第九章 整式（15类题型突破）

第九章整式（15类题型突破）题型一代数式1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子符合书写要求的是（

）A．a4 B．x÷y C． D．2．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是（

）

A．xx+3+2x BC．xx+3+6 D巩固训练：1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，某长方形广场四角均设计一块半径为r的四分之一圆形的花坛，正中是一个半径为r的圆形喷水池，广场长为a，宽为b，则广场空地面积为（

）

A． B． C．ab D．ab-2π2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知b的相反数比a的2倍多4．(1)用含a的式子表示b；(2)若，且P≤0，求a题型二代数式的值3．（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若m-n=1，则m-A．2 B．1 C． D．34．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知y=x2+ax+b，当x=1时，y的值为2；当x=-2时，y的值为．则当x=-3时，A．4 B．1 C．3 D．2巩固训练1．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，那么多项式-2x2+6x+9A．4 B．5 C．6 D．72．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）若实数m，n满足m-n-53．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知代数式ax2+bx+c，当x=1和x=-3时，它的值都为5，当x(1)求a，b，c的值；(2)当x=-2时，求代数式题型三合并同类项5．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）若12xa-by4与-13A．a=2,b=-1 B．a=2,b=C．a=-2,b=1 D．a=-2,b=6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．23xyz与23xy是同类项 B．C．-0.5x3y2与2x2巩固训练1．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）如果单项式-xy的和仍然是一个单项式，则a+b的值为（

）A．1 B． C．-2 D．22．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果13xa+1y2a+3与-3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）已知a是最大的负整数，2xb+1y3与-3x2yc-3是同类项，且a(1)求出a，b，c的值；(2)若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B恰好是AC的中点时，求运动时间t的值．题型四整式的加减7．（2023秋·七年级课时练习）ab减去a2-ab+A．a2+2ab+b2 B．-a28．（2023秋·七年级课时练习）如果关于a,b的代数式的值与b无关，那么（

）A．a=0 B．b=0 C．m=0 D．m=6巩固训练1．（2023秋·全国·七年级专题练习）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：解：原式①=-=-以上解题过程中，出现错误的步骤是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③2．（2023秋·七年级课时练习）若式子2x2+2ax-y-2bx23．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）小明在做一道数学题：“化简：ax2+6x+8(1)如果这个整式化简后是常数，求a的值；(2)若a=1，，求原式的值；(3)若x=1，原式的值为4，求a的值．题型五同底数幂的乘法9．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知xm=2，xn=4，则A．2 B．6 C．8 D．1610．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）若，则n=（

）A．15 B．5 C．6 D．14巩固训练1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如果xn=y，那么我们规定x，y=n．例如：因为，所以3，9=2．记m，12=a，m，A．ab=c B．ab=c C．a+b=c2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）已知am=2，an=43．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)a3(2)34(3)y2n+1⋅yn-1⋅(4)x-题型六幂的乘方与积的乘方11．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）若xm=5，xn=-2，则A．12 B．20 C．-20 D．-12．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算的结果是（

）A．-4x4y5 B． C．巩固训练1．（2023春·辽宁阜新·七年级校联考期中）若xm=5，，则x2m+n的值为（A．40 B．100 C．254 D．2．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）计算-p2⋅-p3=；-3．（2023春·山东东营·六年级校考阶段练习）计算：(1)-(2)(x(3)((4)(题型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）下列计算正确的是（

）A．3ab3-2abC．y+4y-3=y14．（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知aa-2=8，则代数式a2A．8 B．14 C．-2 D．巩固训练1．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知x+mx-n=x2-4x-5A．1 B．-4 C．-5 D．2．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若的积中不含x项与项．则代数式的值为．3．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）观察下列各式．a3aa+1(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．①x-②____________③2x+1(2)应用规律计算：a题型八平方差公式15．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A．2a+b2b-a B．C．3x-y-16．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）化简2+122+1A．232-1 B．216+1 C．巩固训练1．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知-2x-yA． B．2x-y C．-2x+y D．-2x2．（2023·全国·八年级专题练习）已知M=732+1343．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）观察下列各式：a+1aa-3a-(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．①x-3②2x+1(；③()x(2)应用规律计算：a2题型九完全平方公式17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如果x-1x=3，那么A．5 B．7 C．9 D．1118．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（

