沪科版九年级数学上册 第二十一章 二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（27类题型清单）

第二十一章二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点1二次函数1、二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x2、二次函数的三要素：（1）自变量的最高次数必须是2；（2）等号右边的ax2+bx+c（3）二次项系数a不等于0.【注意】二次项系数，一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉；二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c特殊形式二次项一次项常数项y=aa无0y=aabx0y=aa无c知识点2根据实际问题列二次函数表达式在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤：审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式；列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式；确定自变量的取值范围：根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围.【注意】（1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义；（2）确定自变量的取值范围时，需正确列其出不等式或不等式组.知识点3二次函数y=函数y=ax2+a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴直线x=−顶点坐标−增减性当x<−b2a时，y随当x>−b2a时，y随当x<−b2a时，y随当x>−b2a时，y随最值当x=−b2a当x=−b2a【注意】（1）如图，若抛物线上x=m和x=n对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=（2）如图，若抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x知识点4二次函数y=ax2+bx+c二次函数的y=ax2+bx+c中，字母（或式子）符号特征aa>0开口向上a<0开口向下−b=0对称轴为y轴ab>0(a,b对称轴在y轴左侧ab<0(a,b对称轴在y轴右左侧cc=0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交【注意】对于二次函数y=（1）当x=1时，y=a+b+c，此时：若y=0，则a+b+c=0；若y>0，则a+b+c>0；若y<0，则a+b+c<0.（2）当x=−1时，y=a−b+c，此时：若y=0，则a−b+c=0；若y>0，则a−b+c>0；若y<0，则a−b+c<0.知识点5用待定系数法求二次函数的表达式方法名称函数表达式适用情形一般步骤待定系数法一般式：y已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x，y的三组对应值顶点式：y已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值交点式：y=a(x−其中x1，x2是抛物线与已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标【注意】：特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：（1）顶点在原点，可设为y=ax（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴），可设为y=ax（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x−ℎ)（4）抛物线过原点，可设为y=ax知识点6二次函数与一元二次方程之间的关系1、二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系：一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴由交点，交点的横坐标是x02、二次函数与一元二次方程的联系与区别：bbb一元二次方程ax有两个不等的实数根x=有两个相等的实数根x没有实数根二次函数y=axa>0a>0抛物线与x轴的交点（x1，0），（（−b没有交点知识点7二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数y=ax2+1、利用二次函数y=ax2+（1）作出二次函数y=ax2+（2）观察图象，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2、利用二次函数y=ax2的图象与直线（1）将方程ax2+bx+c=0（2）在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax（3）公共点的横坐标即为一元二次方程ax知识点8二次函数与一元二次不等式的关系求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y>0b2bbbax2+bx+c>0(a>0)ax两个等实数根x=两个相等实数根x没有实数根一元二次不等式的解集ax<x1x≠−全体实数ax无解无解知识点9用二次函数解决实际问题1、一般步骤：（1）审：仔细审题，厘清题意；（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.知识点10反比例函数的定义1、定义：一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量2、反比例函数的三种表达形式：（1）y=k（2）y=kx（3）xy=k（k为常数，且k≠0）【注意】反比例函数的表达式y=k知识点11反比例函数图象与性质图象的特点：（1）反比例函数y=k（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；（4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).如图：2、反比例函数的性质：反比例函数ykx（K的符号k>0k<0图象图像位置第一、三象限第二、四象限增减性在每一个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大知识点12求反比例函数的表达式1、确定反比例函数表达式的方法由于在反比例函数y=k2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤【注意】用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程.当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y=k知识点13反比例函数中k的几何性质1、矩形面积如图，过双曲线y=kx上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=x∙2、三角形的面积如图，过双曲线y=kx上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S∆EOF0303题型归纳题型一二次函数的定义例1.（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（

