数学课后导练：函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。定义在R上的函数f(x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则必有(）A。函数f(x）是先增后减函数B。函数f（x)是先减后增函数C.f(x)在R上是增函数D.f（x）在R上是减函数解析:>0，∴f（a)—f(b)与a—b同号,即f（a)>f(b)时，a〉b；f(a)〈f（b）时,a<b,函数为增函数。答案：C2。已知函数f(x)=8+2x-x2,那么(）A。f(x)在(-∞，0）上是减函数B。f（x）是减函数C。f（x)是增函数D。f（x)在（-∞，0)上是增函数解析：x==1，∴f（x)在（-∞，0)上递增。答案：D3.下列函数中，在（0,2)上为增函数的是（）A。y=—x+1B.y=C。y=x2-4x+5D。y=答案:B4。函数y=x2—6x+10在区间（2,4）上是（）A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D。先递增再递减答案：C5。已知函数f(x）在区间[a，b］上具有单调性，且f(a)·f（b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b］上（)A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.必有唯一实根解析:由函数是单调函数,并且f（a）·f（b）〈0,知f（x)=0必有唯一实根。答案：D6。函数f(x）=的单调递增区间是（)A.（-∞,0］B.［—1,0］C.［0，1］D。[0，+∞)解析：∵1—x2≥0,∴x∈［—1,1］,1-x2在[—1，0］上递增.故y=的单调递增区间是\[-1，0\].答案：B7.设函数f(x)=（2a-1)x+b是R上的减函数,则有…(）A.a≥B。a≤C.a>D.a<答案：D8。函数f（x）在区间(—4，7）上是增函数,则y=f(x—3)在_______上是增函数。解析：y=f（x)向右平移3个单位变为y=f（x—3),而图象的形状不变，故f(x—3）在（-1，10）上为增函数。答案：（-1，10）9.如果函数f(x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f(2-t),比较f(1）、f(2）、f（4)的大小.解析:由题意知,f（x)的对称轴为x=2,故f(1）=f（3）。∵f（x)在［2，+∞)上是增函数，∴f(2）<f(3）〈f(4），即f(2）〈f（1）<f(4)。10.判断函数y=1—的单调性,并证明你的结论。解析：函数在（—∞，0)上是增函数,在(0，+∞）上也是增函数。任取x1、x2且x1〈x2<0，则f(x1)-f(x2)=1-1+=，因为x1<x2<0，所以x1x2〉0，且x1-x2〈0,即f（x1)〈f(x2）。因此y=1在（-∞，0)上是增函数。同理可证y=1在（0，+∞）上也是增函数.综合运用11。函数f(x)=2x2—mx+3,当x∈［-2,+∞）时是增函数,当x∈(—∞，—2］时是减函数,则f(1）等于（)A.—3B。13C.7解析：由题意,得对称轴为x==—2，∴m=—8.∴f(x）=2x2+8x+3。∴f(1）=2×12+8×1+3=13。答案：B12.已知函数f(x）在R上是增函数，若a+b＞0，则（）A.f(a）+f(b）＞f(—a）+f(-b)B。f（a)+f(b)＞f（-a）—f(—b）C.f（a）+f(-a）＞f（b)+f（—b）D.f（a）+f(-a)＞f(b)—f(—b）解析：∵a+b>0，∴a〉-b。∴f（a)>f（—b).又b〉—a，∴f(b)〉f（—a)。∴f（a）+f（b）〉f(-a）+f(-b）。答案:A13。函数f（x）=2x2—3|x｜的单调减区间是_______。解析：f(x)=画出图象,写出减区间.答案:[0,34］和（—∞，]14。已知A=[1,b]（b>1),对函数f（x）=(x-1）2+1,若x∈A时,f(x）∈A，则b=_______.解析：函数f(x）=（x-1)2+1表示开口方向向上，顶点坐标是（1，1），对称轴是x=1的抛物线。因此，当x∈[1，b]时,f(x)是增函数。∴当x=b时，f(x)取最大值f（b）,而f（b）∈［1,b］,故f(b)=b,即（b-1）2+1=b.整理，得b2-4b+3=0,解得b=1,b=3.又∵b〉1，∴b=3。答案：315.已知函数f（x),当x、y∈R时，恒有f（x+y）=f（x)+f（y）,当x>0时，f(x）<0,试判断f(x）在（0,+∞）上的单调性.解析:设0〈x1〈x2，则x2—x1>0，由条件得f（x2-x1)<0。又x2=(x2-x1）+x1，∴f（x2)=f\［(x2-x1）+x1\］=f(x2—x1)+f(x1).∵f(x2-x1）〈0,∴f（x2)=f（x2—x1)+f(x1）〈f（x1)，即f（x2）<f(x1).∴f(x）在(0，+∞）上是单调递减函数。拓展探究16.已知f（x)=-x3+ax在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围。解析：设0<x1<x2〈1,则x2—x1〉0，∵f（x)在(0，1）上是增函数，∴f（x2）—f(x1)=(-x23+ax2)—(—x13+ax1）=(x13-x