）A．2a-4b-2a-4b B．a+4bC．a-4ba+4b D．巩固训练1．（2023秋·八年级课时练习）若a+1a=5，则aA．23 B．8 C．-8 D．2．（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）我们把形如“”的式子称为完全平方式，若x2+axy+y2是一个完全平方式，，且a<b，则b3．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+【解决问题】（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b（2）已知x2+y【探究问题】（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使题型十乘法公式在几何背景下的应用19．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为2b的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（

）

A．3a+2b B．9a2-4b2 C20．（2023春·浙江杭州·七年级统考期中）如图张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为．若S1=2S2

A．3:2 B．5:2 C．2:1 D．3:1巩固训练1．（2023春·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为

3．（2023春·山东济南·七年级统考期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式a+b，a-(3)运用你所得到的公式计算：若m、n为实数，且mn=5，m-n=4，试求(4)如图3所示，两正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为α、b，且，ab=5，求图中阴影部分的面积．题型十一提取公因式法21．（2023秋·全国·八年级课堂例题）把12a2bA．2 B．2ab C．2ab2c22．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知x-y=1，xy=2，则x2A．-12 B．-2 C．12巩固训练1．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（

）A． B．2mm-n2 C． D2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于x的二次三项式x2-mx+n可分解为x+2x-3，则3m3．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：(1)-8(2)2a+12(3)3x题型十二公式法23．（2023秋·八年级课时练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（

）A．x2-2x-1=(x-1)C．x2-4x+4=(x-2)24．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若M5x-y2A．-5x-y2 B．-y2+5x C．5x+巩固训练1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（

）A．x2+yC．x2+4xy-4y2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）已知a+b=3，ab=2，则代数式的值为3．（2023春·湖南岳阳·七年级校考期中）阅读材料：因式分解：．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2．再将“上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：(1)因式分解：1+6(x(2)因式分解：a(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．题型十三十字相乘法25．（2023春·河北保定·八年级校考期末）若多项式x2-ax+12可分解为x-3x+b，则a+bA． B．-3 C．3 D．1126．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）下列各组式子中，因式分解正确的是（

）A．x2-7x+10=x-2C．10x2-5x巩固训练1．（2023·上海·七年级假期作业）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x2．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：x+2x-3．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：(1)2a(2)(3)(4)y题型十四分组分解法27．（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解a2A．a2-bC．a2-b28．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列因式分解错误的是（

）A．xB．xC．-D．x巩固训练1．（2023·上海·七年级假期作业）如果x-2是多项式x2-4x+k的一个因式．则k的值为（A．-4 B．1 C．4 D．82．（2023·上海·七年级假期作业）已知2x2+10x+1=0，那么多项式x+13．（2023·上海·七年级假期作业）已知：关于x的多项式x2-2m+1题型十五整式的除法29．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）长方形的面积是12a3-6ab+3a3A．4a2-2b+a2 B． C30．（2023秋·八年级课时练习）计算-2a3A． B． C． D．巩固训练1．（2023·上海·七年级假期作业）计算a+b2-aA． B．a-b4 C．1 D．2ab2．（2023·上海·七年级假期作业）计算：(3a63．（2023·上海·七年级假期作业）对于任何实数，我们规定符号abcd(1)按照这个规定请你计算-2(2)按规定请写出a3(3)当a取-2的相反数时，请计算a3

第九章整式（15类题型突破）参考答案题型一代数式1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子符合书写要求的是（

）A．a4 B．x÷y C． D．-5【答案】D【分析】根据代数式的书写要求对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、应该写成4a，错误；B、应该写成xyC、应该写成72D、-5故选：D．【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．2．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是（

）

A．xx+3+2x BC．xx+3+6 D【答案】A【分析】分别用不同方法表示出阴影部分的面积即可判断．【详解】解：图中阴影部分的面积可以表示为：x2+3x+2或x故B，C，D不合题意，A不能表示阴影部分面积，故符合题意；故选A．【点睛】本题考查了列代数式，熟练掌握阴影部分面积的求法是解题的关键．巩固训练：1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，某长方形广场四角均设计一块半径为r的四分之一圆形的花坛，正中是一个半径为r的圆形喷水池，广场长为a，宽为b，则广场空地面积为（

