初中数学竞赛初二

初中数学竞赛辅导资料（17）

奇数偶数

甲内容提要

1.奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2,0-2-,不能被2整除的

整数是奇数，如一1,1,3.

如果n是整数，那么2n是偶数，2n-l或2n+l是奇数.如果n是正整数，那么2n是正偶数，

2n-l是正奇数.

2.奇数、偶数是整数的一种分类.可表示为：

奇数

二w或整数集合

（偶数

这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，

那么它就不是整数.

3.奇数偶数的运算性质：

奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，偶数土偶数=偶数

奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数，偶数X偶数=偶数

奇数的正整数次幕是奇数，偶数的正整数次第足偶数，

两个速续整数的和是奇数，积是偶数.

乙例题

例1求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数

证明：设k为整数，那么2k—1是任意奇数，

（2k-l）2-1=4k2-4k+1-1=4k（k-1）

：k（k—1）是两个速续整数的积，必是偶数，4k（k—1）是8的倍数

即任意奇数的平方减去1是8的倍数

例2已知：有n个整数它们的积等于n,和等于0

求证：n是4的倍数

证明：设n个整数为XI，X2,X3,…Xn根据题意得，-

X,+%2+%3+…+X"=0②

如果n为正奇数，由方程（1）可知X”X2,X3,…Xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇

数，这不适合方程（2）右边的0,所以n一定是偶数；

当n为正偶数时，方程（1）左边的X,X2,X3,…Xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）

右边的0,左边的奇数必演是偶数个，偶数至少有2个.

所以n是4的倍数.

例3己知:a,b,c都是奇数

求证：方程0¥2+/+。=（）没有整数解

证明：设方程的有整数解x,若它是奇数，这时方程左边的ax?,bx,c都是奇数，而右边0是

偶数，故不能成立；

若方程的整数解x是偶数，那么ax?,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能

等于0.

既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，

...方程ax2+bx+c=O没有整数解（以上的证明方法是反证法）

例4求方程x2-y2=60的正整数解

解：（x+y）（x—y）=60,

60可分解为：1X60,2X30,3X20,4X15,5X⑵6X10

左边两个因式（x+y）,（x—y）至少有一个是偶数

因此x,y必演是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组

X+y=30(x+y二10

X-y=2Ix-y-6

x=16x=8

解得《

y=14j=2

x-16x=8

工方程X—三6。的正整数解是）14[=2

丙练习17

1.选择题

①设n是正整数，那么n2+n-l的值是（）

（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数

②求方程85x—324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（）

x=5x=329x=653x=978

(A)《(B)《(O4(D)\

y=iy=86卜=171y=256

2.填空：

①能被3,5,7都整除的最小正偶数是

②能被9和15整除的最小正奇数是一最大的三位数是一

③1+2+3+…+2001+2002的和是奇数或偶数？答

④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答____

⑤100…01能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答—

―^L-

3.任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？

4.试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由

5.求证：两个速续奇数的平方差能被8整除

6.试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数

7.求方程（2x—y—2）2+（x+y+2）2=5的整数解

8.方程19x+78y=8637的解是（）

x=78x=84x=88x=81

(A)〈(B)<（c）〈

y=91y=92y=93J=91

9.十进制中，六位数19帅87能被33整除，求a,b的值.

初中数学竞赛辅导资料（18）

式的整除

甲内容提要

1.定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式

被另一个整式整除.

2.根据被除式=除式X商式+余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，

那么式的整除的意义可以表示为：

若f(x)=p(x)Xq(x),则称f(x)能被p(x)和q(x)整除

例如•.“-―3x—4=(x—4)(x+1),

・・・x2—3x-4能被(x-4)和(x+1)整除.

显然当x=4或x=-1时X2—3x—4=0,

3.一般地，若整式f(x)含有x-a的因式，则f(a)=0

反过来也成立，若f(a)=0,则x—a能整除f(x).

4.在二次三项式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab贝ijp=a+b,q=ab

在恒等式中，左右两边同类项的系数相等.这可以推广到任意多项式.

