9.12 完全平方公式 同步练习

9.12完全平方公式【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．±32．（2021·上海·七年级期中）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（

）A．(-a+b)(a-b) B．-(-a+b)(b-a) C．(a+b)(-a+b) D．(a-b)(a+b)二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）计算：(a−1)4．（2022·上海·七年级期末）（2x-1）2=______．5．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：20221126．（2022·上海·七年级期末）若a–b=3，b–c=2，那么a2b2c2abacbc=__________．7．（2021·上海·七年级期中）计算：(2+1)(28．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）已知代数式x2+nx+4是一个完全平方式，则n的值为_____．9．（2021·上海·七年级期中）已知a<2，如果一个正方形的面积是(a2−4a+4)c三、解答题10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）（3a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）．11．（2022·上海浦东新·七年级期末）计算：(3x−2y−1)(3x+2y−1)．12．（2022·上海·七年级期末）计算：aa+413．（2021·上海浦东新·七年级期中）计算：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．14．（2021·上海金山·七年级期中）计算：x−215．（2021·上海金山·七年级期中）计算：x+y−2z16．（2021·上海·七年级期中）计算：a+2b−317．（2021·上海·七年级期中）计算：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）18．（2021·上海·七年级期中）计算：（a+b）（a-b）-（a-2b）219．（2021·上海·七年级期中）计算：(x-2y+3z)(x-2y-3z)20．（2021·上海·七年级期中）计算:−21．（2021·上海·七年级期中）a−2b+c22．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）已知x+y＝5，xy＝4．(1)求x2+y2的值；(2)求（x﹣y）的值．23．（2021·上海·七年级期中）已知：x−22+5−x2=【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）将多项式x2+1加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（A．−x B．−x2 C．2x 2．（2022·上海·七年级期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B．1+4x2 C．a2+ab+3．（2022·上海·七年级期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·上海·七年级期末）已知：那么x2+5．（2022·上海·七年级期末）已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为_________6．（2022·上海·七年级期中）把4x2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式__________．三、解答题7．（2021·上海黄浦·七年级期末）计算：(x−1)2+（3+x）（3﹣x）﹣（x﹣2）（8．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：(x+3y)(x−2y)−(2x+y)9．（2020·上海闵行·七年级期中）已知化简x2+px+8x2−3x+q(1)求，q的值；(2)若x−qx+2x−px+410．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．11．（2021·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]，其中x＝﹣1212．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为a的正方形的边长增加b，得到一个边长为(a+b)的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证(a+b)2=a2+2ab+b2的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为(a+b)的正方形的面积.方式1：S=(a+b)2方式2：S=S1+S2+S3+S4=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2因此，(a+b)2=a2+2ab+b2(1)请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证(a+b)2=a2+2ab+b2；(2)如图3，在边长为a的正方形纸片上剪掉边长为b的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证a2-b2=(a+b)(a-b).13．（2021·上海·七年级期中）已知x+1x=3，求和14．（2021·上海市西延安中学七年级期中）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b），其中a＝﹣2，b＝﹣1．15．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）先化简，再求值：(x﹣2y)2﹣x(x﹣4y)，其中，x＝1，y＝﹣1．16．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为，点G在边BC上，点E在边AB的延长线上，DE交边BC于点H．连接FH、DF．（1）用a，b表示△DHF（2）如果点M是线段AE的中点，联结MC、MF、CF，①用a，b表示△MCF②比较△MFC的面积和△17．（2022·上海·七年级期末）计算：x−y−3x+y−318．（2022·上海·七年级期末）若x满足(9−x)(x−4)=4，求(4−x)2+(x−9)2的值.设9−x=a，x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(5−x)(x−2)=2，求(5−x)2+(x−2)2的值(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积.19．（2022·上海·七年级期末）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1=，S2=（2）若a+b=10，ab=26，求2S（3）若S1=12，，S3=1820．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为.21．