）A．y=2x2C．y=x2+2x−1巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（

）A．y=2x−1 B．y=x2−1 C．y=2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（）A．y=1−3x3 C．y=x4+23．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）下列函数解析式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=ax2+bx+cC．y=−23x题型二由二次函数的定义求值例2．（2024九年级下·广东·专题练习）若y=(m+1)xm2+m是关于A．−2 B．1 C．−2或1 D．2或1巩固训练1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数y=k−3xk2−3k+2A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=42．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数y=(m+2)xm2−2+3x−4A．±2 B．2 C．−2 D．6【答案】B3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）若函数y=m−2x2+3x是二次函数，则常数A．m≠0 B．m≠2 C．m=2 D．m为任意实数题型三二次函数的一般形式例3.（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数y=3x2+6x+1A．−6 B．1 C．3 D．6巩固训练1．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数y=−x2−1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a=，b=，2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=x−25−2x的二次项系数是3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数a=，一次项系数b=．题型四求自变量或函数值例4.（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数，则当温度为4°C巩固训练1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）若函数y=ax−32过2,9点，求当x=4时，y=2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点A2,m，B3,n．则mn3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象经过点P1，a，则a的值为（）A．3 B．2 C．32 题型五判断函数关系例5.（2024·北京·三模）已知地面温度是20℃，如果从地面开始每升高1km，气温下降6℃，那么气温t(℃)与高度ℎ(km)A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数巩固训练1．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量：①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x；③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是（

）

A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间tC．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x题型六建立二次函数模型例6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（

）A．y=2.61+2x B．C．y=2.61+x2 巩固训练1．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（

）A．y=40001−x B．y=40001−x2 C．y=80002．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为14cm，其中一边为x0<x<7cm，面积为ycm2．那么A．y=14−x2 B．y=7−x2 C．3．（21-22九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S=t B．S=12t2 C．题型七一般式与顶点式互化例7.（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线y=2x2−4x+7A．(−1,13) B．(−1,5) C．(1,9) D．(1,5)巩固训练1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若抛物线y=x2−bx+8的顶点在x轴上，则b=A．2 B．−2 C． D．±42．（23-24九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数y=x2+8x−9A．y=x−42+7C．y=x+42+73．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）二次函数y=−4xA．2，−3 B．2，3 C．3，−2 D．3，2题型八二次函数图象上点的坐标特征例8.（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝12（x-h）2＋k与y2=a(x+3)2−1交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：①a=12；②点（2，m）、（33，n）及（52，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④巩固训练1．（2024·湖北襄阳·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，P1x

A． B．b+2a=0C．x1>x2，则y12．（2024·山东淄博·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量xx…−2012…y=a…tm−2−2n…且当x=−12时，与其对应的函数值①函数图象的顶点在第四象限内；②−2和3是关于x的方程ax③，其中正确的结论个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+A．时的函数值相等 B．x=−94C．x=−32时的函数值相等 D．题型九二次函数图象的平移变换例9.（24-25九年级上·浙江·假期作业）抛物线y=−3x2+bx+c是由抛物线y=−3x2−6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b=巩固训练1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点−2,4，则．2．（24-25九年级上·浙江·假期作业）将二次函数y=x2−4x+3的图象向左平移43．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数y=a(x−ℎ)2+k(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y=a(x−ℎ)题型十二次函数图象的对称变换例10.（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，且OB=4OA=4，C为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点D，点C和点D关于x轴对称．当抛物线y=12A．x<−2或x>4 B．−2<x<4 C．x<−3或x>4 D．−3<x<4巩固训练1．（2022·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（

）A．或3 B．1或−2 C．1或3 D．1或22．（2024·山西晋城·二模）如图（1），金桥公园是省城太原一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉呈拁物线型，最高可喷60米高．如图（2），是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2

A．104米 B．52米 C．26米 D．120米3．（2024·山东临沂·模拟预测）抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点Mm−1,y1，NA．m<−1或m>0 B．−12<m<12 题型十一二次函数图象与各系数之间的关系例11.（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c①；②；③a−b+c<0；④2a−b>0；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练1．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③若实数m≠1，则am2+bm>a+b；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c①bc>0

②（m为任意实数）

③④若Mx1,y、Nx2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①abc<0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个根为3，则a=−12；A．①② B．②③ C．③④ D．②④题型十二图象共存问题例12.（2024·江苏扬州·模拟预测）函数y=mx+m和函数y=−mx2+2x+2（mA． B．C． D．巩固训练1．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y=ax2A． B．C． D．2．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数的大致图像可能是（

）A．B． C． D．3．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线y1=−x①当x<0或x>1时，y1<②当x=−2或x=3时，y2③当x>12时y1−④使y1−y其中正确的个数有（

