版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
初中数学竞赛辅导资料(17)
奇数偶数
甲内容提要
1.奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被2整除的整数是偶数,如2,0-2-,不能被2整除的
整数是奇数,如一1,1,3.
如果n是整数,那么2n是偶数,2n-l或2n+l是奇数.如果n是正整数,那么2n是正偶数,
2n-l是正奇数.
2.奇数、偶数是整数的一种分类.可表示为:
奇数
二w或整数集合
(偶数
这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,不是偶数就是奇数,如果既不是偶数又不是奇数,
那么它就不是整数.
3.奇数偶数的运算性质:
奇数土奇数=偶数,奇数土偶数=奇数,偶数土偶数=偶数
奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数,偶数X偶数=偶数
奇数的正整数次幕是奇数,偶数的正整数次第足偶数,
两个速续整数的和是奇数,积是偶数.
乙例题
例1求证:任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明:设k为整数,那么2k—1是任意奇数,
(2k-l)2-1=4k2-4k+1-1=4k(k-1)
:k(k—1)是两个速续整数的积,必是偶数,4k(k—1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2已知:有n个整数它们的积等于n,和等于0
求证:n是4的倍数
证明:设n个整数为XI,X2,X3,…Xn根据题意得,-
X,+%2+%3+…+X"=0②
如果n为正奇数,由方程(1)可知X”X2,X3,…Xn都只能是奇数,而奇数个奇数的和必是奇
数,这不适合方程(2)右边的0,所以n一定是偶数;
当n为正偶数时,方程(1)左边的X,X2,X3,…Xn中,至少有一个是偶数,而要满足方程(2)
右边的0,左边的奇数必演是偶数个,偶数至少有2个.
所以n是4的倍数.
例3己知:a,b,c都是奇数
求证:方程0¥2+/+。=()没有整数解
证明:设方程的有整数解x,若它是奇数,这时方程左边的ax?,bx,c都是奇数,而右边0是
偶数,故不能成立;
若方程的整数解x是偶数,那么ax?,bx,都是偶数,c是奇数,所以左边仍然是奇数,不可能
等于0.
既然方程的解不可能是奇数,也不能是偶数,
...方程ax2+bx+c=O没有整数解(以上的证明方法是反证法)
例4求方程x2-y2=60的正整数解
解:(x+y)(x—y)=60,
60可分解为:1X60,2X30,3X20,4X15,5X⑵6X10
左边两个因式(x+y),(x—y)至少有一个是偶数
因此x,y必演是同奇数或同偶数,且x>y>0,适合条件的只有两组
X+y=30(x+y二10
X-y=2Ix-y-6
x=16x=8
解得《
y=14j=2
x-16x=8
工方程X—三6。的正整数解是)14[=2
丙练习17
1.选择题
①设n是正整数,那么n2+n-l的值是()
(A)偶数(B)奇数(C)可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x—324y=101的整数解,下列哪一个解是错误的?()
x=5x=329x=653x=978
(A)《(B)《(O4(D)\
y=iy=86卜=171y=256
2.填空:
①能被3,5,7都整除的最小正偶数是
②能被9和15整除的最小正奇数是一最大的三位数是一
③1+2+3+…+2001+2002的和是奇数或偶数?答
④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数?答____
⑤100…01能被11整除,那么n是正奇数或正偶数?答—
―^L-
3.任意三个整数中,必有两个的和是偶数,这是为什么?
4.试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由
5.求证:两个速续奇数的平方差能被8整除
6.试证明:任意两个奇数的平方和的一半是奇数
7.求方程(2x—y—2)2+(x+y+2)2=5的整数解
8.方程19x+78y=8637的解是()
x=78x=84x=88x=81
(A)〈(B)<(c)〈
y=91y=92y=93J=91
9.十进制中,六位数19帅87能被33整除,求a,b的值.
初中数学竞赛辅导资料(18)
式的整除
甲内容提要
1.定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这个整式
被另一个整式整除.
2.根据被除式=除式X商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式,
那么式的整除的意义可以表示为:
若f(x)=p(x)Xq(x),则称f(x)能被p(x)和q(x)整除
例如•.“-―3x—4=(x—4)(x+1),
・・・x2—3x-4能被(x-4)和(x+1)整除.
