张学奇 《微积分（第4版）学习指导与习题解答（上册）》补充习题解答

微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答PAGEPAGE10微积分（第4版）学习指导与习题解答（上册）补充习题解答目 录TOC\o"1-2"\h\z\u第一章 函 数 3习题1.1 3习题1.2 4习题1.3 5第二章 限连续 6习题2.1 6习题2.2 6习题2.3 7习题2.4 7习题2.5 8习题2.6 9习题2.7 10第三章 数微分 13习题3.2 13习题3.3 14习题3.4 15习题3.5 15第四章 元数分应用 17习题4.2 17习题4.3 18习题4.4 19习题4.6 20习题4.7 20第五章 定分 22习题5.1 22习题5.2 22习题5.3 24习题5.4 26第六章 积分 28习题6.2 28习题6.3 29习题6.4 30第一章 函 数习题1.11.（偶数号题解答）（2）x211x211x3，不等式的区间表示为1,3；（4）x3x3或x3，不等式的区间表示为(,3)(3,)；3.（偶数号题解答）（2）要使函数有定义，只须x22x0，解得x0,x2，所以函数的定义域为(,0)(0,2)(2,).（4）要使函数有定义，只须x10，解得x1，所以函数的定义域为(1,).3x0 x3（6）要使函数有定义，只须

x0

，解得x0，所以函数的定义域为(,0)(0,3]6.（偶数号题解答）（2）yf(x2x1xxRxx，则1 2 1 22 1f(x)/f(x)221/22122112 12 1所以f(x)f(x)，即y2x1为(,)内单调增加函数.2 1（4）yf(x)12xx

R，则x 1 2当xx0时，f(x)f(x)1

2122(x1x2)01 2 2 1

x xxx 2 1 12微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答所以f(x)f(x)，即y12

为(,0)内单调减少函数.2 1 x当0x

x时，f(x)f(x)1

2122(x1x2)01 2 2 1

x xxx 2 1 122即y1 为)内单减函数x7.（偶数号题解答）（2）yf(x)xsin2x，因为f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，所以yxsin2x是奇函数.（4）yf(x)

xsinx

f(x(xsin(x)

xsinx

f(x)，y

xsinx2cosx

2x是偶函数.

2cos(x) 2cosx习题1.21.（偶数号题解答）（2）由y1ln(x2)解得xey12，即反函数为yex12.x x1

y y1（4）yx2

1x4解得x y

1y16，ex

x4x x1

lny xe4即反数为yx 1x16.lnx xe44.（偶数号题解答）（2）yu2,u1lnx；（4）yarcsinu,uv,v2x1微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答习题1.31.（偶数号题解答）（2）函数y12cosx图形如下；x（4）函数yln(x2)1图形如下yyOx3.（偶数号题解答））ynx1（）y1x)2（）yOyOxyx（1）（2）第二章 极限与连续习题2.1,,1,n（2）1:

111

，lim(1)n10 , , , n 2 34

n n（4）ln1：当n时，11ln1 n n n （2()n

1 12()n2()n,2 2

，当n时，un2

(1)n

不趋于一个常数，该数列极限不存在.习题2.23.（偶数号题解答）12x（2）对于任意给定的正数12x

012x

x

12，10Xlog21

0xX

012x所以lim10.12xx2x（4）对于任意给定的正数，取0，使得当0x2时，总有x24x24(x2)4x2x24x2所以limx2

x2x2

4.习题2.33.（偶数号题解答）x1arctanxxx由有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量，得

limx

2arctanx＝0.x（4）x11xx x与无穷小量的乘积还是无穷小量，得limsinxsin1＝0.x x x习题2.41.（偶数号题解答）n1n1 nn2 nn121

limnn2 n2(n1 n)lim n

11

n2(111)n

1211n(n1)（4）11n(n1)n1.2 2.3 3.4微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答(11n n11)(11)(11n n1

)]