乙例题

例1己知x?—5x+m能被x—2整除，求m的值.X—3

解法一：列竖式做除法(如右)X—2/X2—5x+m

由余式m—6=0得m=6X2—2x

解法二：X2—5x+m含有x—2的因式—3x+m

/.以x=2代入X2—5x+m得—3x+6

22—5X2+m=0得m=6m—6

解法三：设x?—5x+m除以x—2的商是x+a(a为待定系数)

那么X2—5x+m=(x+a)(x—2)=x2+(a-2)x—2a

根据左右两边同类项的系数相等，得

a-2=-5a=-3

解得《,(本题解法叫待定系数法)

-2a=mm=6

例2己知:x"一Sx"+llxAmx+n能被x2—2x+l整除

求：m、n的值及商式

解：・・,被除式=除式X商式(整除时余式为0)

；・商式可设为x2+ax+b

WX4—5x3+llx2+mx+n=(x2—2x+l)(x2+ax+b)

=x4+(a-2)x3+(b+l-2a)x2+(a-2b)x+b

根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得

ci—2=-5a=-3

b=n

解得《

a-2b=min=-ll

Tb=nn=4

m=-11,n=4,商式是x?—3x+4

例3m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz(xyzWO)能被x+y+z整除？

解：当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式

令x+y+z=O,得x=—(y+z),代入原式其值必为0

即[—(y+z)]3+y3+z3—myz(y+z)=0

把左边因式分解，得一yz(y+z)(m+3)=0,

Vyz^O,工当y+z=O或m+3=0时等式成立

・•・当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时，m可取任何值，

当m=-3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除.

例4分解因式X3—x+6

分析：为获得一次因式，可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值，只有x二

—2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)

解：X3—x+6=(x+2)(x2—2x+3)

丙练习18

1.x3+2x2+mx+10=x3+nx2—4x+10,贝m二___,n=___

2.x3—4x?+3x+32除以x+2的余式是,

x4—x2+l除以x2—x—2的余式是

3.己知x'+mx+d能被x+1整除，求m

4.己知x4+ax4bx—16含有两个因式x—1和x-2,求a和b的值

5.己知13x3+mx2+llx+n能被13x2—6x+5整除,求m、n及商式

6.己知abWO,m取什么值时，a3—6a2b+mab2-8b3有因式a—2b.

7.分解因式：①X3-7X+6,②X3-3X?+4,③X?”OX-3

8.选择题

①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是()

(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)

(c)(x-y)(y-z)(x+z)(D)(x-y)(y+z)(x+z)

@n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是()

(A)p=100,q=10(B)p=5000,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.

初中数学竞赛辅导资料(19)

因式分解

甲内容提要和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法.下面再

介貂两种方法

i.添项拆项.是.为了分组后，能运用公式(包括配方)或提公因式

例1因式分解：①②aa+b'J—3abc

①分析：x,+l若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+l=X4+2X2+1—X2=(X2+1)2—x2=(x2+l+x)(X2+1—x)

②分析：a?+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab?

解：a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3一3abc—3a2b-3ab2

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)L(a+b)2—(a+b)c+c2]—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-be)

例2因式分解：①X3—11X+20②a5+a+l

①分析：把中项一llx拆成-16x+5x分别与x5,20组成两组，则有公因式可提.(注意这里16

是完全平方数)

②解：x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4)

=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)

③分析：添上一a?和a?两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式

解：a5+a+l=a5—a2+a2+a+l=a2(a3—1)+a2+a+1

=a2(a-1)(a2+a+l)+a2+a+l=(a2+a+1)(a3-a2+l)

2.运用因式定理和待定系数法

定理：⑴若x=a时,f(x)=0,[即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a

⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等.

例3因式分解：①X3-5X2+9X—6②2X3-13X?+3

①分析：以*=±1,±2,±3,±6(常数6的约数)分别代入原式，若值为0,则可找到一次因式,

然后用除法或待定系数法，求另一个因式.

解：,"二？时，x'—5x?+9x—6=0,原式有一次因式x—2,

/.X3—5x2+9x—6=(x—2)(X2—3x+3)

②分析：用最高次项的系数2的约数±1,±2分别去除常数项3的约数

I3

+1,±3得商土1,±2,+-,±-,再分别以这些商代入原式求值，

22

可知只有当x=，时，原式值为0.故可知有因式2x-l

2

解：；x=L时，2x3-13x2+3=0,.,.原式有一次因式2x-l,

2

设2x3—13x2+3=(2x_1)(x2+ax—3),(a是待定系数)

比较右边和左边X?的系数得2a—1=-13,a=-6

/.2x3-13x+3=(2x_1)(x2—6x—3).

