数字信号处理（第2版）课件 第3章-离散傅里叶变换（DFT）

1第3章离散傅里叶变换（DFT）3.5连续信号的DFT分析3.3离散傅里叶变换的性质3.2有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）3.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.4用DFT实现线性卷积3.6用MATLAB实现离散信号的DFT23.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.1.1

四种形式的傅里叶变换

时域

频域非周期

连续

FT

连续非周期

周期

连续

FS

离散非周期

非周期离散DTFT连续周期

周期离散DFS离散周期

33.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）非周期连续时间信号的傅里叶变换返回

43.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）2.非连续时间信号的傅里叶级数返回

53.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）返回

3.非周期离散时间信号的傅里叶变换63.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）4.周期离散时间信号的傅里叶变换73.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.1.2离散傅里叶级数与周期连续时间信号一样，可以用傅里叶级数来表示周期序列。设具有谐波性质的序列ek[n]，称为第

次谐波,式中

为整数，共个独立谐波分量。的离散傅里叶数则可展开成如下形式8式中，

是常系数，

是k次谐波的系数。在式(3.1-10)两边均乘以e

j(2

/N)rn，再求和，可得利用复指数的正交性：3.1.2离散傅里叶级数93.1.2离散傅里叶级数求得傅里叶级数的系数也是一个以N为周期的周期序列，即利用符号

来表示复数，离散傅里叶级数对可以表示为10例3.1-1求周期脉冲串

的离散傅里叶级数。解：上式表明对于所有的k值，

均相同，将求解出的离散傅里叶级数系数代入式(3.1-18)，可得3.1.2离散傅里叶级数11例3.1-2求周期矩形脉冲序列

的DFS，

如下图所示，由

以10为周期进行周期延拓得到。解：该周期序列的周期是3.1.2离散傅里叶级数12例3.1-2的周期序列

的DFS：(a)幅度谱，(b)相位谱3.1.2离散傅里叶级数13求

在一个周期即

内的序列x[n]的傅里叶变换X(ej

)将X(ej

)和

的幅度和相位叠加画在一起，如下图所示3.1.2离散傅里叶级数14

例3.1-2和X(ej

)的关系k

1012345678910（a）

5

2

0

10（b）k

2

5

510

2

比较X(ej

)和

，可得3.1.2离散傅里叶级数15考虑周期序列和有限长序列之间的联系：x[n]的傅里叶变换为的离散傅里叶级数为比较两式，可得3.1.2离散傅里叶级数16结论：

的DFS系数

，可以看成是对上的一个周期部分序列x[n]，0

n

N

1，的傅里叶变换进行等间隔采样，频率采样间隔为

。3.1.2离散傅里叶级数173.1周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.1.3

离散傅里叶级数的性质都是周期为N的周期序列，它们的DFS分别为线性式中，

和为任意常数，线性组合得到的离散傅里叶级数也是周期为N的序列。183.1.3离散傅里叶级数的性质2.

序列的移位证：因为

和都是以N为周期的周期函数，则从而同理193.1.3离散傅里叶级数的性质3.共轭对称性复序列

，其共轭序列

的DFS满足证：同理203.1.3离散傅里叶级数的性质依据线性性质，可得，称为

的共轭对称分量；同理，称为

的共轭反对称分量。213.1.3离散傅里叶级数的性质4.周期卷积若则证：223.1.3离散傅里叶级数的性质例3.1-3求下图所示两周期序列的周期卷积。解：和都是以

为周期的周期序列，根据周期卷积和公式，首先将两个序列的自变量n改为m，然后四步骤1、反褶2、时移由于周期性，n取值3、相乘4、求和

对乘积项中的

求和，得到。23243.2有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）同样3.2有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）3.2.1

离散傅里叶变换的定义设为有限长序列，长度为N，可以看成是周期为N的周期序列在一个周期

上的取值，这个周期

称为主值区间。253.2.1

离散傅里叶变换的定义和关系还可以描述为式中，<n>N是模运算关系，表示如果n=mN+n1，其中m和n1都是整数，且0

n1

N

1，则有下式成立，而n1称为<n>N模运算的余。例3.2-1设是周期N=5的周期序列，求n=-14和n=26时对N的余数解，即序列的值。解：，因而

，所以263.2.1

离散傅里叶变换的定义故和可以表示为与此类似，离散傅里叶级数

也是周期为N的周期序列，定义主值区间0

k

N

1，

为其主值序列。273.2.1

离散傅里叶变换的定义离散傅里叶级数（DFS）变换对：

这两个公式的求和都只限于主值区间，即0到N-1，因而变换关系也适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。(3.2-7)(3.2-8)283.2.1