1]1.n

2 2 3 3 4

n

n12.（偶数号题解答）2

11（2）

xx

x

x2 00.xx33x21

x131 1x x3(2x3)20(3x2)30 2x3203x230（4）

50 x

(2x1)320

x2x12x12302 x

3 x

220330

330

.x21

21

2

2

2 x x1 3 5x2x3（6）lim(5 )lim

5.x

x x2

x x2（8）lim x

2 lim

x(x1)2x1

x21

x1(x1)(x1) lim(x1)(x2)limx23.x1(x1)(x1) x1 24.（偶数号题解答）（2）2x2x(2x2x21ln10.arctan1

limarctan1

arctanlim1（4）ex

x1ex

x1e

xx1earctan0e01.习题2.52.（偶数号题解答）微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答（2）x0

x

x)x0

x)xxx

1.

2 221cos1cosx2

2x x2sin

2sin2

2（4）

2

2.x0

1cosx

x0

2sin2x2

x0

sin2x2

x22sinxsina（6）lim lim

2cosxasinxa2 2xa

xa

xasinxa

xalimcosxa

2 cosa.xa

2 xa23.（偶数号题解答）

22x

22xx22x

1 x

1 x（2）

xx2

x12

x

22x x

1 x1

x(4)1 2x

x/2x4

e48e4 e8112 x/21 1（4）x)1cosx[1(1x)]1cosxe1x0 x0习题2.63.（偶数号题解答）（）当x0时，(1x2)~x2,ex21~x2.x0

x2)ex21

x0

x2x2

1.（4）x0时，1x~

x,sinx~x.所以222

tanxx

xxcosx

(1cosx)x0

3x

x0

3x

x0cosxsin2x＝

x2/

1 1x0x2x x02cosx 2

xsinx1x1xx

1~

,tanx~x.所以2limx0

xx

lim1x1xx1

xx2xx

1.2习题2.73.（偶数号题解答）x(xx(x2

x2

得函数在x0,x1,x1无定义，所以x0,x1,x1为函数的间断点，又在x0处，

f(x)

x(x1)

1

1；x0

x0x(x1)(x1)

x0

x1lim

f(x)

x(x1)

1 1.x0

x0x(x1)(x1)

x0x1limx0

f(x)limx0

f(x)，所以x0为函数的第一间断点，且为跳跃间断点.x1

f(x)

x(x1)

1 1.x1

x1x(x1)(x1)

x1 2x1 x2x1 x(x2,x12补充义f ，即y2

1, x12

，则函数在x1处连续.x1

f(x)

x(x1)

1

.x1

x1x(x1)(x1)

x1

x1所以x1为函数的第二类间断点，且为无穷间断点.1（4）函数在x0处无定义，因为limx0

f(x)limsinxcosx0 x

0，所以x0为函数的第一间断点，且为可去间断点.补充定义f(x)0.即f(x)

nxcos1x

,x0，则函数在x0连续., x0

x0（6）考函数f(x) 1

在x0的连续性.1ex0 x001 1因为limx0

f(x)limx01e1/x

x0

f(x)limx01e1/x

0，即limx0

f(x)limx0

f(x)，所以x0为函数的第一间断点，且为跳跃间断点.4.（偶数号题解答） 1

1 （2）arctan

arctan

1.x2xx0x2x

x x0

x2（4）limx

arcsin(

x2x)(x2x2x

x2x)(x2(x2x x2x)(x2x x2x) x2x x2xxarcsinlimxx

2xxx2x x2x2 1111xx1111xx2第三章 导数与微分习题3.21.（偶数号题解答）（2）y3x23xln3.（4）y3x2cosxx3sinx.（6）y(x2exsinx)ex(2xsinxx2sinxx2cosx).（8）y2x2(xsinxx)2x(sinxxxsinx)（10）y

2x[xsinxln2(xln2)cosx].sec2x(xsinx)tanx(1cosx)(xsinx)2xsec2xsinxsec2xtanxsinx.(xsinx)23.（偶数号题解答）（2）ysin(13x)(3).（4）y