显然当x=4或x=-1时X2—3x—4=0,
3.一般地,若整式f(x)含有x-a的因式,则f(a)=0
反过来也成立,若f(a)=0,则x—a能整除f(x).
4.在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab贝ijp=a+b,q=ab
在恒等式中,左右两边同类项的系数相等.这可以推广到任意多项式.
乙例题
例1己知x?—5x+m能被x—2整除,求m的值.X—3
解法一:列竖式做除法(如右)X—2/X2—5x+m
由余式m—6=0得m=6X2—2x
解法二:X2—5x+m含有x—2的因式—3x+m
/.以x=2代入X2—5x+m得—3x+6
22—5X2+m=0得m=6m—6
解法三:设x?—5x+m除以x—2的商是x+a(a为待定系数)
那么X2—5x+m=(x+a)(x—2)=x2+(a-2)x—2a
根据左右两边同类项的系数相等,得
a-2=-5a=-3
解得《,(本题解法叫待定系数法)
-2a=mm=6
例2己知:x"一Sx"+llxAmx+n能被x2—2x+l整除
求:m、n的值及商式
解:・・,被除式=除式X商式(整除时余式为0)
;・商式可设为x2+ax+b
WX4—5x3+llx2+mx+n=(x2—2x+l)(x2+ax+b)
=x4+(a-2)x3+(b+l-2a)x2+(a-2b)x+b
根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得
ci—2=-5a=-3
b=n
解得《
a-2b=min=-ll
Tb=nn=4
m=-11,n=4,商式是x?—3x+4
例3m取什么值时,x3+y3+z3+mxyz(xyzWO)能被x+y+z整除?
解:当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时,它含有x+y+z因式
令x+y+z=O,得x=—(y+z),代入原式其值必为0
即[—(y+z)]3+y3+z3—myz(y+z)=0
把左边因式分解,得一yz(y+z)(m+3)=0,
Vyz^O,工当y+z=O或m+3=0时等式成立
・•・当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时,m可取任何值,
当m=-3时,x,y,z不论取什么值,原式都能被x+y+z整除.
例4分解因式X3—x+6
分析:为获得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值,只有x二
—2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)
解:X3—x+6=(x+2)(x2—2x+3)
丙练习18
1.x3+2x2+mx+10=x3+nx2—4x+10,贝m二___,n=___
2.x3—4x?+3x+32除以x+2的余式是,
x4—x2+l除以x2—x—2的余式是
3.己知x'+mx+d能被x+1整除,求m
4.己知x4+ax4bx—16含有两个因式x—1和x-2,求a和b的值
5.己知13x3+mx2+llx+n能被13x2—6x+5整除,求m、n及商式
6.己知abWO,m取什么值时,a3—6a2b+mab2-8b3有因式a—2b.
7.分解因式:①X3-7X+6,②X3-3X?+4,③X?”OX-3
8.选择题
①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是()
(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)
(c)(x-y)(y-z)(x+z)(D)(x-y)(y+z)(x+z)
@n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数),对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是()
(A)p=100,q=10(B)p=5000,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.
初中数学竞赛辅导资料(19)
因式分解
甲内容提要和例题
我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法.下面再
介貂两种方法
i.添项拆项.是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式
例1因式分解:①②aa+b'J—3abc
①分析:x,+l若添上2x2可配成完全平方公式
解:x4+x2+l=X4+2X2+1—X2=(X2+1)2—x2=(x2+l+x)(X2+1—x)
②分析:a?+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab?
解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3一3abc—3a2b-3ab2
=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)L(a+b)2—(a+b)c+c2]—3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-be)
例2因式分解:①X3—11X+20②a5+a+l
①分析:把中项一llx拆成-16x+5x分别与x5,20组成两组,则有公因式可提.(注意这里16
是完全平方数)
②解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4)
=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)
③分析:添上一a?和a?两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式
解:a5+a+l=a5—a2+a2+a+l=a2(a3—1)+a2+a+1
=a2(a-1)(a2+a+l)+a2+a+l=(a2+a+1)(a3-a2+l)
2.运用因式定理和待定系数法
定理:⑴若x=a时,f(x)=0,[即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a
⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等.
