2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用跟踪训练含解析新人教A版选修2-2

PAGE定积分的简洁应用[A组学业达标]1．求由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A．[0，e2]B．[0,2]C．[1,2]D．[0,1]解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,y＝1))得ex＝1，即x＝0，所以积分区间为[0,2]．答案：B2．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.eq\i\in(a,c,)f(x)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,c,)fxdx))C.eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(b,c,)f(x)dxD.eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx解析：由定积分的几何意义知，S1＝eq\i\in(b,c,)f(x)dx，S2＝－eq\i\in(a,b,)f(x)dx，故S＝S1＋S2＝eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx.答案：D3．由直线x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)解析：所求面积为＝eq\f(\r(3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq\r(3).答案：D4．由曲线y＝eq\r(x)与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．解析：画出y＝eq\r(x)和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x3))得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx.答案：eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx5．由y＝x2，y＝eq\f(1,4)x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.解析：图形如图所示：S＝eq\i\in(0,1,)x2dx－eq\i\in(0,1,)eq\f(1,4)x2dx＝eq\i\in(0,1,)eq\f(3,4)x2dx＝eq\f(1,4)x3|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)6．一物体做直线运动的速度与时间成正比，5s时速度为20m/s，则物体起先运动10s内所经过的路程为________m.解析：∵v＝4t，∴s＝∫eq\o\al(10,0)4tdt＝(2t2)|eq\o\al(10,0)＝200(m)．答案：2007．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x＝0或x＝3.∴S＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)dx－eq\i\in(0,3,)(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).∴所围成的图形的面积为eq\f(9,2).8．在底面面积为S的圆柱形容器(容器厚度忽视不计)中盛有肯定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体对活塞的压力所做的功．解析：由物理学问易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.因为V＝xS(x指活塞与底面的距离)，所以p＝eq\f(k,V)＝eq\f(k,xS).所以作用在活塞上的力F＝p·S＝eq\f(k,xS)·S＝eq\f(k,x).故气体对活塞的压力所做的功W＝eq\i\in(a,b,)eq\f(k,x)dx＝k·lnx|eq\o\al(b,a)＝klneq\f(b,a).[B组实力提升]9．若由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V＝πeq\i\in(a,b,)[f(x)]2dx，设由曲线x2＝4y，x2＝－4y，直线x＝4，x＝－4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满意x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点(x，y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则()A．V1＝eq\f(1,2)V2B．V1＝eq\f(2,3)V2C．V1＝V2D．V1＝2V2解析：画出两个平面图形如下图．法一：利用定积分求旋转体体积的方法．V1＝V圆柱－V抛物线旋转体＝8×π×42－2πeq\i\in(0,4,)4ydy＝128π－64π＝64π，V2＝eq\f(4,3)π×43－2×eq\f(4,3)π×23＝64π，所以V1＝V2.法二：用随意一个与y轴垂直的平面截两图形绕y轴旋转所得的两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积分别为S1＝π(42－4|y|)，S2＝π(42－y2)－π[4－(2－|y|)2]＝π(42－4|y|)，所以S1＝S2.由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即V1＝V2.答案：C10.一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)，由图易知点(5,2)在抛物线上，可得p＝eq\f(25,4)，故抛物线方程为x2＝eq\f(25,2)y，所以当前最大流量对应的截面面积为2eq\i\in(0,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,25)x2))dx＝eq\f(40,3)，原始的最大流量对应的截面面积为eq\f(2×6＋10,2)＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为eq\f(16,\f(40,3))＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)11．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t改变时，阴影部分的面积的最小值．解析：依题意知，阴影部分的面积S＝eq\i\in(0,t,)(et－1－ex＋1)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－1－et＋1)dx＝eq\i\in(0,t,)(et－ex)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－et)dx＝(xet－ex)|eq\o\al(t,0)＋(ex－xet)|eq\o\al(1,t)＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，令g′(t)＝0，解得t＝eq\f(1,2).当t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．因此g(t)的最小值为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝e＋1－2eq\r(e)＝(eq\r(e)－1)2，故阴影部分的面积的最小值为(eq\r(e)－1)2.12．已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.证明：若对于随意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则eq\f(S1,S2)为定值．证明：f′(x)＝3x2－1，曲线C在点P1处的切线方程为y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)＋xeq\o\al(3,1)－x1，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x\o\al(2,1)－1x－2x\o\al(3,1)，,y＝x3－x，))消去y，得x3－x＝(3xeq\o\al(2,1)－1