）

A． B． C．ab D．ab-2π【答案】D【分析】分别求出广场的面积，草地面积，喷水池面积，用广场面积减去草地和喷水池的面积即可得出答案．【详解】解：广场的面积为ab，草地的面积为：πr喷水池的面积为：πr则广场空地面积为：ab-故选：D．【点睛】本题考查了列代数式，掌握四个花坛的面积正好是一个圆的面积是解答本题的关键．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是．【答案】12a【分析】根据“十位数字乘以10加上个位数字等于这个两位数”，列代数式即可.【详解】一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是10a+2a=12a故答案为：12a【点睛】本题主要考查了列代数式，熟练掌握两位数的表示方法是解题的关键.3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知b的相反数比a的2倍多4．(1)用含a的式子表示b；(2)若，且P≤0，求a的所有负整数值．【答案】(1)b=(2)-4，-3，-2，【分析】（1）根据题意列出式子2a+4=-（2）先表示出P=-a-4，再根据P≤0求出a的取值范围即可．【详解】（1）解：∵b的相反数比a的2倍多4，∴2a+4=∴用含a的式子表示b：b=-（2）解：根据题意得：P=a+b=a+-∵P∴-解得：a≥-∴a的所有负整数值为：-4，-3，-2，．【点睛】本题主要考查了相反数的定义、列代数式、求一元一次不等式的整数解，理解题意，正确进行计算是解题的关键．题型二代数式的值3．（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若m-n=1，则m-A．2 B．1 C． D．3【答案】C【分析】原式变形后，将m-【详解】解：∵m-∴原式=m故选：C．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知y=x2+ax+b，当x=1时，y的值为2；当x=-2时，y的值为．则当x=-3时，A．4 B．1 C．3 D．2【答案】D【分析】由题意得到1+a+b=2①，4-2a+b=-1②，求出a=2，b=-1，把a=2，b=-1，x=-3代入y=x【详解】解：∵当x=1时，y的值为2；当x=-2时，y的值为1+a+b=2①－②得，-3+3a=3，解得a=2，把a=2代入①得，b=-∴当x=-3时，y=-故选：D【点睛】此题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，根据题意得到方程组，求出a=2，b=-巩固训练1．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，那么多项式-2x2+6x+9A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】把所求的多项式进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：∵，==5故选：B．【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）若实数m，n满足m-n-5+(2m+n-4)2=0【答案】7【分析】根据非负数的性质可得m-n-5=02m+n-4=0，解得m，n【详解】解：∵m-又∵m-n-5≥0，(2m+n∴可有m-n-5=02m+n-4=0，解得m=3∴3m+n=3×【点睛】本题主要考查了非负数的性质、解二元一次方程组以及代数式求值，根据非负数的性质列出二元一次方程组是解题关键．3．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知代数式ax2+bx+c，当x=1和x=-3时，它的值都为5，当x(1)求a，b，c的值；(2)当x=-2时，求代数式ax【答案】(1)a=1，b=2，c=2(2)2【分析】（1）由题意知，a+b+c=5①（2）由（1）可知，ax2+bx+c=【详解】（1）解：由题意知，a+b+c=5①①+③得，2a+2c=6，即c=3-②-①得，8a-4b=0，即b=2a，将c=3-a，b=2a，代入③式得，a-2a+3-a=1，解得a=1，∴b=2，c=2，∴a=1，b=2，c=2；（2）解：由（1）可知，ax把x=-2，代入x2∴ax2+bx+c【点睛】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．题型三合并同类项5．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）若12xa-by4与-13x3A．a=2,b=-1 B．a=2,b=1C．a=-2,b=1 D．a=-2,b=-【答案】A【分析】由题意知，12xa-by4与-13x3【详解】解：由题意知a-解得a=2，b=-故选：A．【点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．23xyz与23xy是同类项 B．C．-0.5x3y2与2x2y【答案】D【分析】根据同类项的定义进行分析判断．【详解】解：A、23xyz与B、1x与2x是所含相同字母xC、-0.5x3y2与D、5m2n故选：D．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．巩固训练1．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）如果单项式-xyb的和仍然是一个单项式，则a+b的值为（