例3因式分解:①X3-5X2+9X—6②2X3-13X?+3
①分析:以*=±1,±2,±3,±6(常数6的约数)分别代入原式,若值为0,则可找到一次因式,
然后用除法或待定系数法,求另一个因式.
解:,"二?时,x'—5x?+9x—6=0,原式有一次因式x—2,
/.X3—5x2+9x—6=(x—2)(X2—3x+3)
②分析:用最高次项的系数2的约数±1,±2分别去除常数项3的约数
I3
+1,±3得商土1,±2,+-,±-,再分别以这些商代入原式求值,
22
可知只有当x=,时,原式值为0.故可知有因式2x-l
2
解:;x=L时,2x3-13x2+3=0,.,.原式有一次因式2x-l,
2
设2x3—13x2+3=(2x_1)(x2+ax—3),(a是待定系数)
比较右边和左边X?的系数得2a—1=-13,a=-6
/.2x3-13x+3=(2x_1)(x2—6x—3).
例4因式分解2x?+3xy—9y2+14x—3y+20
解:;2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y),用待定系数法,可设
2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),a,b是待定的系数,
比较右边和左边的x和y两项的系数,得
a+2b-14a^4
5解得
3a—3b=-3b=5
2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)
又解:原式=2x2+(3y+]4)x—(9y2+3y-20)这是关于x的二次三项式
常数项可分解为一(3y-4)(3y+5),用待定系数法,可设
2X2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+(3y+5)]
比较左、右两边的x?和x项的系数,得m=2,n=l
2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)
丙练习19
1.分解因式:①x4+x2y2+y4②x4+4③x4-23x?y2+y4
2.分解因式:①X3+4X?-9②—41X+30
③x3+5x2-18@X3-39X-70
3.分解因式:0x3+3x2y+3xy2+2y3②/-3*2+3*+7
@x3-9ax2+27a2x-26a3(4)x3+6x2+Ilx+6
⑤a'b'+B(a2+b2)+3(a+b)+2
4.分解因式:①3X3-7X+10②X3-11X2+31X-21
③x‘-4x+3@2X3-5X2+1
5.分解因式:①2x?—xy—3y2—6x+14y—8②(x2_3x_3)(x2+3x+4)—8
③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91
6.分解因式:@x2y2+1—x2—y2+4xy(2)x2—y2+2x—4y—3
③x'+x?-2ax-a+1④(x+y)4+x4+y4
⑤(a+b+c)3—(a3+b3+c3)
7.己知:n是大于1的自然数求证:4n?+1是合数
8.己知:f(x)=x2+bx+c,g(x)=X4+6X?+25,p(x)=3x4+4x2+28x+5
且知f(x)是g(x)的因式,也是p(X)的因式
求:当X=1时,f(X)的值
初中数学竞赛辅导资料(20)
代数恒等式的证明
甲内容提要
证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法
公式和等式的运算法则、性质.
具体证法一般有如下几种
i.从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简.变形的过程中要不断注意结论的形式.
2.把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式.
3.证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零.即由左边一右边=0可得左边=右边.