离散傅里叶变换的定义(3.2-7)(3.2-8)式(3.2-7)称为序列x[n]的N点离散傅里叶变换，式(3.2-8)称为离散傅里叶逆变换。x[n]和X[k]构成离散傅里叶变换对，记着

对DFT来说，x[n]和X[k]都是有限长序列，但式(3.2-7)和式(3.2-8)是对DFS的改写得到的，有限长序列都是以周期序列的一个周期来考虑的，因此x[n]和X[k]隐含着周期性。293.2.2

DFT和离散时间傅里叶变换的关系长度为N的序列x[n]，其DFT和

分别为比较两式，N点离散傅里叶变换X[k]是以

为采样间隔，对该序列的离散时间傅里叶变换

在一个周期内（）的等频率间隔采样，即3.2有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）303.2.2

DFT和离散时间傅里叶变换的关系例3.2-2设有限长序列x[n]=R5[n]，如图所示，n

1012345678910x[n]1求:（1）当N=5和N=10

时的离散傅里叶变换；

（2）离散时间傅里叶变换

。解：（1）当N=5时，利用离散傅里叶变换定义求解，313.2.2

DFT和离散时间傅里叶变换的关系当N=10时，在x[n]的后面补5个零值，

构成10点序列，其10点DFT为此结果可参照例3.1-2，与表达式完全一致，只不过这里的X[k]是的一个周期。32k

1012345678910X[k]5（b）5点DFTX[k]

10k

10012345678910（c）10点DFT的幅度|X[k]||X[k]|53.241.2411.243.24k

表示不确定的相位值（幅值=0）

0.4

0.2

0.2

0.4

10

10（d）10点DFT的相位333.2.2

DFT和离散时间傅里叶变换的关系（2）有限长序列x[n]=R5[n]，其

同例3.1-2完全一致，如下图0（e）DTFTX(ej

)

5

2

-

-2

343.2.3

频域采样其N点的IDFT为由于故

x[n]绝对可和，其DTFT为

，以进行频域采样，在得到N个频率样本

，可为序列Y[k]，其N点IDFT为y[n]，

，下面推导x[n]和y[n]的关系。353.2.3

频域采样

频域采样后，由Y[k]得到的有限长序列y[n]是原序列x[n]以频域采样点数N为周期进行周期延拓后的主值序列。x[n]的长度大于Nx[n]长度小于

或等于N363.2.3

频域采样频域采样定理：如果序列x[n]长度为M，若对其

在

进行等间隔采样，采样间隔为

，采样点频率为

，得到N点的Y[k]，仅当采样点数时，才能由Y[k]恢复x[n]，即x[n]=IDFT

[Y[k]]，否则将产生时域的混叠失真，不能由Y[k]无失真的恢复原序列。373.2.3

频域采样DTFT采样可恢复原信号周期延拓M<N0

n

M–10

k

N–1y[n]x[n]383.2.3

频域采样DTFT采样发生混叠周期延拓M

N0

n

M–10

k

N–1y[n]x[n]393.2.4

频域插值频域插值就是由频域采样X[k]经过插值来表示

的过程。右边求和部分记403.2.4

频域插值即由N个加权系数为X[k]的函数叠加得到，在每个采样点上，都有

。0

1

2

2

N=52

/N4

/N

4

/N

2

/N（a）插值函数的幅度

（c）恢复得到的DTFTX(ej

)X(ej

)0X(ej

)413.3离散傅里叶变换的性质3.3.1线性若则序列x3[n]的长度也为N，其N点DFT为若x1[n]的长度为N1，x2[n]的长度为N2，则序列x3[n]的最大长度为N3=max[N1,N2]。则DFT的长度

，即将x1[n]和x2[n]尾部补零值，使得其长度为N。423.3离散傅里叶变换的性质3.3.2循环移位定义又称：圆周移位，这种移位可以看成是将有限长序列x

[n]以N为周期进行周期延拓，得到周期序列

，再对周期序列

做线性移位后，取主值区间得到。步骤1:周期延拓，周期为N步骤2:时移步骤3:取主值区间例：433.3.2

循环移位可见，序列x[n]从右边移出m位，则从左边就移入m位相同的序列值，所以称之为圆周移位，也即序列值永远在一个圆周上移位。44453.3离散傅里叶变换的性质序列x[n],其N点的离散傅里叶变换为X[k]若将X[k]中的k换成n，即求N点的时域序列X[n]的DFT，则上式与连续时间傅里叶变换中的对偶关系类似3.3.3对偶性463.3离散傅里叶变换的性质3.3.4圆周共轭对称性N点的有限长序列x