）A．1 B． C．-2 D．2【答案】A【分析】根据题意可知单项式-xyb+1与12x【详解】解：∵单项式-xyb+1∴单项式-xyb+1，b+1=3，解得：a=-1，b=2，∴a+b=故选：A．【点睛】此题主要考查了同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果13xa+1y2a+3与-3【答案】【分析】根据同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，求出a和b的值，再将a和b的值代入-a【详解】解：∵13xa+1∴a+1=22a+3=2b解得：a=1,b=3，∴-a故答案为：．【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项．3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）已知a是最大的负整数，2xb+1y3与-3x2yc-3是同类项，且a(1)求出a，b，c的值；(2)若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B恰好是AC的中点时，求运动时间t的值．【答案】(1)a=-1，b=1,c=6(2)3【分析】（1）根据最大的负整数是，即可得出a的值，根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，即可求出b和c的值；（2）当运动时间为t时，点A表示的数是-1-t，点B表示的数是1+2t，点C表示的数是6则AB=1+2t--1-t，BC=6-1+2t，根据点B是【详解】（1）解：∵最大的负整数是，，∵2xb+1y∴b+1=2,c∴b=1,c=6（2）解：当运动时间为t时，点A表示的数是-1-t，点B表示的数是1+2t，

点C表示的数是6，∴AB=1+2tBC=6-∵点B是AC的中点，∴AB=BC∴2+3t=5-解得t=3所以当点B恰好是AC的中点，t的值是35【点睛】本题主要考查了同类项的定义，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项；线段中点的定义；以及解一元一次方程的方法和步骤．题型四整式的加减7．（2023秋·七年级课时练习）ab减去a2-ab+A．a2+2ab+b2 B．-a2【答案】C【分析】根据合并同类项的法则及去括号法则直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，ab-故选：C；【点睛】本题考查合并同类项的法则及去括号法则，解题的关键是去括号时括号前是负号，去掉括号所有项都要变号．8．（2023秋·七年级课时练习）如果关于a,b的代数式的值与b无关，那么（

）A．a=0 B．b=0 C．m=0 D．m=6【答案】D【分析】利用关于a,b的代数式的值与b无关，即可得出同类项的系数和为0，进而得出b的值．【详解】∵关于a,b的代数式7a4-6∴，解得：m=6，故选D．【点睛】此题考查整式加减，根据题意得出m，n的方程是解题关键．巩固训练1．（2023秋·全国·七年级专题练习）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：解：原式①=-=-以上解题过程中，出现错误的步骤是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③【答案】C【分析】根据整式的加减计算中，去括号的法则即可求解．【详解】错误的步骤是③正确的解答过程如下：原式①=-=-故答案为：C【点睛】本题考查了整式的加减，在去括号的时候要注意符号的变化，合并同类项时，系数相加减．2．（2023秋·七年级课时练习）若式子2x2+2ax-y-2bx2【答案】1【分析】先将原代数式化简，再根据代数式的值与字母x的取值无关，可得式子2x2+2ax-y-2bx2-3x+2y-1的值与字母x的取值无关，2-2b=0，【详解】解：2=2=2∵式子2x2+2ax-y∴2-2b=0，2a+6=0，∴b=1，a=-∴a=a==．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，根据代数式的值与字母x的取值无关，得到2-2b=0，2a+6=0是解题的关键．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）小明在做一道数学题：“化简：ax2+6x+8(1)如果这个整式化简后是常数，求a的值；(2)若a=1，，求原式的值；(3)若x=1，原式的值为4，求a的值．【答案】(1)a=5(2)-(3)a=3【分析】（1）先对原式进行化简，根据化简后是常数可知关于x的项系数为0，据此求解即可；（2）将a=1，代入化简后的式子，计算即可；（3）将x=1，原式的值为4代入，可得关于a的方程，求解即可．【详解】（1）解：a=a=∵整式化简后是常数，∴，解得a=5．（2）解：当a=1，时，a===-（3）解：∵x=1，原式的值为4，∴a-解得a=3．【点睛】本题考查整式的加减以及代数式求值，掌握整式加减的运算法则是解题的关键．题型五同底数幂的乘法9．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知xm=2，xn=4，则A．2 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】根据幂的运算公式：am【详解】解：x=2×故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解题的关键．10．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）若，则n=（

