数学课后导练：二项式定理（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。（0.998）5精确到0。001的近似值为______________。解析：（0。998)5=(1-0.002）5答案:0。9902.今天是星期四,再过260天后的第一天是星期______________.解析：260=820=（7+1）20答案:六3。7100被36除所得的余数是______________。解析:7100=(6+1）100=6100+699+…+62+6+，只须求6+1被36除余几。答案：254。（湖北高考，14）（）5的展开式中整理后的常数项为____________.解析：由(）5=（)10，设常数项为Tr+1=（）10—r()r。据题意令10—2r=0,即r=5。故常数项为T6=。5。若n为正奇数，则7n+7n—1+7n-2+…+7被9除的余数是(）A.0B。2C.7解析：原式=7n+7n-1+7n—2+…+·7+1-1=（7+1）n-1=8n—1=（9—1)n-1=·9n-9n—1+…+·9·(-1）n—1+（-1）n—1=9n—·9n-1+…+·9-2（n为正奇数)，所以被9除,余数为7.答案：C综合运用6。据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%"，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五"末我国国内年生产总值约为(）A。115000亿元B。120000亿元C。127000亿元D.135000亿元解析：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得A=95933(1+7。3％)4≈95933（1+4×0。073+6×0。0732)≈127000亿元.故选C。7.0.9910的小数点后第1位数字为n1，第2位数字为n2，第3位数字为n3,则n1，n2，n3分别为(）A。9，4，0B.9，0，4C。9,2，0解析：0.9910=（1—0.01）10=1-10×0。01+45×（0。01)2—…=1-0.1+0。0045—…=0.9+0。0045—…故选B。8。1—2+4-8+16-…+(—1)n·2n等于（）A.1B。—1C。±1解析：原式=(1—2）n=(-1）n选D。9.已知（x+m）2n+1与(mx+1)2n（n∈N*，m≠0）的展开式中含xn项的系数相等，求实数m的取值范围.解析：设（x+m）2n+1的展开式通项公式为Tr+1=x2n+1-r。mr，令2n+1—r=n得r=n+1。故此展开式中，xn项的系数为·mn+1由题意知：·mn+1=·mn,∴）m是n的减函数.∵n∈N＊,∴m＞，又当n=1时，m=,∴＜m≤.故m的取值范围是[，］拓展探究10.已知数列{an}满足Sn=(n∈N*），Sn是{an｝的前n项的和，并且a2=1.（1）求数列｛an}的前n项的和;(2）证明：≤()an+1＜2。解析：(1）由题意Sn=an，得Sn+1=an+1.两式相减得2an+1=（n+1)an+1-nan，即（n—1）an+1=nan.所以（n+1）an+1=nan+2.再相加2nan+1=nan+nan+2,即2an+1=an+an+2.所以数列{an}是等差数列。又∵a1=a1,∴a1=0。又a2=1，∴an=n—1.所以数列{an}的前n项的和为Sn=an=.（2）（1+）an+1=(1+)n=。∵（r=1，2,…,n），∴（1+)n＜1+=2-（）n＜2而（1+）n≥+·，∴＜2。备选习题11.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元)，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6％的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）A。4200元-4400元B。4400元-4600元C.4600元—4800元D.4800元-5000元解析：在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时，可运用二项式定理将其展开，经简略计算去解决估值问题。2008年农民工资性人均收入为1800（1+0.06）5≈1800（1+×0.06+×0.062）=1800（1+0。3+0.036)=1800×1。336≈2405;又2008年农民其它人均收入为1350+160×5=2150故2008年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。故选B。12.已知函数f（x）=，证明：对于任意不小于3的自然数n，f(n)＞.证明：若直接运用二项式定理或数学归纲法去证明困难都大,故应另辟解题蹊径，将其转化为熟悉命题：f（n）＞＞2n＞2n+1（n≥3,n∈N),再证明就容易了。2n=（1+1)n=1+++…++＞2n+1.∵n≥3，展开至少有4项，故原命题获证。13。（经典回放）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？解析:设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，依题意得≥（1+10%)，化简得，x≤，即x≤1000—1000××1。0110.而（1。01)10=（1+0。01）10=1+×0。01+×0.012+…≈1。1045,所以x≤1000—1000××1.1045＜1000-996=4（公顷).答案：耕地平均每年至多只能减少4公顷。14.如果（ax+1）9与（x+2a)8的展开式中x3的系数相等，求a的值，并求无穷等比数列1,a，a2,a3,…各项的和（其中a≠0).解析：由已知得a3=（2a）5，a≠0，解得a=±。当a=时，1+a+a2+a3+…=；当a=—时，1+a+a2+a3+…=。15。设数列{an}是等比数列，a1=，公比q是（x+)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）.(1）用n，x表示通项an与前n项和Sn;（2)若An=，用n，x表示An.解析：(1）∵a1=，∴即∴m=3.由（x+)4知T2=x3·=x，∴an=xn—1,Sn=（2）当x=1时，Sn=n，An=+2+3+…+n,又∵An=n+（n—1）+（n—2)+…+,=，=,…∴2An=n（++…+）=n·2n，∴An=n·2n-1。当x≠1时，Sn=.［(++…+）—(x+x2+…+xn）］=[2n—1—(1