）

A．1 B．2 C．3 D．4题型十三根据二次函数的图象与性质比较大小例13.（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=x−12+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1A．y1<y2<y3 巩固训练1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=kx2−4kx+c（k，c为实数）的图象过点Ax1,y1，Bx2,A．若k>0，则y3=y1>C．若k<0，则y1>y2>2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若A0,y1、B−2,y2、C−3,y3为二次函数的图象上的三点，则A．y1<y2<y3 B．3．（2024·福建南平·一模）已知抛物线y=−x2+bx+c过点A−2,y1，B1,y2A．−2<b<2 B． C．−1<b<2 D．−2<b<1题型十四根据二次函数的性质求字母取值例14.（23-24八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为m,0，则代数式mA．2023 B．2024 C．2025 D．2026巩固训练1．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数y=x2−4x+3的图象经过点P，点P的横坐标为m，当时，总有，则m的值为（

A．4+13 B．4−13 C．4±132．（2024·浙江·模拟预测）已知n为实数，点Pp,q在二次函数y=nx2+nx的图象上．若n<0，A．p>0 B．p<−1 C．p>0或p<−1 D．−1<p<03.（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知二次函数y=−ax2+2ax+3a>0，若点Pm,3题型十五根据二次函数的性质求最值例15.（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为1,4和4,4，抛物线y=ax−m2+n的顶点在线段AB上运动．与x轴交于C、D两点（C（1）n=；（2）若点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为．巩固训练1．（2024·吉林长春·二模）已知抛物线y=x2−(a+2)x+2a+1．若抛物线过点−1,y0，且对于抛物线上任意一点x1,y12．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当−2≤x≤2时，y的最大值与最小值．3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．题型十六待定系数法求解析式例16.（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过−1,−22，0,−8巩固训练1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交x轴于A−1,0，B3,0两点，交y轴于点C，OC=2

2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点，B(0,3)和点(1)求该二次函数的关系式，并求出它的顶点M的坐标；(2)若，两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．3．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．(1)已知抛物线的顶点坐标是1,2，且过点2,3；(2)已知抛物线过点−1,0、3,0、2,−6；(3)已知抛物线过点−1,2、、2,−7．题型十七二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系例17.（2024·山东·模拟预测）已知抛物线y=2x2+4x−a+3与x轴没有公共点，则参数a巩固训练1．（2023·湖北荆州·一模）已知函数y=kx2−k+2x+2与x轴的交点横坐标为2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）若二次函数y=−ax+12−k的图象与x轴交于A−4,0,B两点，则点3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线y=2x−1x−2与x轴的交点坐标是题型十八抛物线与坐标轴的交点与系数的关系例18.（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，则b巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线y=x2−2x+32．（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线y=x2−3x+2与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是3．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）若函数y=mx2−m−3x−4题型十九利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例19.（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值：x3.243.253.26a0.02−0.01−0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0A．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．x>3.26巩固训练1．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+ca>0，已知函数与x轴相交于−2，0，且函数的对称轴为直线，则ax2A．−2<x1<C．x1<−2<x2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx…11.11.21.31.4…y…−0.67−0.290.140.62…那么关于x的方程ax2+bx+c=0A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.373．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A(2.18,−0.51)，B(2.68,0.54)，则方程的一个解只可能是（

A．1.59 B．2.68 C．3.45 D．3.72题型二十利用图像法解一元二次方程例20.（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，一次函数y=kx+bk≠0与二次函数y=ax2a≠0的图象分别交于点A−2,2，B4,8．则关于巩固训练1．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是1,m，若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是2．（2024·广东深圳·二模）已知函数y=|x2−4|的大致图象如图所示，对于方程|x2−4|=m（3．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象经过点1,−2，且图象对称轴为直线，则方程a题型二十一利用图象法解一元二次不等式例21.（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，点A（1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为；（2）当x=时，y=0；（3）当时，；（4）当时，ax巩固训练1．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx的图象交于AxA,y2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线y=px2−q与直线交于A−2,m，B4,n两点，则不等式

3．（22-23九年级上·吉林白山·期末）如图，二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于A题型二十二反比例函数的定义例22.（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数y=k−1xkA．1 B．2 C．4 D．±4巩固训练1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知反比例函数y=−12x，则它的图象不经过点（A．1,−12 B．−1,−12 C．2,−6 D．−6,22．（2023·云南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点1,3，若该反比例函数的图象也经过点−1,n，则n是（

）A．3 B．−3 C． D．−13．（23-24九年级下·湖北黄冈·开学考试）关于反比例函数y=3x，下列结论正确的是（A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点a,a+2，则a=1C．图象与坐标轴有公共点 D．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小题型二十三利用点的坐标确定反比例函数的表达式例23.（23-24九年级上·广东韶关·阶段练习）已知反比例函数y=kx的图象经过点A(−4,3)，试判断点，C(−2,−6)巩固训练1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知反比例函数的解析式y=kx，并且当x=3时，(1)求反比例函数的解析式；(2)当x=−2时，求y的值．2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）一次函数y=k1x+b和反比例函数y=k2x的图象的相交于A2,3

