2021版新高考数学一轮复习第九章9.1基本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版

第九章平面解析几何第一节基本公式、直线的斜率与直线方程内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴___________时，规定它的倾斜角为0(或0°).(2)范围：直线l倾斜角α的取值范围是______________________________.向上方向平行或重合[0，π)(或{α|0°≤α<180°})2.直线的斜率(1)若直线l的倾斜角α≠，则l的斜率k=_______.

(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=_________.tanα3.直线方程的五种形式【常用结论】1.直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k=tanα，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了.2.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.直线方程的应用设直线方程时，只有在斜率存在时才可设成点斜式或斜截式，否则要根据斜率是否存在分两种情况讨论.当直线的斜率可能不存在，但一定不为0时，直线方程可设为x=ay+m，a∈R.x=ay+m适用于除垂直于y轴以外的所有直线.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越小,其斜率就越小. (

)(2)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α. (

)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. (

)(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. (

)提示:(1)×.当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k1<k2.(2)×.当直线斜率为tan(-45°)时,其倾斜角为135°.(3)×.两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等.(4)√【易错点索引】序号易错警示典题索引1倾斜角与斜率间的关系及正切函数的单调性考点一、T2,32求直线方程时要判断斜率是否存在考点二、T33直线方程中截距是可以为正、为负、为0的实数考点二、T2【教材·基础自测】1.(必修2P76练习BT2改编)直线l:xsin30°+ycos150°+a=0的斜率为(

)

【解析】选A.cos150°=,sin30°=,所以k=.2.(必修2P79练习BT3改编)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为 (

)A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0C.2x+y-8=0 D.2x-y-8=0【解析】选C.由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直线的方程为,整理得2x+y-8=0.3.(必修2P90习题2-2AT3改编)若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为________.

【解析】由题意得=12,解得m=-2,所以A(2,6),所以直线AB的方程为y-6=12(x-2),整理得12x-y-18=0.答案:12x-y-18=04.(必修2P112巩固与提高T1(2)改编)若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________.

【解析】

直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由解得x=2,y=-2,所以直线l恒过定点(2,-2).答案:(2,-2)考点一直线的倾斜角与斜率

【题组练透】1.直线x-y+1=0的倾斜角为 (

)A.30°

B.45°

C.120°

D.150°2.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (

)A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k1<k3<k2 D.k3<k2<k13.(2020·石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 (

)4.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________. 世纪金榜导学号

【解析】1.选B.由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tanα=1,又0°≤α<180°,故α=45°.2.选C.由图可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,故选C.3.选B.由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是.4.因为kAC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.答案:4【规律方法】1.倾斜角α与斜率k的关系:(1)当α∈时,k∈[0,+∞),且倾斜角越大,斜率越大.(2)当α=时,斜率k不存在.(3)当α∈时,k∈(-∞,0),且倾斜角越大,斜率越大.2.斜率的两种求法:(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.【秒杀绝招】第3题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角α=,则斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不对,所以选B.考点二求直线的方程

【典例】1.求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-x的倾斜角的的直线方程.2.经过圆C:(x+5)2+(y-2)2=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.3.求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1求点A关于l1,l2的对称点A′,A′′.2看到截距想到直线方程的截距式3看到字母想到对斜率是否存在的讨论【解析】1.因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120°,所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为,所以直线方程为y-3=(x-1),即直线方程为x-y+3-=0.2.因为圆C的圆心为(-5,2),当直线不过原点时,设所求直线方程为=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.3.①当m=2时,直线l的方程为x=2;②当m≠2时,直线l的方程为即2x-(m-2)y+m-6=0.因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.【规律方法】1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.【变式训练】1.(2020·邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是 (

)A.x=2

B.y=1

C.x=1

D.y=2【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为.由已知,所求直线的倾斜角为,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.2.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________.

【解析】设所求直线的方程为=1.因为A(-2,2)在直线上,所以-=1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,所以|a|·|b|=1.②由①②可得(i)或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为=1或=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0

考点三直线方程的综合应用

命题精解读考什么:(1)与直线方程有关的最值问题.(2)数形结合思想.(3)基本不等式.(4)函数的单调性.怎么考:以选择题或填空题形式出现新趋势:数学建模核心素养的应用学霸好方法1.求解与直线方程有关的最值问题基本不等式或函数法求最值.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,分离参数法求出定点.3.交汇问题

(1)三角形和四边形的面积.(2)基本不等式.(3)函数的单调性.【命题角度1】与不等式相结合的最值问题【典例】当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为________.

【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由解得y=,所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为

又k+≥2=2,当且仅当k=时取等号,故三角形面积的最大值为.答案:

【题后反思】如何用直线方程求出三角形的边长?提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.【命题角度2】与函数结合的最值问题【典例】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.

【解析】由题得A(2,0),B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.答案:【解后反思】如何找到a,b的关系进行消元?提示:P(a,b)在直线x+2y=2上,将a,b代入直线方程,得到a与b的关系.【命题角度3】由直线方程求参数的范围【典例】已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________. 世纪金榜导学号

【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=.又0<a<2,所以当a=时面积最小.答案:【解后反思】四边形的面积如何转化成三角形的面积?提示:设题中l1与y轴交点为A(0,2-a),l2与x轴交点为B(a2+2,0),则四边形OAPB的面积为三角形OAP和三角形OBP的面积之和.【题组通关】【变式巩固·练】1.已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是 (

)A.8

B.2

C.

D.16【解析】选A.因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,所以y=4-x,所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,当x=2时,x2+y2取得最小值8.2.过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.(2)求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程.【解析】(1)设所求直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则+=1.又因为

+≥2⇒ab≥4,当且仅当==,即a=4,b=2时,△AOB面积S=ab有最小值为4.此时,直线l的方程是+=1,即x+2y-4=0.(2)由题意知直线l的斜率存在