2x.1x22

1 3(arctanx)2（6）y

x)（8）y ex(（8）y ex(2cos)(sin )(cos21 1 1 1 1sin2cos21e xxxx2x2x

1x2

1x2

.)).（10）ynsinn1xcosxcosnxnsinnxsinnxnsinn1xcos(n1)x.（12）ycos(cos2x)2cosx(sinx)cos(sin2x)sin(cos2x)[sin(sin2x)]2sinxcosxsin2xcos(cos2x).（14）y

1 sec2x1sinxlntanxcosx

1sec2xsinxlntanx.tanx2

22 tanx4.（偶数号题解答）（2）y

1 (f(2x))

2f(2x).1f2(2x) 1f2(2x)（4）y

1 (1f2(x))2f(x)f(x).1f2(x) 1f2(x)（6）ysinf2(x1)xcosf2(x1)2f(x1)f(x1)1sinf2(x2xf2(xf(xf(x.习题3.31.（偶数号题解答）（2）y

2x1x2

,y

2(1x2)4x2(1x2)2

2(1x2)(1x2)2.（4）y

2cosx(sinx)lnxcos2

xsin2xlnx

cos2xx xy

2cos2xlnxsin2x

xsin2xcos2xx x22 2sin2x cosx2cos2xlnx .x x2（6）y(1x)(1x)(1x)2

2(1x)2

,y

4(1x)3.6.（偶数号题解答） 1 1

(n)

(1)n(n2)!（2）y

lnx1

,y

,y

,,y .x x2

xn1（4）yexxex,y2exxex,y3exxex, ,y(n)nexxex.习题3.41.（偶数号题解答）（2）方程两边分别对x求导，得yxyexy

(yxy)y0所以

y

yyexy

xy.1xxe（4）方程两边分别对x求导，得yeycos(xy)(1y)

y

cos(xy)eycos(xy).习题3.52.（偶数号题解答）（2）2x2xsin2x)dx.（4）(2xe2xx2e2x2)dx2x(x1)e2xdx.（6）dy

1tanx

dtanx2

1tanx

sec2xdxcscxdx.2 22 2（8）dy2ln(1

x)dln(1

x)2ln(1 x)

1 1dx

ln(1 ln(1 x)xx1 x x3.1 x xx（2）x2；（4）1e5x； （6）2 .x56.（偶数号题解答）（2）由近似公式ln(1x)x，得ln1.002ln(10.002)0.002；（4）由近似公式f(x0x)f(x0)f(x0)x，得arctan1

1112

0.020.7954.第四章 一元函数微分学应用习题4.21.（偶数号题解答）lnsinx

cotx

csc2x 1（2）x(2x)2

lim2x4(2x)22

limx82

.8（4）

x

x3x

3x

3sin3x

3.x3x xx3x xx x

sinx2 2 2 2（6）lim

1cosx2

lim

1cosx2

lim

2xsinx2

1 sinx2lim

1.x0

x2sinx2

x0 x4

x0

4x3

2x0 x2 22.（偶数号题解答）1 11（2）limx2ex2x0

limx0

ex21x2

limx0

ex2(2x3)2x3

1limex2x01

11 x)

xx)

x1

1 .x0x

x2

x0 x2

x0 2x

1x0x) 21ln11x 1 1

lim

x21

2x 1

xln12 limxln12

x

lim2（6）lim1x

x2

ex

xex

xe

x exx1e012 2（8）lim(sinx)1lnxlime1lnx

lnsinx

lim2lnsinxex0nx

lim2cosxx01sinxe x

lim2cosxex0

e2.x0 x0习题4.31.（偶数号题解答）函数的定义域为y3x26x3x(x2y010x22())，.在y0，故函数在在y0，故函数在在(2,)内，y0，故函数在(2,)上单调增加.（4）y

x1x21x2x1x21x21x2111

0 (xR定义域(,)内都是单调增加的.1xy0xex2划分成两个区间：(0,e)，(e,)在ey0，故函数在在y0，故函数在3.（偶数号题解答）yy

x2)4x2

x2) 函定域为( , )，

x2)2

x2)2

0令y 0得驻点x1

x10

1x10

x10，x11x1是函数的极大值点，极大值为y(1)1.函数定义域为y2xexx2exxex(2xy0，0，x22x0时，y00x2时，y0x2时，y0x00；x2极大值为y(2)4e2.习题4.41.（偶数号题解答）（2）函数的定义域为y