(1)求反比例函数y=k(2)求△AOB3．（2024年6月浙江省金衢十二校中考模拟数学试题）如图所示，直线y=−12x+4与双曲线y=kxx>0交于A2,n(1)求k,n的值；(2)求△AOB(3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出6x题型二十四建立反比例函数的模型例24.（23-24九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数表达式为（）A．y=10x B．y=5x C．巩固训练1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四个说法：①书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成正比例；②如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例；③小麦的总产量一定，每公顷产量与公顷数成反比例；④圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例．其中正确说法的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则3．（21-22八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t=（v>0）．题型二十五反比例函数的图象与性质例25.（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．图象经过点3,−3B．图象关于直线y=x对称C．图象位于第二、四象限D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大巩固训练1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）反比例函数y=k2+4A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知反比例函数y=2x，则下列描述不正确的是（A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过1,2C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小3．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）对于反比例函数y=1x，下列说法错误的是（A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的两支图象关于原点对称C．当x1<x2<0时，则y2题型二十六反比例函数中k的性质例26.（23-24九年级上·重庆·开学考试）如图，△AOB的顶点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B．反比例函数y=kx（k>0）在第一象限的图象与边OA，AB分别交于点E，F，且OE=AE，AF=2BF，连接EF，若△AEF的面积为6时，则k巩固训练1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点P在函数y=kxk>0，x>0的图像上，过P作PA⊥x轴于点A，交直线y=−x+8于点D，作PF⊥y轴于点F，交直线y=−x+8于点C，分别在矩形APFO的外侧构造矩形APCB，PDEF．若P是CF的中点，图中阴影部分的面积为7，则k2．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，已知点P−6,3，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为10，则3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，点C在反比例函数y=8xx>0题型二十七反比例函数的应用例27.（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？巩固训练1．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于(1)求n的值；(2)求一次函数的表达式；(3)在直线AB上是否存在一点P(P不与点B重合)，使△APO与△AOB的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:56，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在7:10−11:56这段时间里，水温共有几次达到100℃？3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，直线AB与反比例函数y=mx的图像交于A1,4(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OA、OB，求△OAB(3)是否存在x轴上的一个动点P，使PA+PB最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

第二十一章二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点1二次函数1、二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x2、二次函数的三要素：（1）自变量的最高次数必须是2；（2）等号右边的ax2+bx+c（3）二次项系数a不等于0.【注意】二次项系数，一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉；二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c特殊形式二次项一次项常数项y=aa无0y=aabx0y=aa无c知识点2根据实际问题列二次函数表达式在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤：审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式；列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式；确定自变量的取值范围：根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围.【注意】（1）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义；（2）确定自变量的取值范围时，需正确列其出不等式或不等式组.知识点3二次函数y=函数y=ax2+a的符号a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴直线x=−顶点坐标−增减性当x<−b2a时，y随当x>−b2a时，y随当x<−b2a时，y随当x>−b2a时，y随最值当x=−b2a当x=−b2a【注意】（1）如图，若抛物线上x=m和x=n对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x=（2）如图，若抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x知识点4二次函数y=ax2+bx+c二次函数的y=ax2+bx+c中，字母（或式子）符号特征aa>0开口向上a<0开口向下−b=0对称轴为y轴ab>0(a,b对称轴在y轴左侧ab<0(a,b对称轴在y轴右左侧cc=0图象过原点c>0图象与y轴正半轴相交c<0图象与y轴负半轴相交【注意】对于二次函数y=（1）当x=1时，y=a+b+c，此时：若y=0，则a+b+c=0；若y>0，则a+b+c>0；若y<0，则a+b+c<0.（2）当x=−1时，y=a−b+c，此时：若y=0，则a−b+c=0；若y>0，则a−b+c>0；若y<0，则a−b+c<0.知识点5用待定系数法求二次函数的表达式方法名称函数表达式适用情形一般步骤待定系数法一般式：y已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x，y的三组对应值顶点式：y已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值交点式：y=a(x−其中x1，x2是抛物线与已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标【注意】：特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：（1）顶点在原点，可设为y=ax（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴），可设为y=ax（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x−ℎ)（4）抛物线过原点，可设为y=ax知识点6二次函数与一元二次方程之间的关系1、二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系：一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴由交点，交点的横坐标是x02、二次函数与一元二次方程的联系与区别：bbb一元二次方程ax有两个不等的实数根x=有两个相等的实数根x没有实数根二次函数y=axa>0a>0抛物线与x轴的交点（x1，0），（（−b没有交点知识点7二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系二次函数y=ax2+1、利用二次函数y=ax2+（1）作出二次函数y=ax2+（2）观察图象，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2、利用二次函数y=ax2的图象与直线（1）将方程ax2+bx+c=0（2）在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax（3）公共点的横坐标即为一元二次方程ax知识点8二次函数与一元二次不等式的关系求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y>0b2bbbax2+bx+c>0(a>0)ax两个等实数根x=两个相等实数根x没有实数根一元二次不等式的解集ax<x1x≠−全体实数ax无解无解知识点9用二次函数解决实际问题1、一般步骤：（1）审：仔细审题，厘清题意；（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.知识点10反比例函数的定义1、定义：一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量2、反比例函数的三种表达形式：（1）y=k（2）y=kx（3）xy=k（k为常数，且k≠0）【注意】反比例函数的表达式y=k知识点11反比例函数图象与性质图象的特点：（1）反比例函数y=k（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；（4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).如图：2、反比例函数的性质：反比例函数ykx（K的符号k>0k<0图象图像位置第一、三象限第二、四象限增减性在每一个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大知识点12求反比例函数的表达式1、确定反比例函数表达式的方法由于在反比例函数y=k2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤【注意】用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程.当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为y=k知识点13反比例函数中k的几何性质1、矩形面积如图，过双曲线y=kx上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=x∙2、三角形的面积如图，过双曲线y=kx上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则S∆EOF0303题型归纳题型一二次函数的定义例1.（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（

