《增长速度的比较、函数的应用》

4.5增长速度的比较4.6函数的应用（二）4.7数学建模活动：生长规律的描述第四章

指数函数、对数函数与幂函数学习目标掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法.学习目标教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向函数的平均变化率数学运算水平1水平21.几类函数的平均变化率的计算。2.平均变化率在实际生活中的应用。3.能够从三类函数模型入手，建立量与量之间的关系。4.根据实际问题中增长量的变化情况，会选取适当的函数模型，并会用待定系数法求出其函数解析式。【考查内容】1.高考对本节内容的考查重点是平均变化率的运算。2.高考对本节的考查重点是指数函数模型的应用，近几年高考对函数的应用侧重考查导数（以后学习）在实际问题中的应用，因此命制指数函数、对数函数模型的应用的选择题、填空题是一种趋势，需给子重视。【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】5分平均变化率的应用数学运算水平2水平2平均变化率的大小比较数学运算水平2水平2几类不同增长的函数模型数学建模水平2水平2函数模型的应用举例数学建模水平1水平2函数的综合应用数学建模水平2水平2知识点一常见的增长模型(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用____________________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用____________________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是________________，函数值增长速度__________.4．幂函数模型幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．知识点一常见的增长模型(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础状元随笔函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．知识点二

数学建模(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．3．解模：求解数学模型，得出数学结论．4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．知识点二

数学建模(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础状元随笔

一、自学教材·注重基础基本知能小试

解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数．A2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(

)A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减解析：设某商品原来价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.A一、自学教材·注重基础基本知能小试3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(

)A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.B一、自学教材·注重基础基本知能小试

题型一几类函数模型的增长差异解析二、提升新知·注重综合例1、(1)下列函数中，增长速度最快的是(

)A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．A题型一几类函数模型的增长差异解析二、提升新知·注重综合(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．y2状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化变式训练二、提升新知·注重综合题型一几类函数模型的增长差异1.分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．变式训练二、提升新知·注重综合题型一几类函数模型的增长差异状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增长变化情况．如图：题型二

指数、对数函数模型解析二、提升新知·注重综合例2、按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．

题型二

指数、对数函数模型解析二、提升新知·注重综合例2、按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．

二、提升新知·注重综合方法总结题型二

指数、对数函数模型应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．二、提升新知·注重综合变式训练题型二

指数、对数函数模型1.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(

)(参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年

C．2020年D．2021年

B题型三

函数模型的选择问题二、提升新知·注重综合解析例3、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x,y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(图1)．观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．题型三

函数模型的选择问题二、提升新知·注重综合解析例3、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

题型三

函数模型的选择问题二、提升新知·注重综合解析例3、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]，利用信息技术画出它的图像(图2)．题型三

函数模型的选择问题二、提升新知·注重综合解析例3、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？由图像可知函数f(x)在区间[10,1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10,1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．题型三

函数模型的选择问题二、提升新知·注重综合状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10,1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.二、提升新知·注重综合方法总结题型三

函数模型的选择问题数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．变式训练二、提升新知·注重综合题型三

函数模型的选择问题1.某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

变式训练二、提升新知·注重综合题型三

函数模型的选择问题1.某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

变式训练二、提升新知·注重综合题型三

函数模型的选择问题1.某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新