2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课时跟踪训练含解析新人教A版选修1-2

PAGE2.1.1合情推理[A组学业达标]1．“鲁班独创锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形态上也应当类似，“锯子”应当是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理 B．类比推理C．没有推理 D．以上说法都不对解析：推理是依据一个或几个已知的推断来确定一个新的推断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．答案：B2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面积公式为()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．无法确定解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝eq\f(lr,2).答案：C3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就始终运用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支依次相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2024年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的()A．丁酉年 B．庚午年C．乙未年 D．丁未年解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2024年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.答案：B4．n个连续自然数按规律排列下表：依据规律，从2019到2021箭头的方向依次为()A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析：视察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2024到2024为→↓，故应选D.答案：D5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1 B．an＝3nC．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.答案：A6．视察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此规律，第五个等式应为________．解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.解析：将乘积与和对应，再留意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A­BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA­BCD＝________.解析：内切圆半径req\o(→,\s\up7(类比))内切球半径R.△ABC周长a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(类比))棱锥A­BCD各面面积和．答案：VA­BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)9．如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解析：在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.[B组实力提升]1．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2019出现在()A．第44行第78列 B．第45行第82列C．第44行第77列 D．第45行第83列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2019＜2025，∴2019在第45行．又2025－2019＝6，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2019在第89－6＝83列．答案：D2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来探讨数．比如：他们探讨过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.答案：C3．类比平面内一点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距离公式为d＝________.解析：类比平面内点到直线的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，易知答案应填eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2)).答案：eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))4．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，将这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB交于E，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故eq\f(S△AEC,S△BEC)类比成eq\f(VA­CDE,VB­CDE).平面中的线段长类比到空间为面积，故eq\f(AC,BC)类比成eq\f(S△ACD,S△BDC).故有eq\f(VA­CDE,VB­CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).答案：eq\f(VA­CDE,VB­CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC)5．已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上随意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M，N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上随意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N(－