）A．15 B．5 C．6 D．14【答案】C【分析】根据代数式右边的结果可以看出，其左边各项需要整理成以3为底的幂的形式，并进行合并进而求解．【详解】解：=3∴3∴n=6故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法等，是初中数学中最基本的运算．一定要在深刻理解的基础上多练习，牢记运算法则．巩固训练1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如果xn=y，那么我们规定x，y=n．例如：因为，所以3，9=2．记m，12=a，m，A．ab=c B．ab=c C．a+b=c【答案】C【分析】根据题意分别表示出关于a,b,c的等式，即可判断它们的关系。【详解】解：∵m，12=a，∴ma=12，m又∵12∴ma×故选：C【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键．2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）已知am=2，an=4【答案】8【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解．【详解】解：∵am=2，∴am+n故答案为：8．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算法则是解题的关键．3．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)a3(2)34(3)y2n+1⋅yn-1⋅(4)x-【答案】(1)-(2)(3)y(4)-【分析】（1）先确定符号，再根据同底数幂乘法法则进行计算；（2）根据同底数幂乘法法则进行计算；（3）根据同底数幂乘法法则进行计算；（4）先变形为同底数幂，再根据同底数幂乘法法则进行计算．【详解】（1）a==（2）3==（3）y==（4）x==【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．题型六幂的乘方与积的乘方11．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）若xm=5，xn=-2，则A．12 B．20 C．-20 D．-【答案】B【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【详解】解：当xm=5,x===5=20．故选：B．【点睛】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．12．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算的结果是（

）A．-4x4y5 B． C．【答案】D【分析】根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，积的乘方等于乘方的积，幂的乘方：底数不变，指数相乘．巩固训练1．（2023春·辽宁阜新·七年级校联考期中）若xm=5，，则x2m+n的值为（A．40 B．100 C．254 D．【答案】C【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．【详解】∵xm=5，∴x2m+n故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．2．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）计算-p2⋅-p3=；-【答案】-p5【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：-p-1-3故答案为：-p5；；1【点睛】本题考查同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂，熟练掌握同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方、负整指数幂的运算法则是解题的关键．3．（2023春·山东东营·六年级校考阶段练习）计算：(1)-(2)(x(3)((4)(【答案】(1)-(2)(3)-(4)8【分析】（1）按照同底数幂相乘法则计算即可；（2）按照同底数幂相乘法则计算即可；（3）先计算幂的乘方和积的乘方，再合并即可；（4）利用积的乘方的逆运算计算即可．【详解】（1）解：-a（2）解：(x-（3）解：(-=x2n=-x=-2（4）解：(=82008=88=88=88【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，准确进行计算．题型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）下列计算正确的是（

）A．3ab3-2abC．y+4y-3=y【答案】D【分析】根据整式乘除运算、多项式乘多项式法则即可求出答案．【详解】解：选项A，原式=-选项B，原式=m选项C，原式=y选项D，原式=x故选：D．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式乘除运算、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．14．（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知aa-2=8，则代数式a2A．8 B．14 C．-2 D．【答案】D【分析】先根据单项式乘以多项式法则可得aa【详解】解：∵a∴a∴a故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题关键．巩固训练1．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知x+mx-n=x2-4x-5A．1 B．-4 C．-5 D．【答案】B【分析】根据多项式乘以多项式，即可解答.【详解】解：x+mx∵x+mx∴x2∴m-故选：B.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式.2．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若的积中不含x项与项．则代数式的值为．【答案】12【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后根据题意可得1-2m=0，，从而可得m，n【详解】解：，的积中不含x项与项，∴1-2m=0∴m=12，=1=1∴代数式的值为12，故答案为：12【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．3．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）观察下列各式．a3aa+1(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．①x-②____________③2x+1(2)应用规律计算：a【答案】(1)①x3-27；②x-y；(2)a【分析】（1）根据给出的等式可知，三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；（2）将第一个因式分解因式，然后利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1）解：∵a+1ax-2a+34∴得到三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；∴①x-②x-③2x+14故答案为：①x3-27；②x-y；③（2）解：原式===．【点睛】本题考查了规律探索，多项式的乘法，因式分解，解题的关键是根据所给等式探究规律，得出规律，运用得到的规律解答．题型八平方差公式15．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A．2a+b2b-a B．C．3x-y-【答案】D【分析】根据平方差公式的特点逐项判断即可．【详解】解：A、2a+b2bB、12C、3x-D、2-故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，属于基本题型，熟知平方差公式的结构特点是解题的关键．16．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）化简2+122+1A．232-1 B．216+1 C．【答案】A【分析】添一个2-1，从而和2+1凑成平方差，然后再连续运用平方差公式进行计算即可．【详解】解：2+1======2故选：A．【点睛】本题考查了平方差的应用，添项是解决此类问题的关键．巩固训练1．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知-2x-yA． B．2x-y C．-2x+y D．-2x【答案】B【分析】根据平方差公式：，即可确定答案；【详解】，故选：B【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌据平方差公式是解题的关键2．（2023·全国·八年级专题练习）已知M=732+134【答案】0【分析】先变形为M=73-13+1【详解】M=73=7=…=7∵31=3，，33=27，34=81，…∴M的个位数字为0，故答案为：0．【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即a+ba3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）观察下列各式：a+1aa-3a-(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．①x-3②2x+1(；③()x(2)应用规律计算：a2【答案】(1)①x3-27；②4x2(2)a【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；（2）先将a2-b【详解】（1）①x-②2x+14③x-故答案为：①x3-27；②4x2（2）a=[=．【点睛】本题考查了平方差公式及整式的混合运算，能根据求出的算式得出规律是解此题的关键．题型九完全平方公式17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如果x-1x=3，那么A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】将所求式子变形为，再整体代入求值即可．【详解】解：原式=x=x=3=11．故选：D．【点睛】本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题关键．18．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（