[n]，DFT[x[n]]=X[k]，有X[k]为有限长序列，可分解为两个长度为N的有限长序列，这两个分量称为圆周共轭对称分量

和圆周共轭反对称分量

。3.3.4

圆周共轭对称性对于

，

，通常认为X[N]=X[0]，所以上式也表示为圆周共轭对称分量具有圆周共轭对称性，即圆周共轭反对称分量具有圆周共轭反对称性，即同样的，可将序列x[n]分解为

和

。473.3.4

圆周共轭对称性N点复序列N点DFT48483.3.4

圆周共轭对称性

若x[n]为实序列，则分解的和称为圆周偶对称分量和圆周奇对称分量。因x[n]为实序列，，其离散傅里叶变换具有圆周共轭称对性，即。即49503.3离散傅里叶变换的性质3.3.5循环卷积（1）定义设两个有限长序列x1[n]和x2[n]的N

点DFT分别为X1[k]

、X2[k]，若则Y

[k]的N

点IDFTy

[n]可利用DFT和DFS之间的关系得简写为称为N点循环卷积或N点圆周卷积，记Ny

[n]=x1[n]

x2[n]

3.3.5

循环卷积Ny

[n]=x1[n]

x2[n]

循环卷积运算似于线性卷积运算，但略有不同。首先将两个序列的自变量n改为m，然后按以下五步骤计算步骤1:

x2[m]周期延拓，周期为N

步骤2:反褶步骤3:移位

，

n取值步骤4:相乘

步骤5:求和

对乘积项中的

求和，得到y

[n]。513.3.5

循环卷积循环卷积具有交换律Nx1[n]

x2[n]

=x2[n]x1[n]

N即Ny

[n]=x2[n]x1[n]

例3.3-1设x1[n]={1,2,3,4}，x2[n]={2,1,3}

，求循环卷积4y

[n]=x1[n]

x2[n]。解：循环卷积公式为4y

[n]=x1[n]

x2[n]52533.3.5

循环卷积（2）循环卷积定理Nx1[n]

x2[n]

证：循环卷积定理说明，两个序列的N点循环卷积，可以通过频域方法求解。具体实现步骤为：1、分别求

x1[n]、x2[n]的N

点DFT：X1[k]

、X2[k]；2、将求得的DFT相乘；3、对乘积求IDFT。543.3.5

循环卷积例3.3-2设x1[n]长度为5的序列，

，求5y

[n]=x1[n]x2[n]。解：可以认为x2[n]是长度为5的有限长序列x2[n]的5点DFT为x1[n]的5点DFT为，则利用循环移位定理，可知55563.3离散傅里叶变换的性质3.3.6帕斯瓦尔定理x

[n]和y

[n]的N

点DFT分别为X

[k]

、Y

[k]，

则有当x

[n]=y

[n]时，有同样，若则y[n]的N点离散傅里叶变换为N573.4用DFT实现线性卷积3.4.1两个有限长序列的线性卷积已知一个长度N1点的序列x1[n]，，另一个长度N2点的序列x2[n]，

，则两序列的线性卷积为线性卷积

是长度为N1+N2-1点的序列。3.4.2循环卷积和线性卷积的关系考虑上述有限长序列x1[n]和x2[n]的N点循环卷积，其中

，两个序列均补到N点，再进行循环卷积运算。58比较和，可得循环卷积和线性卷积的关系：两个有限长序列的N点循环卷积，是这两个有限长序列的线性卷积以N为周期进行周期延拓后的主值序列。3.4.2

循环卷积和线性卷积的关系3.4.2

循环卷积和线性卷积的关系例3.4-1若两个有限长序列x1[n]=x2[n]=R6[n],求（2）y2[n]=x1[n]x2[n]。126（1）y1[n]=x1[n]x2[n]；解：59y2[n]=x1[n]x2[n]12y1[n]=x1[n]x2[n]6603.4.2