4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论.还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达
到另一边,
乙例题
例1求证:3n+2-2n+2+2X5n+2+3n-2n=10(5向+31'-2%
证明:左边=2X5X5同+(3n+2+3n)+(-2n+2-2n)
=10X5n+1+3n(32+l)-2n-l(23+2)
=10<5n+1+3n-2n_1)=右边
又证:£^Z=2X5n+2+3n(32+l)-2n(22+l)
=2X5n+2+10X3」5X2n
右边=10X5.1+10X3n-10X2*1
=2X5n+2+10X3n-5X2n
,左边=右边
例2己知:a+b+c=0求证:a3+b3+c3=3abc
证明:a3+b3+c3_3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—be)(见19例1)
V:a+b+c=0
/.a3+b3+c3_3abc=0即a3+b3+c3=3abc
又证:V:a+b+c=0a=—(b+c)
两边立方a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)
移项a3+b3+c3=—3bc(b+c)=3abc
再证:由己知a=-b-c代入左边,得
(—b—c)3+b3+c3=—(b'+3b2c+3bc2+c3)+b3+c3
=—3bc(b+c)=—3bc(-a)=3abc
例3己知a+工=b+」=c+工,a¥b#c求证:a2b2c2=l
hca
证明:由己知a-b=-1--=1幺h—tc・・.bc=匕h」—c
cbbea-b
b-c=I...ca=£z£同理ab=i
accab-cc-a
a-bb-cc—a
..abbeca=-------------------------=1即r1rla^7b~7c2?=l
c-aa-bb-c
例4己知:ax?+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证:b2-4ac=0
证明:设:ax:+bx+c=(mx+n)2,m,n是常数
那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2
9
a=机~
根据恒等式的性质得</?=2机〃:b2—4ac=(2mn)2—4m2n2=0
c=n2
丙练习20
1.求证:①(a+b+c尸+(a+b-c)2—(a-b-c)2—(a-b-c)2=8ab
②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2®(x-2y)x3—(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
@3n+2+5n+2-3n-5n=24(5n+3nJ)⑤f+an+l=(a3n-a2n+l)(a2n+an+l)
2.己知:a2+b2=2ab求证:a=b
3.己知:a+b+c=0
求证:@a3+a2c+b2c+b3=abc@a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知:a2=a+1求证:a5=5a+3
5.己知:x+y—z=0求证:x3+8y3=z3—6xyz
6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc求证:a=b=c
7.己知:a:b=b:c求证:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
4Tli11
8.己知:abc#0,ab+bc=2ac求证:---=-----
ahbc
9.己知:---=---=---求证:x+y+z=O
a-hh-cc-a
10.求证:(2x—3)(2x+l)是一个完全平方式
11己知:ax'+bx2+cx+d能被x?+p整除求证:ad=bc
初中数学竞赛辅导资料(21)
比较大小
甲内容提要
i.比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法.根据不等式的
性质:
当a—b>0时,a>b;当a—b=0时,a=b;当a—b<0时,a<b.
2.通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号.
3.需要讨论的可借助数轴,按零点分区.
4.实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它.即若a是实数,则
a2>0,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式).诸如
(a-b)220,a2+l>0,a2+a+1=(a+-)2+->0
24
一a)WO,—(a2+a+2)<0当aWb时,一(a—b)2<0
乙例题__
例1试比较a3与a的大小//
解:a3—a=a(a+l)(a-1)----------------J<烂*_-------♦-------1-------/股〕产
a3-a=O,BPa3=aW京/1
以一1,0,1三个零点把全体/―/
实数分为4个区间,由负因数的个数决定其符号:
当aV-l时,a+l<0,a<0,a—lV0(3个负因数).'a?—a<0BPa3<a
当一l<a<0时aV0,a-lV0(2个负因数).-.a3-a>0即a,>a
当0<a<l时,a-l<0(1个负因数).*.a3-a<0即a?<a
当a>l时,没有负因数,.-.a3-a>0即a?>a
综上所述当a=0「1,1时,a3=a
当aV—1或OVaVl时,a3<a
当一IVaVO或a>l时,,a3>a.(试总结符号规律)
例2什么数比它的倒数大?
解:设这个数为x,则当并且只当x一J>0时,x比它的倒数大,
x
1_X2-1(X+1)(%-1)-------------------------------------------------------►
x——=--------=--------------------101
xxx
以三个零点一1,0,1把实数分为4个区间,由例1可知
当x>l或一l<x<0时,x比它的倒数大.
例3己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的•半,甲、乙两人同时从A去
B,甲乘汽车到中点,后一半用步行,乙全程骑自行车,问^先到达?