（2022·上海·七年级专题练习）阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于-1，记为i2=−1，这个叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi(a、b为实数)，a叫做这个复数的实部，b例如计算:2+i(1)填空:i3(2)计算:①(2+i2−i；②2+i(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题:已知:x+y+3i=1−x−yi(为实数)，求22．（2022·上海·七年级期末）计算：(2x−3y)23．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b=3,ab=1，求a2+解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+(1)若x+y=8,x2+(2)填空：①若(4−x)x=5，则(4−x)2+②若(4−x)(5−x)=8，则(4−x)2+(5−x(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S124．（2022·上海·七年级期中）如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积方法1：；方法2：．(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝．(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．25．（2022·上海·七年级期末）填空：已知多项式x2

9.12完全平方公式（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海奉贤·七年级期末）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．±3【答案】C【分析】根据完全平方公式的结构进行求解即可．k为首位两数乘积的2倍．【详解】∵x2+kx+9＝x2+kx+32，x2+kx+9是完全平方式，∴kx＝±2⋅解得k＝±6．故选：C．【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．2．（2021·上海·七年级期中）下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（

）A．(-a+b)(a-b) B．-(-a+b)(b-a) C．(a+b)(-a+b) D．(a-b)(a+b)【答案】A【分析】根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，得出能用完全平方公式计算必须两式相等，分别观察得出即可．【详解】A．(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，可以利用完全平方公式计算，故此选项正确；B．-(-a+b)(b-a)=(a-b)(-a+b)，不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；C．(a+b)(-a+b)=(b+a)(b-a)，不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；D．(a-b)(a+b)，不可以利用完全平方公式计算，故此选项错误；故选A．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式.二、填空题3．（2022·上海·七年级期末）计算：(a−1)【答案】a【分析】根据积的乘方的逆运算与平方差公式先将算式变形为a2【详解】(a−1故答案为：a【点睛】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，根据积的乘方的逆运算对算式进行变形是关键．4．（2022·上海·七年级期末）（2x-1）2=______．【答案】4x2-4x+1【分析】利用完全平方公式进行整式计算即可．【详解】利用完全平方公式进行计算：（2x-1）2=4x2-4x+1【点睛】本题主要考查了完全平方公式．5．（2022·上海宝山·七年级期末）计算：2022112【答案】1【分析】将20221112+202211【详解】解：2022112=202211=202211=202211=202211=202211=1故答案是：12【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是掌握完全平方公式的运用．6．（2022·上海·七年级期末）若a–b=3，b–c=2，那么a2b2c2abacbc=__________．【答案】19【分析】根据题意，先把a–b和b–c相加，得到a–c的值，然后通过完全平方公式变形，即可得到答案.【详解】解：∵a–b=3，b–c=2，∴a–c=5，则原式=2=(=(a−b=3=9+25+4=19；故答案为19.【点睛】此题考查了对完全平方公式以及整体代入的掌握情况，有一定的综合性，但难度不大．7．（2021·上海·七年级期中）计算：(2+1)(2【答案】216﹣1【分析】观察式子，显然可用平方差公式简便计算，但要在（2+1）的前面拼凑因数（2﹣1），而2﹣1=1，不影响算式的结果．【详解】原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1．故答案为216﹣1．【点睛】通过观察式子的特点，注意凑成平方差公式可简便计算．8．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）已知代数式x2+nx+4是一个完全平方式，则n的值为_____．【答案】±4【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：x2+nx+4=∴n=±4故答案为：±4．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构形式是解决本题的关键．9．（2021·上海·七年级期中）已知a<2，如果一个正方形的面积是(a2−4a+4)c【答案】8-4a【分析】先利用完全平方公式对(a【详解】解：∵a2−4a＋4=（a−2）2

，又∵a<2，∴正方形的边长为（2−a）cm，∴正方形的周长为:4（2−a）=（8-4a）cm，故答案为：8-4a．【点睛】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面积和周长的计算问题，掌握公式法分解因式是解题的关键．三、解答题10．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）（3a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）．【答案】10【分析】先运用完全平方公式和平方差公式展开再合并同类项计算即可；【详解】解：（3a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）=9a=10【点睛】本题主要考察完全平方公式和平方差公式在整式乘法中的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．11．（2022·上海浦东新·七年级期末）计算：(3x−2y−1)(3x+2y−1)．【答案】9x【分析】先计算平方差公式（(a+b)(a−b)=a2−【详解】解：原式==(3x−1=9x【点睛】本题考查了利用乘法公式进行运算，熟记公式是解题关键．12．（2022·上海·七年级期末）计算：aa+4【答案】−4【分析】利用乘法公式和整式的运算法则进行计算．【详解】解：原式=a【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．13．（2021·上海浦东新·七年级期中）计算：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．【答案】4ab【分析】根据整式的乘法公式及运算法则化简，合并即可求解．【详解】（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab．【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知其运算法则及运算公式．14．（2021·上海金山·七年级期中）计算：x−2【答案】x4-8x2+16【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可．【详解】解：原式=（x2-4）（x2-4）=（x2-4）2=x4-8x2+16．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式．掌握乘法的平方差公式和完全平方公式的特点，熟练运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键．15．（2021·上海金山·七年级期中）计算：x+y−2z【答案】x2-y2-4z2+4yz【分析】根据平方差公式、完全平方公式解决此题．【详解】解：（x+y-2z）（x-y+2z）=[x+（y-2z）][x-（y-2z）]=x2-（y-2z）2=x2-（y2+4z2-4yz）=x2-y2-4z2+4yz．【点睛】本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键．16．（2021·上海·七年级期中）计算：a+2b−3【答案】a【分析】把2b−3看作一个整体，利用平方差公式计算，然后再利用完全平方公式展开即可；【详解】解：a+2b−3==a=【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用和运算符号的处理．17．（2021·上海·七年级期中）计算：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）【答案】﹣4x+13．【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．【详解】解：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣9）＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．【点睛】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．18．（2021·上海·七年级期中）计算：（a+b）（a-b）-（a-2b）2【答案】4ab-5b2.【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答．【详解】解：原式=a2-b2-（a2-4ab+4b2）=a2-b2-a2+4ab-4b2=4ab-5b2．故答案为4ab-5b2．【点睛】考查了平方差公式和完全平方公式，属于基础题，熟记公式即可．19．（2021·上海·七年级期中）计算：(x-2y+3z)(x-2y-3z)【答案】x2-4xy+4y2-9z2【分析】先利用平方差计算，再利用完全平方公式计算可得；【详解】原式=（x-2y）2-（3z）2=x2-4xy+4y2-9z2【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，解题的关键是将各式化为能用平方差公式、完全平方公式进行运算．20．（2021·上海·七年级期中）计算:−【答案】x【分析】先利用完全平方公式和平方差公式将括号展开，再合并同类项即可得出答案.【详解】解：原式=x=x=x【点睛】本题考查的是整式的混合运算，需要熟练掌握整式的混合运算法则.21．（2021·上海·七年级期中）a−2b+c【答案】a【分析】原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．【详解】解：原式=a−2b2=a2=a2【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．22．（2021·上海市民办新黄浦实验学校七年级期中）已知x+y＝5，xy＝4．(1)求x2+y2的值；(2)求（x﹣y）的值．【答案】(1)17(2)±1【分析】（1）根据完全平方公式解决此题．（2）根据完全平方公式解决此题．(1)解：∵(x+yx2+(2)解：∵(x−y∴，13(x−y)=±1【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键．23．（2021·上海·七年级期中）已知：x−22+5−x2=【答案】周长=6，面积=【分析】根据矩形的周长公式求出周长，利用完全平方公式的变形公式求出矩形的面积【详解】解：长方形的周长=2x−2+5−x∵x−2∴2x−25−x=∴长方形的面积=x−2【点睛】本题考查矩形的性质，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的变形式求矩形的面积是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）将多项式x2+1加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（A．−x B．−x2 C．2x 【答案】A【分析】根据完全平方公式进行解答即可．【详解】解：分四种情况：（1）添加中间项，故可添加2x或-2x，构成完全平方式；（2）添加左边项（视为中间项），则可添加；（3）添加右边项（视1为中间项），则可添加，但不是单项式，故不符合题意；（4）考虑到与1都是平方式，故可添加−x2或-1；综上所述可以添加的单项式有2x或-2x或或−x故选：A．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．2．（2022·上海·七年级期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B．1+4x2 C．a2+ab+【答案】A【分析】根据完全平方公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、x2B、应为1+4C、应为a2D、应为x2故选：A．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构是解题的关键．3．（2022·上海·七年级期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】解：矩形的面积为：（a＋4）2－（a＋1）2＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1）＝a2＋8a＋16－a2－2a－1＝6a＋15.故选：D．二、填空题4．（2022·上海·七年级期末）已知：那么x2+【答案】38【分析】根据题意，把两边同时平方，然后移项即可得到答案.【详解】解：根据题意，由，∴(x−1∴x2故答案为38.【点睛】本题考查了完全平方变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式的运用.5．（2022·上海·七年级期末）已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为_________【答案】±20【详解】m=±2×5×2=±20.6．（2022·上海·七年级期中）把4x2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式__________．