）A．y=2x2C．y=x2+2x−1【答案】D【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可．【详解】A.y=2xB.y=x+3C.y=xD.y=xx−1故选：D．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（

）A．y=2x−1 B．y=x2−1 C．y=【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c【详解】解：A、函数y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数y=x2−1C、函数y=xD、函数y=12x分母中含有故选：C．2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（）A．y=1−3x3 C．y=x4+2【答案】B【分析】根据形如y=ax【详解】A.y=1−3x3B.y=xC.y=x4D.y=1x故选B．3．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）下列函数解析式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=ax2+bx+cC．y=−23x【答案】C【分析】根据：形如y=ax【详解】解：A、当a=0时，y=axB、y=−5x+1，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、y=−2D、y=2x故选C．题型二由二次函数的定义求值例2．（2024九年级下·广东·专题练习）若y=(m+1)xm2+m是关于A．−2 B．1 C．−2或1 D．2或1【答案】C【分析】根据y=ax2+bx+c(a是不为0【详解】解：若y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数，则解得：m=−2或m=1．故选：C．巩固训练1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数y=k−3xk2−3k+2A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=4【答案】A【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数(k−3)不为0．【详解】解：根据二次函数的定义，得k2解得k=0或k=3．∵k−3≠0∴k≠3∴当k=0时，这个函数是二次函数．故选：A．2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数y=(m+2)xm2−2+3x−4A．±2 B．2 C．−2 D．6【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令【详解】解：∵y=(m+2)x∴m2−2=2且∴m=±2且m≠−2，∴m=2故选：B．3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）若函数y=m−2x2+3x是二次函数，则常数A．m≠0 B．m≠2 C．m=2 D．m为任意实数【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c【详解】解；∵函数y=m−2∴m−2≠0，∴m≠2，故选B．题型三二次函数的一般形式例3.（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数y=3x2+6x+1A．−6 B．1 C．3 D．6【答案】D【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键.根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数y=3x故选：D.巩固训练1．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数y=−x2−1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则a=，b=，【答案】0−1【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键．根据二次函数各项的系数填空．【详解】∵二次函数为y=−x∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为−1，∴a=−1，b=0，c=−1．故答案为：，0，−1．2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=x−25−2x的二次项系数是【答案】−2【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．【详解】解：y=x−2=−2x∴二次项系数是−2，故答案为：−2．【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数a=，一次项系数b=．【答案】3-5【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：二次函数的二次项系数a=3，一次项系数b=−5，故答案为：3；-5．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．题型四求自变量或函数值例4.（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积Vcm3与温度t°C之间的关系满足二次函数，则当温度为4°C【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t=4【详解】解：∵V=当t=4°C时，∴水的体积为106cm故答案为：106．巩固训练1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）若函数y=ax−32过2,9点，求当x=4时，y=【答案】9【分析】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点2,9代入函数解析式求出a的值，再把x=4代入函数解析式计算即可求出的值．【详解】解：把2,9代入y=ax−32得∴y=9x−3∴当x=4时，y=9，故答案为：9．2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点A2,m，B3,n．则mn【答案】<【分析】分别把点A2,m和B3,n代入得到m、n【详解】解：把A2,m代入得，m=2×2把B3,n代入得，n=2×3∴m<n，故答案为：<3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象经过点P1，a，则a的值为（）A．3 B．2 C．32 【答案】A【分析】直接把P1，a代入中可计算出a的值．【详解】解：把P1，a代入得a=2×1+1=3．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．题型五判断函数关系例5.（2024·北京·三模）已知地面温度是20℃，如果从地面开始每升高1km，气温下降6℃，那么气温t(℃)与高度ℎ(km)的函数关系是（A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数【答案】D【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可．【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t(℃)与高度ℎ(km)的函数关系是t=20−6ℎ故选：D．巩固训练1．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量：①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长x；③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：①扇形的面积S=nπ360r2，扇形的圆心角n一定，面积②矩形的面积S=x10−x=−x2+10x③行驶路程s=vt，行驶路程s与行驶时间tx两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意，则①②符合题意，故选：A．2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是（