解:设从A到B有x千米,步行速度每小时y千米,那么甲、乙走完全程所用时间分别是t巾=
XX
2+2=如X
4yy8y
Vx>0,y>0「・t甲—t乙>0
答:乙先到达B地
例4己知a^bWc,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca
证明:a2+b2+c2—ab+bc+ca=—X2(a2+b2+c2—ab+bc+ca)
2
—(2a~+2b~+2c~~-2ab+2bc+2ca)
2
=—[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)21
2
;a#bWc,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0
■•a~+b~+c>ab+bc+ca
又证::aWb,A(a-b)2>0a2+b2>2ab(l)
同理b2+c2>2bc(2)c2+a2>2ca(3)
(l)+(2)+(3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca即a2+b2+c2>ab+bc+ca
例5比较3(l+a?+a4)与(l+a+a?)2的大小
解:3(l+a2+a4)-(l+a+a2)2=3L(l+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2
=2(l+a+a2)2-6a(l+a+a2)
=2(1+a+a2)(1+a+a2-3a)=2(l+a+a2)(l-a)2
13
VH-a+a2=(-+a)2+->0,(l-a)2>0
24
...当a=l时,3(l+a2+a4)=(1+a+a2)2
当a#l时,3(l+a2+a4)>(1+a+a2)2
例6解方程|2x+l|+|x—2|=4x<-0.51邓2
1111x>一2
解:以-0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时,一(2x+l)-(x-2)=4,解得x=-l
当一0.5Wx<2时,,(2x+1)—(x-2)=4,解得x=l
当x22时,(2x+l)+(x—2)=4解得x=—,・••在x,2范围无解
3
综上所述原方程有两个解X=-1,X=1
丙练习21
1.己知a>O,bvO,目.a+b<0.试把a,b,0及其相反数记在数轴上.
并用“V”号把它们连接.
2.比较卜.列各组中的两个数值的大小:
①与a?②,—与伫1
a+1a+2
3.什么数的平方与立方相等?什么数的平方比立方大?
4.甲乙两人同时从A去B,甲一半路程用时速a千米,另•半路程用时速b千米;乙占总时间的
一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人^先到达?
5.己知a>b>c>d>0且a:b=c:d,试比较a+c与b+d的大小
6.己知a<b,x<y.求证:ax+by>ay+bx
7.己知a<b<c,x<y<z
求证:①ax+by+cz>az+bx+cy②ax+by+cz>az+bx+cy
(提示:可应用第6题的结论)
8.己知a<b<0,下列不等式,哪些能成立?不能成立的,请举个反例.
①②abvl③@<1©a-2b<0
abb
9.若a,b,c都是大于一1的负数,(即一lVa,b,c<0下列不等式哪些不能成立?试各举一个反例.
①a+b—c>0②(abcy>1③aLM-c2co④abc>-l
10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两
条水管,注满水池所用的时间列表如下
开放的水管号①②②③③④④⑤⑤①
时间(小时)2156310
问单独开放哪条水管能最快注满水池?答:
(1989年全国初中数学联赛题)
初中数学竞赛辅导资料(22)
分式
甲内容提要
1.除式含有字母的代数式叫做分式.分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的.
A
(1)分式一中,当BW0时有意义;当A、B同号时值为正,异号时值为负,反过来也成立.分子、
B
分母都化为积的形式时,分式的符号由它们中的负因数的个数来确定.
A
⑵若A、B及一都是整数,那么A是B的倍数,B是A的约数.
B
A
⑶一切有理数可用一来表示,其中A是整数,B是正整数,且A、B互质.
B
2.分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便.
乙例题
r2
例1.x取什么值时,分式,的值是零?是正数?是负数?
x+2x
x~—2x—3(x+l)(x—3)
解:
x2+2xx(x+2)
~0
3
以零点一2,-1,0,3把全体实数分为五个区间,标在数轴上(如上图)
当x=-l,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零;
当x<-2,-l<x<0,x>3时,分式的值是正数C.•负因数的个数是偶数)
当一2<x<—1,0<x<3时,分式的值是负数C.•负因数的个数是奇数)
例2.m取什么值时,分式丝=的值是正整数?
m-\
2m+72m-2+9=2+^
解:
m-1m-1m-1
V-4-4尤+
当例3.计算二^+x-2x+24
%+1x-3x-1x+3
9
——>—2且m—1是9的约数时,分式的值是正整数
m-1
即=3,9,-9解得m=2,4,10,-8.答:(略)
31
解:用带余除法得,原式=1+上+1+—31
1x-3x—1x+3
3(x—1)—3(x+1)(x+3)—(x—3)
--------------------------+-----------------------
(x+D(xT)(x-3)(x+3)
-66
--------+----------=48
x2-lX2-9----(X2-1)(X2-9)
4.已知(a+b):(b+c):(c+a)=3:4:5求①a:b:c②、1ab
c+bc
解:设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加
得2(a+b+c)=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式
得a=2k,b=k,c=3k
a2-ah_(2k)2-2kxk_1
.•.①a:b:c=2:1:3②
c2+bc(3k)2-\-kx3k6
例5.一个两位数除以它的两个数位上的数字和,要使商为最小值,求这个两位数;如果要使商为
最大值呢?