例4因式分解2x?+3xy—9y2+14x—3y+20

解：；2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y),用待定系数法，可设

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),a,b是待定的系数，

比较右边和左边的x和y两项的系数，得

a+2b-14a^4

5解得

3a—3b=-3b=5

2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)

又解：原式=2x2+(3y+]4)x—(9y2+3y-20)这是关于x的二次三项式

常数项可分解为一(3y-4)(3y+5),用待定系数法，可设

2X2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+(3y+5)]

比较左、右两边的x?和x项的系数，得m=2,n=l

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

丙练习19

1.分解因式：①x4+x2y2+y4②x4+4③x4-23x?y2+y4

2.分解因式：①X3+4X?-9②—41X+30

③x3+5x2-18@X3-39X-70

3.分解因式：0x3+3x2y+3xy2+2y3②/-3*2+3*+7

@x3-9ax2+27a2x-26a3(4)x3+6x2+Ilx+6

⑤a'b'+B(a2+b2)+3(a+b)+2

4.分解因式：①3X3-7X+10②X3-11X2+31X-21

③x‘-4x+3@2X3-5X2+1

5.分解因式:①2x?—xy—3y2—6x+14y—8②(x2_3x_3)(x2+3x+4)—8

③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91

6.分解因式：@x2y2+1—x2—y2+4xy(2)x2—y2+2x—4y—3

③x'+x?-2ax-a+1④(x+y)4+x4+y4

⑤(a+b+c)3—(a3+b3+c3)

7.己知：n是大于1的自然数求证：4n?+1是合数

8.己知：f(x)=x2+bx+c,g(x)=X4+6X?+25,p(x)=3x4+4x2+28x+5

且知f(x)是g(x)的因式，也是p(X)的因式

求：当X=1时，f(X)的值

初中数学竞赛辅导资料(20)

代数恒等式的证明

甲内容提要

证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法

公式和等式的运算法则、性质.

具体证法一般有如下几种

i.从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简.变形的过程中要不断注意结论的形式.

2.把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式.

3.证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零.即由左边一右边=0可得左边=右边.

4,由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论.还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达

到另一边，

乙例题

例1求证：3n+2-2n+2+2X5n+2+3n-2n=10(5向+31'-2%

证明：左边=2X5X5同+(3n+2+3n)+(-2n+2-2n)

=10X5n+1+3n(32+l)-2n-l(23+2)

=10<5n+1+3n-2n_1)=右边

又证:£^Z=2X5n+2+3n(32+l)-2n(22+l)

=2X5n+2+10X3」5X2n

右边=10X5.1+10X3n-10X2*1

=2X5n+2+10X3n-5X2n

，左边=右边

例2己知:a+b+c=0求证：a3+b3+c3=3abc

证明：a3+b3+c3_3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—be)(见19例1)

V:a+b+c=0

/.a3+b3+c3_3abc=0即a3+b3+c3=3abc

又证：V:a+b+c=0a=—(b+c)

两边立方a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3)

移项a3+b3+c3=—3bc(b+c)=3abc

再证：由己知a=-b-c代入左边,得

(—b—c)3+b3+c3=—(b'+3b2c+3bc2+c3)+b3+c3

=—3bc(b+c)=—3bc(-a)=3abc

例3己知a+工=b+」=c+工,a¥b#c求证：a2b2c2=l

hca

证明：由己知a-b=-1--=1幺h—tc・・.bc=匕h」—c

cbbea-b

b-c=I...ca=£z£同理ab=i

accab-cc-a

a-bb-cc—a

..abbeca=-------------------------=1即r1rla^7b~7c2?=l

c-aa-bb-c

例4己知:ax?+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证：b2-4ac=0

证明：设:ax:+bx+c=(mx+n)2,m,n是常数

那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2

9

a=机~

根据恒等式的性质得＜/?=2机〃:b2—4ac=(2mn)2—4m2n2=0

c=n2

丙练习20

1.求证：①(a+b+c尸+(a+b-c)2—(a-b-c)2—(a-b-c)2=8ab

②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2®(x-2y)x3—(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3

@3n+2+5n+2-3n-5n=24(5n+3nJ)⑤f+an+l=(a3n-a2n+l)(a2n+an+l)

2.己知：a2+b2=2ab求证：a=b

3.己知：a+b+c=0

求证：@a3+a2c+b2c+b3=abc@a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

4.己知：a2=a+1求证：a5=5a+3

5.己知：x+y—z=0求证：x3+8y3=z3—6xyz

6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求证：a=b=c

7.己知：a:b=b:c求证：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)

4Tli11

8.己知：abc#0,ab+bc=2ac求证：---=-----

ahbc

9.己知：---=---=---求证：x+y+z=O

a-hh-cc-a

10.求证：(2x—3)(2x+l)是一个完全平方式

11己知：ax'+bx2+cx+d能被x?+p整除求证：ad=bc

初中数学竞赛辅导资料(21)

比较大小

甲内容提要

i.比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法.根据不等式的

性质：

当a—b>0时，a>b；当a—b=0时，a=b；当a—b<0时，a<b.

