数学课后导练：半角的正弦余弦和正切

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。若sin2α=,则cos(—α)的值为（)A.B.C.±D。±解析：cos(—α)=(coscosα+sin·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α=,可利用（cosα+sinα)2=1+sin2α=。又∵sin2α=>,故2kπ+<2α〈2kπ+。从而kπ+〈α〈kπ+（k∈Z），即α终边在第一象限或第三象限.∴cosα+sinα=±.答案：D2.若=1，则的值为（)A。3B.—3C.-2解析：由已知解得tanθ=-,∴cos=3。答案：A3。已知θ是第三象限角，若sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A。B。C。D。解析:将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2—2sin2θcos2θ=，于是1-sin22θ=,∴sin22θ=.由已知,θ在第三象限，故θ∈（2kπ+π，2kπ+）,从而2θ∈(4kπ+2π，4kπ+3π）,故2θ在第一、二象限,所以sin2θ=.答案：C4。若,则sinα+cosα的值是（）A.B。C。1D.解析：由,①得，整理得=。②由①得=2。③②+③得,得sinα=.又由①得cosα=2sinα-1=2×—1=，故sinα+cosα=+=。答案:A5.若sin2α=,且α∈（,),则cosα-sinα的值是（）A。B.C。D.解析:∵(cosα-sinα）2=1—sin２α=1-=,∴|cosα—sinα｜=。由α∈（，)，知cosα〈sinα，∴cosα—sinα=。答案：C6.如果|cosθ|=，〈θ〈3π,则sin的值是(）A.B.C.D。解析：∵〈θ〈3π,〈〈,∴cosθ=.于是sin=.答案：C7。(2005上海高考,13)若cosα=且α∈(0，），则tan=__________。解析：∵α∈(0,）,∴∈（0,).∴tan=。答案：8.函数f(x）=cosx-sin2x—cos2x+的最大值是_________。解析:f(x)=cosx-(1—cos2x)-(2cos2x—1)+=—cos2x+cosx+=—(cosx-)2+2.当且仅当cosx=时,f(x)取最大值2.答案：2综合运用9.sin—sin+2sincos=_______________。解析：原式=sin—sin+2sincos=sin-sin+sin=sin—cos+sin=sin（—）+sin=-sin+sin==0.答案：010.已知0<α<β〈,sinα与sinβ是方程x2-(cos40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α—β）=_______。解析:∵Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,∴x=cos40°±sin40°.∴x1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α〈β〈90°，知β=85°,α=5°，∴cos（2α—β）=cos(—75°）=cos75°=cos(45°+30°）=.答案：11。已知cos（α+）=，≤α〈,求cos（２α+)的值.解：cos（2α+）=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α）。∵≤α+<,cos(α+）〉0，由此知〈α+<.∴sin(α+）=，从而有cos2α=sin(2α+)=2sin(α+）cos（α+）=2×(）×=.sin２α=-cos（2α+）=1—2cos2（α+）=1-2×（）2=。∴cos（2α+）=×（）=.拓展探究12。在△ABC中,求证：tantan+tantan+tantan=1.证明：∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A+B+C=π.从而有=—.左边=tan(tan+