解:设这个两位数为10x+y,那么0<xW9,0WyW9
10x+y_9x
---------=]十------
x+yx+y
OY9x
当x取最小值l,y取最大值9时,分式一:—的值最小;当x取最大值9,y取最小值0时,分式
x+yx+y
的值最大.
答:商为最小值时的两位数是19,商为最大值时的两位数是90.
丙练习22
\a\-2
1.a=—时,分式—-----的值是0
a~+a—6
2二2广Z;。贝吩式x:-
2.已知
x+2y+z=0x+y+z
3x+2
3.若x和分式二一」都是整数,那么x三
x-1
4.直接写出结果:
①x2+^-=(x+—)2-_____®(X2+-^-+2)4-(X+—)=____
/X尤X
③(X?-——)+(XH)=(4)(1+—)(1-1-)=
XXXXX
5.化简繁分式,并指出字母x取什么值时它没有意义.
1
丫2__2
6.X取什么值时分式"2的值是零?是正数?是负数?
X2-9
、1田尸\%+4.x—2x—4x+21124
7.计算:①-----+--------------------②——+——+——7+——-
x+1x—3x—1x+31—x1+x1+x~1+x
6x+7x+2x2+2x+1x+10
③—;---------------------+
3x+8x+4x-x-2x-4
8.解方程:
x+910x+6尤+7X3+2X3-9C,
0_'1.9——74Y1
x+8x+9x+5x+6x-x+1x+2x+4
小、x—a—bx—h—cx-c-a...,111
⑶-----------+------------+------------=3(其r中一+—+一。0)
cababc
YV
9.已知xy:yz:zx=3*211,求①x:y:z②-----:—
yzzx
b-cc-aa-b-
10.已知aWb#c且----=-----=-----求证:ax+by+cz=O
xyz
.,,,x+yy+zz+x4,、./人心
11.已知:-----=-----=-----求:(x+y)・z的值
zxy
12.由三个非零且相异的数字组成的三位数,除以这三个数字和,其商的最小值是多少?
13.在保证分母不等于0的前提下,分式竺士^中的x不论取什么值分式的值都不变,问a和b之
bx+5
间的关系应满足什么条件?
14.已知3=2=£求证:(a2+b2+c2)(m24-n2+p2)=(am+bn+cp)2
mnp
中数学竞赛辅导初资料(23)
递推公式
甲内容提要
229
1.先看一例:ai=b,a2=—,a3=—....an+1=——这里a”a?,a?.......a.an+i是对应于正整数
a\ai%
1,2,3……n,n+1的有序的•列数(右下标的数字表示第几项),这一列数只要给出某一项数
值,就可以推出其他各项数值.
211
例如:若a,=10.Wrtlija2=—=—,a3=10,a4=—,as=10.......
2.为了计算的方便,通常把递推公式写成以a和n表示a»的形式,这可用经验归纳法.例如:把递
推公式an+i=an+5改为用a1和n来表不
•a2=a1+5,・♦a3=a2+5=(a1+5)+5=a]+2X5,Q4=a3+5=(a]+2X5)+5=a]+3X5
......./.an=aj+(n-l)5
如果已知a]=10,求a?。,显然代入这一公式方便.A20=10+19X5=105
3.有一类问题它与正整数的顺序有关,可寻找递推公式求解,这叫递推法.