2.通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号.

3.需要讨论的可借助数轴，按零点分区.

4.实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数，在决定符号时常用到它.即若a是实数，则

a2>0,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值，永远成立的不等式).诸如

(a-b)220,a2+l>0,a2+a+1=(a+-)2+->0

24

一a)WO,—(a2+a+2)<0当aWb时，一(a—b)2<0

乙例题__

例1试比较a3与a的大小//

解：a3—a=a(a+l)(a-1)----------------J<烂*_-------♦-------1-------/股〕产

a3-a=O,BPa3=aW京/1

以一1,0,1三个零点把全体/―/

实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：

当aV-l时,a+l<0,a<0,a—lV0(3个负因数).'a?—a<0BPa3<a

当一l<a<0时aV0,a-lV0(2个负因数).-.a3-a>0即a，>a

当0<a<l时，a-l<0(1个负因数).*.a3-a<0即a?<a

当a>l时，没有负因数，.-.a3-a>0即a?>a

综上所述当a=0「1,1时，a3=a

当aV—1或OVaVl时，a3<a

当一IVaVO或a>l时，，a3>a.（试总结符号规律）

例2什么数比它的倒数大？

解：设这个数为x,则当并且只当x一J>0时，x比它的倒数大，

x

1_X2-1（X+1）（%-1）-------------------------------------------------------►

x——=--------=--------------------101

xxx

以三个零点一1,0,1把实数分为4个区间，由例1可知

当x>l或一l<x<0时，x比它的倒数大.

例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的•半，甲、乙两人同时从A去

B,甲乘汽车到中点，后一半用步行，乙全程骑自行车，问^先到达？

解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t巾=

XX

2+2=如X

4yy8y

Vx>0,y>0「・t甲—t乙>0

答：乙先到达B地

例4己知a^bWc,求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca

证明：a2+b2+c2—ab+bc+ca=—X2(a2+b2+c2—ab+bc+ca)

2

—(2a~+2b~+2c~~-2ab+2bc+2ca)

2

=—[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)21

2

；a#bWc,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0

■•a~+b~+c>ab+bc+ca

又证：：aWb,A(a-b)2>0a2+b2>2ab(l)

同理b2+c2>2bc(2)c2+a2>2ca(3)

(l)+(2)+(3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca即a2+b2+c2>ab+bc+ca

例5比较3(l+a?+a4)与(l+a+a?)2的大小

解：3(l+a2+a4)-(l+a+a2)2=3L(l+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2

=2(l+a+a2)2-6a(l+a+a2)

=2(1+a+a2)(1+a+a2-3a)=2(l+a+a2)(l-a)2

13

VH-a+a2=(-+a)2+->0,(l-a)2>0

24

...当a=l时，3(l+a2+a4)=(1+a+a2)2

当a#l时，3(l+a2+a4)>(1+a+a2)2

例6解方程|2x+l|+|x—2|=4x<-0.51邓2

1111x>一2

解：以-0.5,和2两个零点分为3个区间

当x<-0.5时，一(2x+l)-(x-2)=4,解得x=-l

当一0.5Wx<2时，，(2x+1)—(x-2)=4,解得x=l

当x22时，(2x+l)+(x—2)=4解得x=—,・••在x，2范围无解

3

综上所述原方程有两个解X=-1,X=1

丙练习21

1.己知a>O,bvO,目.a+b<0.试把a,b,0及其相反数记在数轴上.

并用“V”号把它们连接.

2.比较卜.列各组中的两个数值的大小：

①与a?②，—与伫1

a+1a+2

3.什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？

4.甲乙两人同时从A去B,甲一半路程用时速a千米，另•半路程用时速b千米；乙占总时间的

一半用时速a千米，另一半时间用时速b千米，问两人^先到达？

5.己知a>b>c>d>0且a：b=c：d,试比较a+c与b+d的大小

6.己知a<b,x<y.求证：ax+by>ay+bx

7.己知a<b<c,x<y<z

求证：①ax+by+cz>az+bx+cy②ax+by+cz>az+bx+cy

(提示：可应用第6题的结论)

8.己知a<b<0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例.

①②abvl③@<1©a-2b<0

abb

9.若a,b,c都是大于一1的负数，(即一lVa,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例.

①a+b—c>0②(abcy>1③aLM-c2co④abc>-l

10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两

条水管，注满水池所用的时间列表如下

开放的水管号①②②③③④④⑤⑤①

时间(小时)2156310

问单独开放哪条水管能最快注满水池？答：

(1989年全国初中数学联赛题)

初中数学竞赛辅导资料(22)

分式

甲内容提要

1.除式含有字母的代数式叫做分式.分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的.

A

(1)分式一中，当BW0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立.分子、

B

分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定.

A

⑵若A、B及一都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数.

B

A

⑶一切有理数可用一来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质.

B

2.分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便.

乙例题

r2

例1.x取什么值时，分式,的值是零?是正数？是负数？

x+2x

x~—2x—3(x+l)(x—3)

解:

x2+2xx(x+2)

~0

3

以零点一2,-1,0,3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）

当x=-l,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零；

当x<-2,-l<x<0,x>3时，分式的值是正数C.•负因数的个数是偶数）

当一2<x<—1,0<x<3时，分式的值是负数C.•负因数的个数是奇数）

例2.m取什么值时，分式丝=的值是正整数？

m-\

2m+72m-2+9=2+^

解:

m-1m-1m-1

V-4-4尤+

当例3.计算二^+x-2x+24

%+1x-3x-1x+3

9

——>—2且m—1是9的约数时，分式的值是正整数

m-1

即=3,9,-9解得m=2,4,10,-8.答：（略）

31

解：用带余除法得，原式=1+上+1+—31

1x-3x—1x+3

3(x—1)—3(x+1)(x+3)—(x—3)

--------------------------+-----------------------

(x+D(xT)(x-3)(x+3)

-66

--------+----------=48

x2-lX2-9----(X2-1)(X2-9)

4.已知(a+b):(b+c)：(c+a)=3：4：5求①a：b：c②、1ab

c+bc

解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2(a+b+c)=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式

得a=2k,b=k,c=3k

a2-ah_(2k)2-2kxk_1

.•.①a：b：c=2：1：3②

c2+bc(3k)2-\-kx3k6

例5.一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为

最大值呢？

解：设这个两位数为10x+y,那么0<xW9,0WyW9

10x+y_9x

---------=］十------

x+yx+y

OY9x

当x取最小值l,y取最大值9时，分式一:—的值最小；当x取最大值9,y取最小值0时，分式

x+yx+y

的值最大.

答：商为最小值时的两位数是19,商为最大值时的两位数是90.

丙练习22

\a\-2

1.a=—时，分式—-----的值是0

a~+a—6

2二2广Z；。贝吩式x：-

2.已知

x+2y+z=0x+y+z

3x+2

3.若x和分式二一」都是整数，那么x三

x-1

4.直接写出结果：

①x2+^-=(x+—)2-_____®(X2+-^-+2)4-(X+—)=____

/X尤X

③(X?-——)+(XH)=(4)(1+—)(1-1-)=

XXXXX

5.化简繁分式，并指出字母x取什么值时它没有意义.

1

丫2__2

6.X取什么值时分式"2的值是零?是正数？是负数?

X2-9

、1田尸\%+4.x—2x—4x+21124

7.计算：①-----+--------------------②——+——+——7+——-

x+1x—3x—1x+31—x1+x1+x~1+x

6x+7x+2x2+2x+1x+10

③—；---------------------+

3x+8x+4x-x-2x-4

8.解方程：

x+910x+6尤+7X3+2X3-9C,

0_'1.9——74Y1

x+8x+9x+5x+6x-x+1x+2x+4

小、x—a—bx—h—cx-c-a...,111

⑶-----------+------------+------------=3(其r中一+—+一。0)

cababc

YV

9.已知xy：yz：zx=3*211,求①x:y：z②-----：—

yzzx

b-cc-aa-b-

10.已知aWb#c且----=-----=-----求证：ax+by+cz=O

xyz

.,,,x+yy+zz+x4,、./人心

11.已知：-----=-----=-----求：(x+y)・z的值

zxy

12.由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？

13.在保证分母不等于0的前提下，分式竺士^中的x不论取什么值分式的值都不变，问a和b之

bx+5

间的关系应满足什么条件？

14.已知3=2=£求证：(a2+b2+c2)(m24-n2+p2)=(am+bn+cp)2

mnp

中数学竞赛辅导初资料(23)

递推公式

甲内容提要

229

1.先看一例：ai=b,a2=—,a3=—....an+1=——这里a”a?,a?.......a.an+i是对应于正整数

a\ai%

1,2,3……n,n+1的有序的•列数(右下标的数字表示第几项)，这一列数只要给出某一项数

值，就可以推出其他各项数值.