循环卷积和线性卷积的关系线性卷积

是长度为N1+N2-1点的序列,如果延拓的周期N,各延拓的周期没有交叠，

；结论：两个有限长序列的循环卷积和线性卷积相等的

前提条件是：,延拓周期小于线性卷积非零值得长度，故而延拓过程中发生混叠，

，且只有和对循环卷积的结果有贡献。611、令

，对x

[n]、h[n]补零，至N点，即623.4用DFT实现线性卷积3.4.3用DFT实现线性时不变系统设一个线性时不变系统，输入为x

[n]，，单位样值响应为h[n]，

,系统的响应

,长度为N1+N2-1。现利用循环卷积来实现该类系统，过程如下：2、分别求x

[n]、h[n]的N点DFT，5、4、求

的N点IDFT，得到：3、求乘积：633.5连续信号的DFT分析3.5.1非周期连续时间信号的频谱分析图3.5-1利用DFT计算连续信号频谱的分析框图(3.5-2)(3.5-1)(3.5-3)3.5.1非周期连续时间信号的频谱分析图3.5-2利用DFT对DTFT近似的频域分析过程64

连续时间信号进行采样，其采样序列的频谱是被采信号频谱的周期延拓。当采样频率不能满足奈奎斯特采样定理时，即fT<2fm，会发生频谱混叠。

在实际应用中，解决混叠的方法通常是:用预滤波的方法滤除信号高频分量，即在采样前用模拟抗混叠滤波器，该滤波器的截止频率为fc=fT/2。653.5连续信号的DFT分析3.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题1.混叠662.频谱泄漏

对信号截短xN[n]=x[n]RN[n]，相当于将信号乘以一个宽度为N的矩形窗函数，矩形窗谱的DTFT为图3.5-3矩形窗及其频谱3.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题3.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题

截短后的信号频谱是原信号频谱与矩形窗谱卷积的结果，在卷积过程中使得信号的谱峰展宽，这种信号频谱的扩展现象，称为频谱泄漏。例：余弦信号（a）采样序列是无限长时，频谱在主值区间内为冲激函数；（b）信号截短后，其频谱与矩形窗的频谱幅度卷积，谱线展宽，产生了频谱泄漏。67683.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题3.栅栏效应

减小栅栏效应，可以采用在原序列的末端补一些零值，使整个数据长度增加，从而增加了DFT的点数。相当于每一根“栅栏”变细，使得被漏掉的某些频谱分量被检测出来。

对xN[n]进行DFT，得到的X[k]，是傅里叶变换

在频率轴上等间隔的采样。我们只能知道这N点的采样值，这就好像是通过一个栅栏的缝隙观看景象一样，只能在相隔一定间距的离散点上看到真实的频谱，这种现象称为栅栏效应。

但要注意的是，这时，时域信号xN[n]的有效数据没有变化，因此频率分辨率也没有增加。693.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题4.频率分辨率注：这里的N指的是信号xN[n]的有效长度，而不是补零后的长度。

频率分辨率指长度为N的信号所对应的连续频谱

中能分辨的两个频率分量峰值的最小频率间距F，F与数据有效长度T0成反比，即F=1/T0。由于，因此可得

F越小，频率分辨率就越高，若想提高分辨率，只能增加有效数据长度T0，若采样频率

fT

不变，则采样点数要增加，即增加信号x

[n]的截取长度N。703.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题例3.5-1设模拟信号xa(t)的最高频率fm=5Hz

，确定最低采样频率fT

，在这一采样频率下采样得到256点数据，对其做DFT，求得到的最大频率分辨率F。解：由采样定理可知最低采样频率为10Hz，频率分辨率为713.5.2利用DFT对连续信号谱分析时应注意的几个问题用DFT进行频谱分析时参数选择一般原则：2、根据需要，选定频率分辨率F，选定好后即可确定所需DFT的长度3、fT和N确定后，可以确定相应模拟信号的有效时间长度1、若已知信号的最高频率fm，为防止混叠，选择采样频率723.6用MATLAB实现离散信号的DFT

函数dftmtx(N)可以产生N

N的DFT矩阵DN；产生N

N的IDFT矩阵DN-1可用函数conj(dftmtx(N))/N来确定。有4个常用函数：fft(x)，fft(x,N)，ifft(X)，ifft(X,N)。例3.6-1一个周期矩形序列定义如下当L=6,N=10;L=6,N=20;L=6,N=40和L=8,N=40，画出。解：由周期矩形序列

通过求DFS可以得到

，先编写DFS函数，便于程序调用。function[Xk]=dfs(xn,N)%computesDiscreteFourierseriesCoefficientn=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-1j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;end733.6用MATLAB实现离散信号的DFTL=6;N=10;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];Xk=dfs(xn,N);magXk=abs([Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1)]);subplot(1,4,1);stem(k,magXk);ylabel('幅度');xlabel('k');title('DFS变换：L=6，N=10');N=20;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];Xk=dfs(xn,N);magXk=abs([Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1)]);subplot(1,4,2);stem(k,magXk);xlabel('k');title('DFS变换：L=6，N=20');N=40;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros