高考总复习理数（北师大版）第5章第4节数系的扩充和复数的引入

第四节数系的扩充和复数的引入考点高考试题考查内容核心素养复数2017·全国卷Ⅰ·T3·5分复数的运算及命题真假判断数学运算逻辑推理2016·全国卷Ⅰ·T2·5分利用复数相等条件求参数及复数模数学运算2015·全国卷Ⅰ·T1·5分复数的四则运算及求复数的模数学运算命题分析高考对本节的考查主要围绕复数的基本概念，复数的几何意义及复数的四则运算法则展开，属容易题，分值5分.(对应学生用书P70)1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中实部是__a__，虚部是__b__.(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b__＝__0，,虚数b__≠__0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a__＝__0，b__≠__0，,非纯虚数a≠0，b≠0.))))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或__|a＋bi|__，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bieq\o(→,\s\up7(一一对应),\s\do5())复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up7(一一对应),\s\do5())__平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))__.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝__eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i__(c＋di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__.提醒：1．辨明三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内成立．2．复数的运算技巧(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．A B．BC．C D．D解析：选B共轭复数对应的点关于实轴对称．3．设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为()A．1 B．－1C．±1 D．0解析：选A由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1＝0，,m＋1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝±1,m≠－1.))所以m＝1.故选A.4．(1＋i)(2＋i)＝()A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i解析：选B(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B.5．复数i(1＋i)的实部为____________.解析：i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.答案：－1(对应学生用书P71)复数的概念[明技法]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．[提能力]【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)解析：选CA项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3解析：选A∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，[刷好题]1．设i是虚数单位，若复数z＝a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：选D∵z＝a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.2．(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是____________.解析：因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.答案：5复数的几何意义与复数的模[析考情]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z，复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[提能力]【典例】(1)(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.(2)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：选C方法一由(1＋i)z＝2i得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故选C.方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故选C.[刷好题]1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．(2018·河北联考)若复数z＝eq\f(a＋3i,i)＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A．－4 B．－3C．1 D．2解析：选A若z＝eq\f(a＋3i,i)＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋a＜0,－a＞0))，则a＜－3.复数的代数运算[明技法]复数代数形式运算问题的解题策略[提能力]【典例】(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则eq\f(\o(z,\s\up3(－)),|z|)＝()A．1 B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i解析：选Dz＝4＋3i，|z|＝5，eq\f(\o(z,\s\up3(－)),|z|)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.(2)若a为实数，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，则a＝()A．－4 B．－3C．3 D．4解析：选D由eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D.[刷好题]1．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\