2x，x2)23x2)28x2x2) 2(3x213y

(1x2)4

(1x2)3

y

0，得x .133当x 时，0；当133

x

10x

1，0，3所以曲线的凸区间为(3

1,1

3)，凹区间为(,3

1)，(1

3,)；拐点为33333 1,3.33334 （4）yln(1x2)2xarctanx的定义域为(,)，y

2x1x2

x

x1x2

)x，y

21x2

0，所以该函数在(,)内都是凸的，无拐点.习题4.61.（偶数号题解答）（2）因为f(x)xex，f(x)exxex，f(x)2exxex，,f3exxex, f(n)(x)(nexxex).,f0f1ff3f(n(0n，代入马克劳林公式，得f(x)xex

(1)n1(n(1)n1(n1)!

xno(xn

).（4）f(xsin2x12xf(x2xf2cos2x,f,

将f0，

f0，

f2，

f(0)0，f(4)(0)

，代入马克劳林公式，得f(x)

x22!

23 4x4!x

(1)n122n1(2n)!

x2n

o(x2n

).习题4.71.（偶数号题解答）（2）y

2x1x2

，令y0，得驻点x0，函数在驻点与区间端点处的函数205，比较大小可知，该函数在上的最大值为ln5，最小值为0.1221 1 21（4）y x3 x3(xx3(5x 2)y0x

，x03 3 53333 45 ，0，y(

2)5

，y(

1) 1 131 132 4比较大小可知，该函数在[1,12]上的最大值为0，最小值为－2.第五章 不定积分习题5.13.（偶数号题解答） （2）(x1)3dx(x33x23x1)dx1x4x33x2x 4 2（4）

3x43x21x21

dx(3x2

1x2

x31

arctanxC.（6）e

x1

exxdx(exx

1)dxex2xxx

C.1 1（8）

112x

dx

2cos2x

dx

2sec2xdx1tanxC.2cos2x

cos2xsin2x 1 1（10）sin2xcos2xdx

cos2xsin2xdx(sin2xcos2

)dxx(csc2xsec2x)dxcotxtanxC.1cos2x

1cos2x

1 2 1 1 1（12）12xdx

2cos2xdx2secx2dx2tanx2xC. sin2x sin2x 1 2（14）1cos2xsin2xdx2cos2xdx2tan 1(sec2x1x1xC.2 2 2

xdx习题5.2）1 1 1 1（2）12xdx212xd2x)2|12x|C.1 1 1 11 1 3（4）x

2x21dx

2x21d(2x21) (2x21)2C.4 6 x21 ex x2（6）exexdxe2x

dx e1 (e)1

C.（8）

sinx

dx

dx1

cos2xC

1 C.cos3xearctanx

cos3xarctanx

2cos2xarctanx（10）1x2dxe

darctanxe

C.（12）

tanxsecxdx 2(secx 2

d(secx1) 2(secx 2

1secx1

C.xx(1xx(1x)xx（14）xx

21(

dx)2

2arctan

xdarctan(arctan x)2C.（16）

xcosxsinxdx(xsinx)2

d(xsinx) 2(xsinx 2

1xsinx

C.（18）

1lnx(xlnx)2

dx

d(xlnx) 2(xlnx 2

1xlnx

C.x3 1 x2dx2 1 9 2（20）9x2dx29x22(19x2)dx 21x29 1 22 29x

d(x29)1x29ln(9x2)C.2 21 1 1 1 1

d(x2)

d(x1)（22）(x1)(x2)dx3(x

)dx

2 x1 3

x2

x11|(x2)|13 3

|(x|C

1 x2| |C.3 x1ex ex

1 ex

ex （24）4e2xdx(2ex)(2ex)dx4(2ex)(2ex)dx 2ex2ex1d(ex2) d(22ex2ex4

(2ex)