【答案】-1，4x，-4x，【详解】试题分析：这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故；如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是，所以；如果该式只有项或1，它也是完全平方式，所以．∵；；；．∴加上的单项式可以是-1，4x，-4x，中任意一个．考点：完全平方式点评：本题比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意．三、解答题7．（2021·上海黄浦·七年级期末）计算：(x−1)2+（3+x）（3﹣x）﹣（x﹣2）（【答案】﹣﹣3x+16【分析】先算乘方，再算乘法，合并解答即可．【详解】解：（x﹣1）2+（3+x）（3﹣x）﹣（x﹣2）（x+3）＝﹣2x+1+9﹣﹣（+x﹣6）＝﹣2x+1+9﹣﹣﹣x+6＝﹣﹣3x+16．【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，熟练掌握公式是解题的关键．8．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：(x+3y)(x−2y)−(2x+y)【答案】−3【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式进行求解即可．【详解】解：原式==x=−3x【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．9．（2020·上海闵行·七年级期中）已知化简x2+px+8x2−3x+q(1)求，q的值；(2)若x−qx+2x−px+4【答案】(1)p=3,q=1(2)25【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和x3项可得p−3=0,q−3p+8=0，即可求解；（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中x2(1)解：x=x=x∵化简x2+px+8x2−3x+q∴p−3=0,q−3p+8=0，解得：p=3,q=1；(2)解：x−q=x−1=x−1=x=x∵x−qx+2∴x2∴24+a=49，解得：a=25．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．10．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．【答案】(1)(a+b)2(2)(3)①ab=3；②-2【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；（2）由（1）直接可得关系式；（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．(1)方法一：∵大正方形的边长为（a+b），∴S=（a+b）2；方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；(2)由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；(3)①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，由①-②得，-4ab=-12，解得：ab=3；②设2021-a=x，a-2020=y，∴x+y=1，∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，解得：xy=-2，∴（2021-a）（a-2020）=-2．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．11．（2021·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]，其中x＝﹣12【答案】﹣14x﹣5，2【分析】先根据平方差公式，多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，去括号，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]＝4x2﹣（9x2﹣1﹣x2+5x﹣3x+15﹣4x2+12x﹣9）＝4x2﹣（4x2+14x+5）＝4x2﹣4x2﹣14x﹣5＝﹣14x﹣5，当x＝﹣12时，原式＝﹣14×（﹣12）﹣5＝7﹣5＝【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．12．（2022·上海·七年级期末）如图，将边长为a的正方形的边长增加b，得到一个边长为(a+b)的正方形.在图1的基础上，某同学设计了一个解释验证(a+b)2=a2+2ab+b2的方案（详见方案1）方案1.如图2，用两种不同的方式表示边长为(a+b)的正方形的面积.方式1：S=(a+b)2方式2：S=S1+S2+S3+S4=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2因此，(a+b)2=a2+2ab+b2(1)请模仿方案1，在图1的基础上再设计一种方案，用以解释验证(a+b)2=a2+2ab+b2；(2)如图3，在边长为a的正方形纸片上剪掉边长为b的正方形，请在此基础上再设计一个方案用以解释验证a2-b2=(a+b)(a-b).【答案】(1)见详解(2)a2-b2=(a+b)(a-b)【分析】（1）先根据大正方形的边长求出面积，再根据部分面积之和等于整体面积计算大正方形的面积，根据面积相等，列出等式.（2）图3剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，剩余部分的面积根据矩形面积公式即可得出，根据它们的面积相等可得等式．(1)解：如图所示：S=S即a+b2(2)如图所示：用两种不同的方式表示在边长为的正方形纸片上剪掉边长为的正方形后剩余的面积.方式1：S=a方式2：因此，a【点睛】本题是一道利用面积验证完全平方公式以及平方差公式的题目，需要掌握图形面积的表示方法.13．（2021·上海·七年级期中）已知x+1x=3，求和【答案】5；47．【分析】把已知条件x+1x=3两边平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到x2+【详解】x−1∵，∴x2+2+1∴x4【点睛】本题考查了完全平方公式，利用x和1x互为倒数乘积是1是解题的关键，完全平方公式：a±b14．（2021·上海市西延安中学七年级期中）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b），其中a＝﹣2，b＝﹣1．【答案】5【分析】首先根据整式的乘法运算法则计算，然后合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b）=a将a＝﹣2，b＝﹣1代入得，−2×−2×【点睛】此题考查了整式的混合运算和代数求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．15．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）先化简，再求值：(x﹣2y)2﹣x(x﹣4y)，其中，x＝1，y＝﹣1．【答案】4y2，4【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则展开，合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可．