新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理正弦定理第3课时余弦定理正弦定理应用举例时课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标素养要求1．理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义直观想象2．会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题数学建模3．掌握三角形的面积公式的简单推导和应用逻辑推理、数学运算|自学导引|基线的概念与选择原则1．定义在测量上，根据测量的需要而确定的________叫做基线．2．性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的____________，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越______．线段

基线长度高3．实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角名称定义图示方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角【预习自测】李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？【提示】东南方向．三角形的面积公式(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？【提示】(1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．|课堂互动|题型1测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(

)【答案】D测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可达或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形

类型A，B两点间不可达或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达方法先测∠C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB1．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m．【答案】60题型2测量高度问题如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB为__________米．【答案】200测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，C的大小，AB＝a·tanC类型简图计算方法底部不可达点B与C，D共线测得CD＝a及∠ACB与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值2．在200米高的山顶上测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为 (

)【答案】A测量角度问题的基本思想测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出实际问题的图形，并在图形中标有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

3．在一次抗洪抢险中，某救生艇的发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_________，大小为_________km/h．【解析】如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，题型4三角形的面积问题易错警示错用公式、解题方法不当致误易错防范：如此复杂的算式，计算困难．其原因是公式不熟、方法不当．|素养达成|1．正、余弦定理在实际测量中应用的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况．(体现直观想象和数学建模核心素养)(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．1．(题型4)在△ABC中，a＝6，b＝4，C＝30°，则△ABC的面积是 (

)A．6 B．12【答案】A2．(题型1)如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时最适宜选用的数据是 (

)A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b【答案】C3．(题型3)小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为 (

)A．α＋β B．α－βC．β－α D．α【答案】C【解析】如图，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－