211

例如：若a,=10.Wrtlija2=—=—,a3=10,a4=—,as=10.......

2.为了计算的方便，通常把递推公式写成以a和n表示a»的形式，这可用经验归纳法.例如：把递

推公式an+i=an+5改为用a1和n来表不

•a2=a1+5,・♦a3=a2+5=(a1+5)+5=a]+2X5,Q4=a3+5=(a]+2X5)+5=a]+3X5

......./.an=aj+(n-l)5

如果已知a]=10,求a?。，显然代入这一公式方便.A20=10+19X5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法.

乙例题

例1.已知：aj=2,an=an.i+2(n-l)(n》2)求：aioo的值

解：a100=a99+2X99

=a98+2X98+2X99

=a1+2X1+2X2+2X3+........+2X98+2X99

(1+99)x99

=2+2X----------------=9902

2

又解：a2=ai+2X1

a3=@2+2x2=(a1+2X1)+2X2

34=a3+2X3=(a1+2X1+2X2)+2X3

a100=ai+2X1+2X2+2X3+.......+2X99

=2+2(14-2+3+……+99)=9902

Y\

例2.已知：xi=97,对于自然数n>l,xn=------求：xix2x3......X8的值

解：由递推公式乂产’—可知X1X2=Xi—=2X3X4=X3—=4

Xn-\王工

XX=XA=6xx=x—=8

565787/.x1X2X3......Xs=2X4X6X8=384

例3.已知：100个自然数御，a2,a3……a.满足等式

(n-2)an-(n-1)an.,+l=0(2WnW100)并且aioo=199

求：ai+a2+a3+...+aioo

分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：+1

n—\

可由a(X)求299,a98

八

(100-2K20+l98x199+1

解:a99=-----U—=----------=197

(99—2)。99+197x197+1

@98=------------=195

9898

用同样方法求得@97=193,@96=191,...aj=l

.,.a!+a2+a3+……+aioo=l+3+5+...+195+197+199

_(1+199)x100_iq4

2—

丙练习23

1.已知aj=l,a2=l,且On+2=an+|+an

刃I),a4=，a§=，，a.=

,2

2.才ra]=2m，an=则a2=，33=，如=，a$=，31939Xa)99o=___

%

3.n为正整数，有递推公式an+产an—3,试用a1，n表示第n项an

4.已大口31—10,3n+1=2Up求a1。

5.已知f(2)=l,f(n+l)=f(n)+n,求f(10)

22nn

6.设x+y=a1，x+y=a2...x+y=an.xy=6,贝lla2=a/一2b,

有递推公式a.尸a函—ban/，试按本公式求出：用a,b表示a?.2，@5,a6

根据下列数据的特点，写出递推公式：

①ai=l,a2=4,a3=7,a4=10..an=，an+i

k2)3)—1>a2=3,23=6,34=1•，an=,an+]

7.n名象棋选手进行单循环比赛(每人对其他各人各赛一场)试用递推公式表示比赛的场数.

8.平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示.

初中数学竞赛辅导资料(24)

连续正整数的性质

甲内容提要

一.两个连续正整数

1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数.

2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0,2,6.

3.两个连续正整数的和是奇数，差是1.

4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和.例如3=1+2,79=39+40,111=55+56.

二.计算连续正整数的个数

例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999-10000

+1=90000(个)

Ln位数的个数一般可表示为9Xl(yz(n为正整数，10°=1)

例如一位正整数从1到9共9个(9X10°),

二位数从10到99共90个(9X101)

三位数从100到999共900个(9X102).......

2.连续正整数从n到m的个数是m-n+1

把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下:

3.从13到49的连续奇数的个数4是9空—1一3工+1=19

2

从13到49的连续偶数的个数是4空8—一1上4+1=18

2

4.从13到49能被3整除的正整数的个数是生二至+1=12

3

从13到49的正整数中除以3余1的个数是49空—1上3+1=13