【详解】原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+4xy＝4y2，当x＝1，y＝1时，原式＝4×1＝4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，解题的关键是掌握完全平方公式、单项式与多项式相乘的法则，并能准确计算．16．（2022·上海·七年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为，点G在边BC上，点E在边AB的延长线上，DE交边BC于点H．连接FH、DF．（1）用a，b表示△DHF（2）如果点M是线段AE的中点，联结MC、MF、CF，①用a，b表示△MCF②比较△MFC的面积和△DHF【答案】（1）12ab；（2）①14a【分析】（1）延长DC和EF交于点N，根据图可知S△DHF=S△DEF−（2）①同理延长DC和EF交于点N，根据图可知S△MCF=S梯形MENC−S△CFN②用S△MCF−S△DHF即可得到完全平方式，即可知S△MCF【详解】（1）延长DC和EF交于点N，如图，∴S△∵S△DEF=1∴S△（2）①如图，同样延长DC和EF交于点N．∴S△根据题意可知NF=a-b．∵M为AE中点，AE=a+b，∴ME=a+b∴S△即S△整理得：S△②S△MCF−S∵(1∴S△MCF−S故△MCF的面积大于△DHF．【点睛】本题考查正方形的性质，整式的混合运算以及完全平方式的运用．作出辅助线是解决本题的关键．17．（2022·上海·七年级期末）计算：x−y−3x+y−3【答案】【分析】先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可得．【详解】解：原式=x−3−y=x−3=【点睛】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键．18．（2022·上海·七年级期末）若x满足(9−x)(x−4)=4，求(4−x)2+(x−9)2的值.设9−x=a，x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足(5−x)(x−2)=2，求(5−x)2+(x−2)2的值(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积.【答案】(1)5；(2)28【分析】(1)设5－x=a，x－2=b，请仿照上面的方法求解即可；(2)根据正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：(1)设5－x=a，x－2=b，则(5－x)(x－2)=ab=2，a+b=(5－x)+(x－2)=3，∴(5－x)2+(x－2)2=(a+b)2－2ab=32－2×2=5；(2)∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，∴MF=DE=x－1，DF=x－3，∴(x－1)(x－3)=48，阴影部分的面积=FM2－DF2=(x－1)2－(x－3)2．设x－1=a，x－3=b，则(x－1)(x－3)=ab=48，a－b=(x－1)－(x－3)=2，∴a+b=14，∴(x－1)2－(x－3)2=a2－b2=(a+b)(a-b)=14×2=28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，解题关键是熟练运用完全平方公式进行计算．19．（2022·上海·七年级期末）如图，有一个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，（1）用含有a、b的代数式分别表示阴影面积：S1=，S2=（2）若a+b=10，ab=26，求2S（3）若S1=12，，S3=18【答案】（1）a2-4ab+4b2；a2-2ab+b2；2b2-ab；（2）-34；（3）38【分析】（1）用含a和b的代数式表示出两个小正方形的边长，然后根据面积公式可得S1，S2的面积；用大正方形的面积减去左侧长方形的面积和两个正方形的面积可得S3的面积；（2）把S1和S3代入2S1−3（3）由S1=12，，S3=18，可求出a2【详解】（1）∵图①中间小正方形的边长是2b-a，∴S1=(2b-a)2=a2-4ab+4b2；∵图①左上角正方形的边长a-b，∴S2=(a-b)2=a2-2ab+b2；S3=2b2-ab；（2）∵a+b=10，ab=6，∴2S1−3S3=2(a2=2a2+2b2-5ab=2(a+b)2-9ab=200-234=-34；（3）∵S1=12，，S∴a2∴a2=76，b2=34，ab=50，S阴影=a2+b2-12b(a+b)-12a2+=12a=38.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算，恰当进行代数式变形是解答本题的关键．．20．（2022·上海·七年级期末）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形.（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为平方厘米；①从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为厘米；②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为.【答案】（1）；①；②2块C类；（2）.【分析】（1）利用正方形的面积公式即可求解；①把（1）求得的总面积减去a2，然后利用完全平方公式因式分解，即可得到大正方形的边长；②把（1）求得的总面积减去2，利用完全平方公式因式分解，可得正方形的边长，故需拿掉2块C类型的纸板；（2）先求出这28块纸板的总面积，再把它配方，再得到需要拿掉的纸板与大正方形的面积.【详解】（1）A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为2a①∵2a2+4a+4−a2∴这个大正方形的边长为厘米；②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，理由如下:2a2+4a+4-2=2（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板的面积为(12a∵紧密地排出三个相同形状的大正方形，∴12a2故需拿掉1块C类型纸板，此时三个大正方形的边长为(2a+1)cm.【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用.21．（2022·上海·七年级专题练习）阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于-1，记为i2=−1，这个叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi(a、b为实数)，a叫做这个复数的实部，b例如计算:2+i(1)填空:i3(2)计算:①(2+i2−i；②2+i(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题:已知:x+y+3i=1−x−yi(为实数)，求【答案】（1）-i，1；（2）①5，②3+4i；（3）x=2，y=-3.【分析】（1）根据i2=-1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算；（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值.【详解】解：（1）∵i2=-1，∴i3=i2•i=-1•i=-i，i4=i2•i2=-1•（-1）=1，（2）①（2+i）（2-i）=-i2+4=