，由，解得，因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点.19、（1）；（2）.【解析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.【小问1详解】设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.【小问2详解】目标被击中的概率为.20、【解析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，令，即可得出结论【详解】解：设圆的方程为，则，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，21、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小问1详解】）∵且，∴，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，，∴.22、（1）直线的