中考最值问题：胡不归问题解析及练习

【新授内容】BPBPA知识储备：在Rt△PAB中，∠B=，设sinB=n，用含n的式子表示线段PA.由sinB=得，PA=sinPB=nPB（即sinPB表示直角三角形中的对边）解决胡不归问题如图，在△ABC中，P是AC上一动点，sin=nCABP，在图中画出当点P在什么位置时CABP分析：将nPB转化成系数为1的线段，由sin=n可得nPB=sinPB由知识储备可知，sinPB表示以PB为斜边的直角三角形中的直角的对边∴在图中要画出以PB为斜边，夹角为的直角三角形【4步法解决胡不归问题】DECABPPM解析：①由分析得，令n=sin，则DECABPPM②过n过后定点B作线段BM与PB夹角为③以PB为斜边作所对直角边，即过点PD⊥BM于点D则nPB=sinPB=PD④PA+nPB=PA+PD最小，当P、A、D共线的时候最小，即A到BM最小为垂线段AE，AE与BC交点即为所求点P（如图）【经典例题】如图，在△ABC中，BA＝BC＝4，∠A＝30°，D是AC上一动点，（Ⅰ）AC的长＝4；①=sin，即DC=sinDC②过定点C作③过点D作DE⊥CM于点EDC=sin①=sin，即DC=sinDC②过定点C作③过点D作DE⊥CM于点EDC=sinDC=DE④BD+DC=BD+DE最小即为垂线段BF，与AC交于点D解：∵=sin∴=30°则∠BCE=60°∵BC=4∴BD+DC=BD+DE=BF=2FABCDED2.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于．①①=sin，即PD=sinPD②过定点D作③过点P作PE⊥DE于点EPD=sinPD=PE④PB+PD=PB+PE最小，即最小值为垂线段BF，与CD交于点P解：∵∠A=60°，AB=6∴PB+PD=PB+PE=BE=3PEPE3.已知抛物线，与轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点C.（1）求点A，B和点C的坐标；（2）已知P是线段BC上的一个动点.①若PQ⊥轴，交抛物线于点Q，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；②求AP+PB的最小值.解析：（Ⅰ）令y=0，则，解得．∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0）令x=0，则y=2.∴C点坐标为（0，2）（Ⅱ）①设lBC:y=mx+n，将B（4，0），C（0，2）分别代入得，，解得，故可设P（t，），0≤t≤4，则Q（t，），且Q在P上方．∴PQ=()=又故BP+PQ=+()=当时取得最大值，此时P（，）②如图，延长AC至点D，使得CD=CB，连接BD，作DE⊥y轴于点E，过点P作PH⊥BD于点H．由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(14)2=25，所以AC2=BC2+AB2，∠ACB=90°．则△BDC是等腰直角三角形，∠CBD=45°AP+PB=(AP+PBsin45°)=(AP+PH)，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时(AP+PH)取得最小值．∵∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵∠DCE+∠BCO=∠BCO+CBO=90°，∴∠DCE=∠CBO．∴△CDE≌△BCO．∴DE=CO=2，CE=BO=4．可得点D的坐标为（2，6）∴BDS△ABD=AB.yD=BD.AH，代入可得，解得AH=，故有AP+PB=(AP+PH)≥2AH=所以AP+PB的最小值为.【课后练习】1.已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b