2021-2022学年新教材高中数学第五章计数原理4.2二项式系数的性质课件北师大版选择性必修第一册

4.2二项式系数的性质第五章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习激趣诱思知识点拨一、杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:上面的二项式系数表称为杨辉三角.名师点析从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.微练习如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为

.

答案

2n-1解析

由于每行第1个数1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.二、二项式系数的性质

3.各二项式系数的和

名师点析求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数还是偶数.微练习1在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=(

)

答案

A微练习2在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是(

)A.第n项和第n+1项B.第n-1项和第n项C.第n+1项和第n+2项D.第n+2项和第n+3项答案

C课堂篇探究学习探究一与杨辉三角有关的问题例1如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.反思感悟

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

变式训练1如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第

行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.

答案

34探究二求展开式中各项系数的和例2若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.(4)∵(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8

256-(-8

128)+(-1)=16

383.反思感悟

“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.变式训练2在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.探究三二项式系数性质的综合应用(1)系数的绝对值最大的项是第几项?(2)求二项式系数最大的项;(3)求系数最大的项;(4)求系数最小的项.又0≤k≤8且k∈N,∴k=5或k=6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大的项为中间项,即第5项,反思感悟

(1)求二项式系数最大的项:(3)把系数最大项问题通过分析运算得到正确结论,体现了数学运算的核心素养.变式训练3写出(x-y)11的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和;(5)各项系数的和.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等,又∵第6项系数为负,第7项系数为正,素养形成易错辨析——混淆系数最大和二项式系数最大而致错典例在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56,则展开式中系数最大的项为第

项.

解得n=10或n=-11(舍去),所以展开式共11项,从而系数最大的项为第6项.错因分析没有将展开式中“系数最大”与“二项式系数最大”区别好.答案

8反思感悟

1.注意展开式中“系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”的区别.2.求展开式中各项的系数的最大值,在系数均为正的前提下,根据通项公式当堂检测1.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中各项系数之和为(

)n+1n-1n+1-n+1-2答案

D解析

令x=1,则2+22+…+2n=2n+1-2.A.第6项 B.第3项C.第3项和第6项 D.第5项和第7项答案

D3.已知x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12·(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=

.

答案

7解析

令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.①令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,②①与②两式左、右两边分别相减,得28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.4.(x2-x-2)3的展开式中x3的系数为

.

答案

11解析

(x2-x-2)3=[(x+1)(x-2)]3=(x+1)3(x-2)3,5.已知

展开式中二项式系数之和比(2x+xlgx)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112