）A．2a-4b-2a-4b B．a+4bC．a-4ba+4b D．【答案】B【分析】分别计算各选项后，即可得到答案．【详解】解：A．2a-B．a+4b-C．a-D．2a-故选：B．【点睛】此题考查了乘法公式和多项式的乘法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·八年级课时练习）若a+1a=5，则aA．23 B．8 C．-8 D．【答案】A【分析】根据完全平方公式得出a+1【详解】解：∵a+1∴a+1∴a2故选：A．【点睛】本题主要考查了了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式a±2．（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）我们把形如“”的式子称为完全平方式，若x2+axy+y2是一个完全平方式，，且a<b，则b【答案】4【分析】根据完全平方式的特点，以及负整数指数幂的法则，求出a,b的值，再代入计算即可．【详解】解：∵x2∴a=±∵，∴b=1∵a<b，∴a=-∴ba故答案为：4．【点睛】本题考查完全平方式和负整数指数幂．熟练掌握完全平方式的特点和负整数指数幂的法则，是解题的关键．3．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+【解决问题】（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b（2）已知x2+y【探究问题】（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使【答案】（1）22+52；（2）-1【分析】（1）根据“完美数”的定义，即可求解；（2）可化为x2-2x+1+y2（3）可化为S=x+22+2y-32+k-13，根据【详解】解：（1）根据题意得29=2故答案：22（2）由题意得x2即x-x-12=0，y+2∴x-1=0，y+2=0，解得：x=1，y=则x+y=1-（3）当k=13时，S为“完美数”，理由如下：S===x+2∵S为“完美数”，∴k解得：k=13，是正整数，y是大于1的正整数，∴x+2，2y-∴S是一个“完美数”【点睛】本题考查了新定义，配方法，理解新定义，掌握配方法是解题的关键．题型十乘法公式在几何背景下的应用19．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为2b的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（

）

A．3a+2b B．9a2-4b2 C【答案】B【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新长方形的长和宽表示出来，就可以计算面积．【详解】解：如下图所示，

可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形：该长方形的长为：3a+2b，宽为：3a-则长方形的面积为：3a+2b3a故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形周长的计算，单项式乘以单项式，题目较简单，解题的关键是能够用剩余部分图形拼出矩形．20．（2023春·浙江杭州·七年级统考期中）如图张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为．若S1=2S2

A．3:2 B．5:2 C．2:1 D．3:1【答案】C【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用S1=2S2，可得出【详解】如下图

则空白部分的面积S1=S6S7S5化简得：SS2∵S∴a化简得：a∴a=2b，即a:b=2:1，故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出S1和的面积．巩固训练1．（2023春·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③【答案】D【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．【详解】解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2，所拼成的是底为a+b，高为a-b的平行四边形，因此面积为所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2，所拼成的长方形的长为a+b，款为a-b，因此面积为因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；图③中阴影部分可以看作是边长为a-b的正方形，因此面积为a-b2，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，a故选：D．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为

【答案】10【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：a+b=6a-b2=2，根据完全平方和公式得到a2+【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：a+b=6a，∴2∴a∵H是AE的中点，∴AH=EH=∴S△AHD=∴S故答案为：10．