）

A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系【答案】A【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出AE、的长度，再结合阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4x−16，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．【详解】解：由题意可得：AE=AB−BE=x−5，AF=AD−DF=x−3，则阴影部分的面积为y=x−3即：y=4x−16，为一次函数，故选：A．3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间tC．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x【答案】C【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如y=ax【详解】解：A、y=4x，是一次函数，错误；B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；C、y=xD、y=12�故选C．题型六建立二次函数模型例6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（

）A．y=2.61+2x B．C．y=2.61+x2 【答案】C【分析】第二季度总值为2.61+x，第三季度为2.61+x【详解】解：第三季度总值为y=2.61+x(1+x)=2.6(1+x故选：C【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．巩固训练1．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（

）A．y=40001−x B．y=40001−x2 C．y=8000【答案】B【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1−每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y=40001−x故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为14cm，其中一边为x0<x<7cm，面积为ycm2．那么A．y=14−x2 B．y=7−x2 C．【答案】D【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：∵长方形的周长为14cm，其中一边为x∴长方形的另一边长为7−xcm∴y=x7−x故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法.3．（21-22九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S=t B．S=12t2 C．【答案】B【分析】Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，可得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A=45°，即∠COD=∠OCD=45°，进而证明CD=OD=t，最后根据三角形的面积公式，求出S与t之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∵CD⊥∴CD∥∴∠OCD=∴∠COD=∴CD=OD=t，∴S=1即：S=1故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．题型七一般式与顶点式互化例7.（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）抛物线y=2x2−4x+7A．(−1,13) B．(−1,5) C．(1,9) D．(1,5)【答案】D【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把解析式化为顶点式，即可得到答案.【详解】∵y=2∴抛物线y=2x2故选：D巩固训练1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若抛物线y=x2−bx+8的顶点在x轴上，则b=A．2 B．−2 C． D．±4【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确求出顶点坐标是解题关键．先将抛物线配方化为顶点式，进而得到顶点坐标，再根据顶点在x轴上可知纵坐标为0，即可求出b的值．【详解】解：∵y=∴抛物线的顶点坐标为b2∵顶点在x轴上，∴8−，故选：D．2．（23-24九年级下·全国·课后作业）用配方法将二次函数y=x2+8x−9A．y=x−42+7C．y=x+42+7【答案】D【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可．【详解】解：y=x故选D．3．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）二次函数y=−4xA．2，−3 B．2，3 C．3，−2 D．3，2【答案】A【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法是解题的关键．将二次函数配方，即得答案．【详解】∵y=−4∴该二次函数的图象的顶点坐标为2，−3．故选A．题型八二次函数图象上点的坐标特征例8.（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝12（x-h）2＋k与y2=a(x+3)2−1交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：①a=12；②点（2，m）、（33，n）及（52，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【分析】根据题意得：抛物线y1＝12（x-h）2＋k与y2=a(x+3)2−1的对称轴分别为直线x=ℎ和x=−3，设直线x=ℎ和x=−3分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到y1=12x−22+52，进而得到点A（1，3），继而得到a=14，故①错误；根据点（52，P）关于对称轴x=2的对称点为32,p，且2<33<32【详解】解∶根据题意得：抛物线y1＝12（x-h）2＋k与y2=a(x+3)2如图，设直线x=ℎ和x=−3分别交BC于点M、N，则MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴MN=AN+AM=1∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵点B（3，3），∴3＝12（3-2）2＋k，解得：k=∴y1∵BC∥x轴，∴点A、C的纵坐标为3，令y1=3，则解得：x1∴点A（1，3），把点A（1，3）代入y23=a(1+3)2−1，解得：a=∵y1=1∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，∵26∴2<∵点（52，p）关于对称轴x=2的对称点为3∴p＜n＜m，故②正确；∵a=1∴y2∵y1≥y2，∴12整理得：x2解得：x≤1或x≥13，故③错误；∵y1=1当x=0时，y1=9∴点P0,∴PQ=92−∴正确的有②④．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．巩固训练1．（2024·湖北襄阳·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，P1x