(2ex)

4ln

C. 1（26）sin2xcos3xdx2(sin5xsinx)dx111sin5xd(5x)sinxdx15x1xC.25 10 2（28）cos2xsin3xdxcos2x(1cos2x)sinxdxcos3x cos5x(cos2xcos4x)dcosx C.3 5）x21（2）令t ，则t2x2x21xx21x2xxx21x2x21

tC (t21t2x21x21x29（4）令x3sect，则 3tant,3sectx29x29 dx 3tant3secttantdtx29 x 3sect

tdtc2t)ttntt)C

3arccos3C.x2x29习题5.31.（偶数题解答）2 2 cos2x

x2cos2x

cos2x（2）x

sin2xdxxd 2

2

2xdx2x2cos2xxsin2xsin2xdxx2cos2xxsin2xcos2xC.2 2 2 2 2 42（4）xln(xdxln(xdx222

2x2ln(xx

x2 1dx22x2ln(x1)1(x11)dx

2 x12 2 x1x2

ln(x1)

1x2(

xlnx1)C2 2 2x21

x2 xln(x1) C.2 4 2x（）n2xxxn2xx2nx1xxn2x2nxxxln2x2(xlnxx1dx)xln2x2xlnx2xC.x（）c3xxcdtnxtnxcxtn2xcxtnxcxcxc2x)xtnxscxsc3xscxtnxscxnscxtnxsc3x.所以 sec31xxxtanx)C.11x21x21x2 1x2（10） 1x2

x1x2 xx1x2x 2 x12x

1x 1 x（12）e

sin

xdxe

dx e2 2

2e

cos2xdx微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答 由于 ex2xdx1sin2xex1sin2xe 2 21sin2xex1cos2xex1excos2xdx，2 4 4于是 ex2xdx2sin2xex12xexC.5 5所以 exsin2xdx1ex1sin2xex12xexC.2 5 102.（偶数题解答）1（2）令tlnx,

dxdtxxx

dxlntdttlnt1dttlnttClnxlnlnxlnxC.（4）令tex,xlnt,dx1dt.tarctanex

arctant

1 1 1 1 ex

dx t

tdttarctantt

1t

2dt1t

1 t

dtC1arctantlnt1ln(1t2)Ct t 1t2 t 2 xexarctanex1ln(1e2x)C.2习题5.4（偶数号题解答）2x3 A B（2）设 x23x10 x5

x2

2x3B(x，比较两端同次项系数，得

AB2

，解得A1,B1.所以15B2A312x3x23x10

dx

(x5

1x2

)dx微积分（微积分（4版）（上册：补充习题解答x5x2x5x2Cx5x2x21

1 12 2 1（4）(x1)2(x1)dx(x1x1(x1)2)dx1x11x12 2

1x1

C1lnx2121 1x1

1x1

C.（6）

1 dx

(1 2 2 2)dx(x21)(x2x)

x x1

x21 1dx1 1

dx1 2x

dx1 1 dxx 2x1 4x21 2x21lnx1lnx11ln(x21)1arctanxC.2 4 2x 2（8）令ttan121

(x)，则sinx1t2,dx1t2dtdx2sinx

121t2

21t2

dt

1tt2dtd2(t1)32 3 2 3

2arctan2

(t1)C1[

2(t1)]2 33 2

3

22arctan1(2tanx1)C.3 3 2 第六章 定积分习题6.22.（偶数号题解答）

(nxet2t)'

sin2xx01 sinx0

t2 0

e x 1（2）lim2x0

e dtlimx0

(2x)'

lim x0 2 2（4）

23t2dtx0x

x23( t2dt)'0

x32xx 0 0x0xt(tx 0 0

(t(tsint)dt)'

x0x(xsinx)lim

2x3

lim

6x2

lim

12x

12.x0xsinx

x01cosx

x0sinx4.（偶数号题解答）3 222 1