【点睛】本题考查完全平方公式的运用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键．3．（2023春·山东济南·七年级统考期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式a+b，a-(3)运用你所得到的公式计算：若m、n为实数，且mn=5，m-n=4，试求(4)如图3所示，两正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为α、b，且，ab=5，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)a-b；a(2)a+b(3)m+n=±6(4)10【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于a+b2、a-b2、（3）根据（2）中结论即可解题；（4）利用S阴影=S梯形ABGD【详解】（1）解：图中阴影部分边长为a-则阴影部分的面积为a-故答案为：a-b；a-（2）解：用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长=a-b的正方形，故面积=方法二：阴影部分面积=a+b∴(a+b)即a+b2故答案为：a+b2（3）解：由（2）得，m+n2∵mn=5，∴m+n2∴m+n=±6（4）解：S==1【点睛】本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积．题型十一提取公因式法21．（2023秋·全国·八年级课堂例题）把12a2bA．2 B．2ab C．2ab2c【答案】C【分析】找出各项的公因式即可．【详解】解：把12a2b故选：C．【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键．22．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知x-y=1，xy=2，则x2A．-12 B．-2 C．12【答案】D【分析】将所求代数式化为xyx【详解】解：∵x-y=1，xy=2，∴x=xy=2=2，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键．巩固训练1．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（

）A． B．2mm-n2 C． D【答案】C【分析】先提取公因式m-【详解】解：==-故选：C．【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把m-2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于x的二次三项式x2-mx+n可分解为x+2x-3，则3m【答案】9【分析】把x+2x-3展开，求出m、n【详解】解：∵x+2x2-∴m=1，n=-∴3m故答案为：9．【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．3．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：(1)-8(2)2a+12(3)3x【答案】(1)-(2)2(3)3x【分析】（1）直接提取公因式-2（2）直接提取公因式2a+1进行分解因式即可；（3）直接提取公因式3xx【详解】（1））解：原式=-（2）解：原式===22a+1（3）解：原式=3=3xx【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知提公因式法分解因式是解题的关键．题型十二公式法23．（2023秋·八年级课时练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（

）A．x2-2x-1=(x-1)C．x2-4x+4=(x-2)【答案】C【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可：把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解．【详解】解：A、x2B、a+baC、x2D、a2故选C．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义和公式法分解因式，熟知因式分解的定义和方法是解题的额关键．24．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若M5x-y2A．-5x-y2 B．-y2+5x C．5x+【答案】A【分析】对式子进行因式分解，即可求解．【详解】解：∵M5x∴M=-故选：A．【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．巩固训练1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（

）A．x2+yC．x2+4xy-4y【答案】D【分析】根据完全平方公式因式分解，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.x2+B.x2C.x2-D.x+1x+2故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）已知a+b=3，ab=2，则代数式的值为【答案】18【分析】先因式分解再代入数据解题即可．【详解】解：=ab，当a+b=3，ab=2故答案为：18．【点睛】本题主要考查整式的因式分解，能够熟练运用提公因式以及完全平方公式是解题关键．3．（2023春·湖南岳阳·七年级校考期中）阅读材料：因式分解：．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2．再将“上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：(1)因式分解：1+6(x(2)因式分解：a(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．【答案】(1)1+3x(2)a(3)见解析【分析】（1）用换元法设x-y=A，将原式化为1+6A+9A2，再利用完全平方公式得出1+3A2，再将（2）设a2-4a=B，则原式=B+42（3）先计算n+1n+2【详解】（1）解：令x-1+6(x-y)+9(x-y=1+3A将“A”还原，可以得到：原式=1+3x（2）解：令a2则a===B+4将“B”还原，可以得到：原式==a（3）解：n+1===n∵n为正整数，∴n2∴n+1n+2即代数式n+1n+2【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．题型十三十字相乘法25．（2023春·河北保定·八年级校考期末）若多项式x2-ax+12可分解为x-3x+b，则a+bA． B．-3 C．3 D．11【答案】C【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：-a=-3+b，12=-3b，据此可得a=7，b=-【详解】解：∵多项式x2-ax+12可分解为∴-a=-3+b，12=-∴a=7，b=-∴a+b=7故选：C．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键26．（2023春·广西贵港·七年级统考期中）下列各组式子中，因式分解正确的是（

）A．x2-7x+10=x-2C．10x2-5x【答案】A【分析】根据十字相乘法，完全平方公式，提公因式法因式分解，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.x2-B.4mC.10x2D.x2故选：A．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．巩固训练1．（2023·上海·七年级假期作业）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x【答案】D【分析】首先把每个选项中的多项式进行因式分解，再根据结果即可判定．【详解】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此