A． B．b+2a=0C．x1>x2，则y1【答案】B【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可．【详解】解：A、根据函数图像可得当x=1时，y=a+b+c>0，故A错误；B、根据对称轴为直线x=1可得：−b2a=1C、根据函数图像可得当1>x1>D、根据函数的对称性得：y1=y故选：B．2．（2024·山东淄博·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量xx…−2012…y=a…tm−2−2n…且当x=−12时，与其对应的函数值①函数图象的顶点在第四象限内；②−2和3是关于x的方程ax③，其中正确的结论个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线x=12，当x=−12时，与其对应的函数值y>0，则a>0，b<0，即可判断①；根据二次函数的对称性可知：关于对称轴x=12的对称点为(3,t)，即可判断②；根据对称轴可得b=−a，根据当x=−12时，与其对应的函数值y>0，得出14a−12b−2>0，进而可得a>83，根据对称性可得二次函数y=ax【详解】解：①根据图表可知：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,−2)∴对称轴为直线x=0+12=∵当x=−12时，与其对应的函数值∴a>0，b<0，∴函数图象的顶点在第四象限内；故①正确：②根据二次函数的对称性可知：关于对称轴x=12的对称点为(3,t)即−2和3是关于x的方程ax∴②正确；③∵对称轴为直线x=1∴−∴b=−a∵当x=−12时，与其对应的函数值14a−12．∵对称轴为直线x=12，二次函数y=ax2+bx+c∴m=n，当x=−1时，m=a−b+c=a+a−2=2a−2，∴，∵a>∴4a−4>∴③错误．故选：C．3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+A．时的函数值相等 B．x=−94C．x=−32时的函数值相等 D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的轴对称性质，根据解析式找到对称轴，结合对称性求解即可得到答案；【详解】解：二次函数的对称轴为：x对=−∵自变量x取两个不同的值x1，x∴x1∴的对称点为：2×1−2=0，∴当自变量x取x1+x故选：D．题型九二次函数图象的平移变换例9.（24-25九年级上·浙江·假期作业）抛物线y=−3x2+bx+c是由抛物线y=−3x2−6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b=【答案】−18−20【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．由题意知，y=−3x2−6x+1=−3【详解】解：由题意知，y=−3x∴抛物线y=−3x2−6x+1∴b=−18，c=−20，故答案为：−18，−20．巩固训练1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点−2,4，则．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到2a−b=3，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，把点−2,4代入得到，，得到2a−b=3，∴6a−3b−7=32a−b故答案为：22．（24-25九年级上·浙江·假期作业）将二次函数y=x2−4x+3的图象向左平移4【答案】y=x2【分析】本题考查了二次函数图象的平移及对称轴，先把二次函数转化为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线的表达式，最后根据对称轴公式x=−b【详解】解：y=∵二次函数y=x2−4x+3的图象向左平移4∴新抛物线的表达式为y=x−2+4∴新抛物线的对称轴为直线x=−43．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数y=a(x−ℎ)2+k(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y=a(x−ℎ)【答案】(1)a=−12，，(2)开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−5)，当x≥1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案；（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．【详解】（1）解：二次函数y=−12(x+1)2−1的图象的顶点坐标为所以原二次函数的解析式为，所以a=−12，，k=−5（2）解：二次函数y=a(x−ℎ)2∵a=−1∴图象开口向下，二次函数的图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−5)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴当x≥1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大．题型十二次函数图象的对称变换例10.（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，且OB=4OA=4，C为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点D，点C和点D关于x轴对称．当抛物线y=12A．x<−2或x>4 B．−2<x<4 C．x<−3或x>4 D．−3<x<4【答案】A【分析】先求解抛物线为：y=12x2−【详解】解：∵OB=4OA=4，∴OA=1，∵C为y轴正半轴上一点，抛物线与y轴交于点D，点C和点D关于x轴对称．∴D在负半轴，∴A−1,0，B∴抛物线为：y=1当x=0时，y=−2，∴D0,−2∴C0,2设直线BC为，∴b=24k+b=0，解得k=−∴直线BC为y=−1∴y=12x2−∴直线与抛物线的另一个交点H−2,3当抛物线y=12x2+bx+c在直线BC的上方时，x故选A．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．巩固训练1．（2022·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（

