高考文科数学人教B版讲义第一章集合与常用逻辑用语13

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式最新考纲考情考向分析1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．充分条件、必要条件与充要条件(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(3)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(4)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题答案A3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2 B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析x＞y⇏x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x＞|y|时，能有x＞y.∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，∴a≤2.题型一命题及其关系1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福答案D2．原命题为“△ABC中，若cosA<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．真，假，假答案B解析若cosA<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cosA>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.3．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分必要条件的判定典例(1)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cosx＋m－1有零点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析方法一若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，∴cosx＝1－m有解．要使函数f(x)＝cosx＋m－1有零点，只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.方法二函数f(x)＝cosx＋m－1有零点，则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}．∴“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cosx＋m－1”有零点的充分不必要条件．(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练(1)(2018届莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件答案D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．(2)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若“(a－b)a2＜0”，则“a＜b”，是真命题；而若“a＜b”，则“(a－b)a2＜0”当a＝0时不成立，是假命题．故选A.题型三充分必要条件的应用典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练(1)(2017·山西五校联考)已知p：(x－m)2＞3(x－m)是q：x2＋3x－4＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3}，q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1}，由p是q的必要不充分条件可知，BA，∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.(2)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．解析∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．又由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，NM，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m＜－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m≤－2，,1＋m＞10，))解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案[9，＋∞)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案B2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B4．(2018·河南八市联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞bD．若a＞b，则a＋c≤b＋c答案A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.5．(2017·广东名校模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.6．(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a为奇函数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析显然当a＝0时，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)为奇函数．当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝0，因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.8．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”答案C解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－eq\f(1,4)，不能推出m＞0，所以不是真命题．9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，故p是q的充分不必要条件．11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．答案(0,3)解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．∵p是q的充分不必要条件，∴MN，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a＋1＜4，))解得0＜a＜3.12．有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．13．(2017·邵阳二模)“m>1”是“函数f(x)＝3x＋m－3eq\r(3)在区间[1，＋∞)上无零点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析函数f(x)＝3x＋m－3eq\r(3)在区间[1，＋∞)上无零点，则31＋m>3eq\r(3)，即m＋1>eq\f(3,2)，解得m>eq\f(1,2)，14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析方法一命题p为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．綈p对应的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2)))))，綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1