乙例题
例1.已知:aj=2,an=an.i+2(n-l)(n》2)求:aioo的值
解:a100=a99+2X99
=a98+2X98+2X99
=a1+2X1+2X2+2X3+........+2X98+2X99
(1+99)x99
=2+2X----------------=9902
2
又解:a2=ai+2X1
a3=@2+2x2=(a1+2X1)+2X2
34=a3+2X3=(a1+2X1+2X2)+2X3
a100=ai+2X1+2X2+2X3+.......+2X99
=2+2(14-2+3+……+99)=9902
Y\
例2.已知:xi=97,对于自然数n>l,xn=------求:xix2x3......X8的值
解:由递推公式乂产’—可知X1X2=Xi—=2X3X4=X3—=4
Xn-\王工
XX=XA=6xx=x—=8
565787/.x1X2X3......Xs=2X4X6X8=384
例3.已知:100个自然数御,a2,a3……a.满足等式
(n-2)an-(n-1)an.,+l=0(2WnW100)并且aioo=199
求:ai+a2+a3+...+aioo
分析:已知等式是一个递推公式,用后项表示前项:+1
n—\
可由a(X)求299,a98
八
(100-2K20+l98x199+1
解:a99=-----U—=----------=197
(99—2)。99+197x197+1
@98=------------=195
9898
用同样方法求得@97=193,@96=191,...aj=l
.,.a!+a2+a3+……+aioo=l+3+5+...+195+197+199
_(1+199)x100_iq4
2—
丙练习23
1.已知aj=l,a2=l,且On+2=an+|+an
刃I),a4=,a§=,,a.=
,2
2.才ra]=2m,an=则a2=,33=,如=,a$=,31939Xa)99o=___
%
3.n为正整数,有递推公式an+产an—3,试用a1,n表示第n项an
4.已大口31—10,3n+1=2Up求a1。
5.已知f(2)=l,f(n+l)=f(n)+n,求f(10)
22nn
6.设x+y=a1,x+y=a2...x+y=an.xy=6,贝lla2=a/一2b,
有递推公式a.尸a函—ban/,试按本公式求出:用a,b表示a?.2,@5,a6
根据下列数据的特点,写出递推公式:
①ai=l,a2=4,a3=7,a4=10..an=,an+i
k2)3)—1>a2=3,23=6,34=1•,an=,an+]
7.n名象棋选手进行单循环比赛(每人对其他各人各赛一场)试用递推公式表示比赛的场数.
8.平面内n条的直线两两相交,最多有几个交点?试用递推公式表示.
初中数学竞赛辅导资料(24)
连续正整数的性质
甲内容提要
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一定是互质的,其商是既约分数.
2.两个连续正整数的积是偶数,且个位数只能是0,2,6.
3.两个连续正整数的和是奇数,差是1.
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和.例如3=1+2,79=39+40,111=55+56.
二.计算连续正整数的个数
例如:不同的五位数有几个?这是计算连续正整数从10000到99999的个数,它是99999-10000
+1=90000(个)
Ln位数的个数一般可表示为9Xl(yz(n为正整数,10°=1)
例如一位正整数从1到9共9个(9X10°),
二位数从10到99共90个(9X101)
三位数从100到999共900个(9X102).......
2.连续正整数从n到m的个数是m-n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算,举例如下:
3.从13到49的连续奇数的个数4是9空—1一3工+1=19
2
从13到49的连续偶数的个数是4空8—一1上4+1=18
2
4.从13到49能被3整除的正整数的个数是生二至+1=12
3
从13到49的正整数中除以3余1的个数是49空—1上3+1=13
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 万能认错检讨书(5篇)
- 初中化学重难点《酸、碱、盐》知识点
- 深圳市龙岗区外国语学校学年赴长沙招聘教师考试试卷及答案
- 第十师北屯市引进高层次和急需紧缺事业编工作人员真题
- 范文新学期的计划模板锦集七篇
- 环境演讲稿模板八篇
- 班长竞选演讲稿合集九篇
- 父母感恩演讲稿范本集锦5篇
- 新学期学习计划资料汇编8篇
- 2020年江西省中考满分作文《好的故事》
- 成槽机安全技术交底
- 食堂食材配送服务项目 投标方案(技术标)
- XX医院高警示药品(高危药品)目录
- 语言故事《我想帮忙》
- 深度保洁施工方案设计
- 抗美援朝精神(教案)小学生主题班会通用版
- 体育设备采购投标方案
- 植物病害诊断课件
- GB/T 713.7-2023承压设备用钢板和钢带第7部分:不锈钢和耐热钢
- 智能化煤矿安全教育与培训制度
- 荧光光谱仪原理及应用教学课件
评论
0/150
提交评论