）A．或3 B．1或−2 C．1或3 D．1或2【答案】C【分析】根据题意，由可得到顶点对应的y值的代数式，再分情况讨论即可求解；【详解】解：∵两抛物线顶点相距8个单位长度∴4ac−当8−4k=4时，解得k=1当8−4k=−4时，解得k=3综上，k的值是1或3故选：C【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质及应用，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．2．（2024·山西晋城·二模）如图（1），金桥公园是省城太原一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉呈拁物线型，最高可喷60米高．如图（2），是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于y轴对称，y轴左侧喷泉可用y=−548x2

A．104米 B．52米 C．26米 D．120米【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据两条抛物线的对称性，可知轴左面抛物线的顶点到y轴的距离即为两个最高点的距离．【详解】解：y轴左侧抛物线对称轴为：x=−b∴左面抛物线的顶点到y轴的距离为−26=26∵两条抛物线关于y轴对称，∴两个最高点之间的距离为：2×26=52米，故选：B．3．（2024·山东临沂·模拟预测）抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点Mm−1,y1，NA．m<−1或m>0 B．−12<m<12 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得m−1,1，m+1,1是关于抛物线y=−x2+2mx−m2+2对称轴对称的点，再分三种情况：若m−1≥0，即m−1,1和m+1,1在y轴右侧（包括m−1,1在y轴上）；当m+1≤0时，即m−1,1和m+1,1在y轴左侧（包括m+1,1在y轴上）；当m−1<0<m+1，即m−1,1在【详解】解：在y=−x2+2mx−m2令x=m+1，y=−m+1∴m−1,1，m+1,1是关于抛物线y=−x若m−1≥0，即m−1,1和m+1,1在y轴右侧（包括m−1,1在y轴上），则点m−1,1经过翻折得Mm−1,y1，点m+1,1由对称性可得：y1=y当m+1≤0时，即m−1,1和m+1,1在y轴左侧（包括m+1,1在y轴上），则点m−1,1即为Mm−1,y1，点m+1,1∴y1=y当m−1<0<m+1，即m−1,1在y轴左侧，m+1,1在y轴右侧时，如图：此时Mm−1,1，m+1,1翻折后得N，满足y由m−1<0<m+1得：−1<m<1，故选：D．题型十一二次函数图象与各系数之间的关系例11.（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c①；②；③a−b+c<0；④2a−b>0；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，∴a>0,c<0,−b2a<0∴b>0，，故②正确；∴abc<0，故①错误；当x=−1时，，故③正确；∵，∴2a>b，即2a−b>0，故④正确；当x=1时，，∴a+c=2−b，∴2−b−b<0，即b>1，∴2−b<1，∴，故⑤正确；故选：D．巩固训练1．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③若实数m≠1，则am2+bm>a+b；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c=−3a，进一步得到13<a<23，又根据b=−2a得到【详解】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a>0∵对称轴在y轴右侧，、b异号，∴b<0∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点∴−∵b=−2a∴x=−1时，y=0，∴a−b+c=0∴3a+c=0∴3a+2c<0，故②③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c∵m≠1，∴am∴am故③正确；④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1∴c=−3a，，∵b=−2a∴a+b+c=a−2a−3a=−4a∴−故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c①bc>0

②（m为任意实数）

③④若Mx1,y、Nx2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判断①，x=−1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x1+x【详解】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=−1，∴∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0∴bc<0，故∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1,∴当x=−1时，y取得最大值，最大值为∴am2+bm+c≤a−b+c即，故②正确；∵x=1时，y<0即∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正确；