高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（五）

阶段滚动检测(五)120分钟150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·武汉模拟)过点(1,0)且与直线x+2y2=0垂直的直线方程为()A.x2y1=0 B.x2y+1=0C.2xy2=0 D.2x+y1=0【解析】选C.由直线x+2y2=0可得其斜率为12,则与其垂直的直线斜率为故过点(1,0)且与直线x+2y2=0垂直的直线方程为y=2(x1),即:2xy2=0.2.(2024·湛江模拟)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬,置水盆于下,则见四邻矣.”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例,体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系xOy中,一条光线从点(2,0)射出,经y轴反射后的光线所在的直线与圆x2+y22x2y=0相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.1 B.1或1C.1 D.2【解析】选C.易知(2,0)关于y轴的对称点为(2,0),由平面镜反射原理,反射光线所在的直线过(2,0)且与该圆相切,将圆x2+y22x2y=0化简后可得(x1)2+(y1)2=2,所以圆心为(1,1),易知(2,0)在该圆上,所以(2,0)即为切点,因此圆心与切点连线与反射光线垂直,设反射光线所在直线的斜率为k,即0-12-1×k=3.(2024·盐城模拟)已知圆O1:x2+y22x3=0和圆O2:x2+y22y1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为()A.22 B.25 C.4 D.2【解析】选A.由题意知圆O1:x2+y22x3=0,即圆O1:(x1)2+y2=4,圆心为O1(1,0),半径r1=2,圆O2:x2+y22y1=0,即圆O2:x2+(y1)2=2,圆心为O2(0,1),半径r2=2,则r1r2<|O1O2|=12+12=2<r1+r将圆O1:x2+y22x3=0和圆O2:x2+y22y1=0的方程相减,可得直线AB的方程为xy+1=0,则O1(1,0)到直线xy+1=0的距离为|2|2故弦AB的长为2r12-(4.过双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P,△OAP的面积为34(O为()A.32 B.3 C.12 D【解析】选A.双曲线的右顶点为A(a,0),双曲线的渐近线方程为y=±bax,由对称性,不妨令过A的直线与y=bax平行,则该直线方程为y=ba(由y=解得x=即P(a2,b2则S△OAP=12|OA|·|yP|=14ab=又e=ca=2,a2+b2=c2,解得a=1,b=3所以点A(1,0)到渐近线y=±3x的距离为d=312+5.(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,其中一条渐近线与圆(x2)2+(y3)2=1交于A,B两点,则A.15 B.55 C.255 【解析】选D.由e=5,得c2a2=a2+b所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|2×2-3|22+1=55,6.已知直线l1:4x3y+6=0和直线l2:x=2,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和l2距离之和的最小值是()A.355+1 B.2 C.165 【解析】选D.由题可知x=1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),所以动点P到l2的距离等于P到x=1的距离加1,即动点P到l2的距离等于|PF|+1.所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x3y+6=0的距离加1,即其最小值是|4-7.(2024·重庆模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,点P为椭圆上不在坐标轴上的一点,点M,N满足=,2=+,若四边形MONP的周长等于4b,则椭圆C的离心率e=(A.12 B.22 C.32 【解析】选C.因为=,所以点M为线段PF1的中点,因为2=+,所以=,即=,所以点N为线段PF2的中点,又因为点O为线段F1F2的中点,所以OM∥PF2且|OM|=12|PF2|,ON∥PF1且|ON|=12|PF所以四边形MONP的周长为|PF1|+|PF2|,又因为点P为椭圆上不在坐标轴上的一点,所以|PF1|+|PF2|=2a,所以2a=4b,即ba=1故椭圆C的离心率e=ca=1-b8.(2024·贵阳模拟)我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”,称离心率为5+12的双曲线为“黄金双曲线A.正△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则以B,C为焦点,且过D,E的椭圆是“黄金椭圆”B.已知ABCDEF为正六边形,则以A,D为焦点,且过B,C,E,F的双曲线是“黄金双曲线”C.“黄金椭圆”上存在一点,该点与两焦点的连线互相垂直D.“黄金双曲线”的实半轴长,一个焦点到一条渐近线的距离,半焦距能构成等比数列【解析】选D.对于A,以BC的中点为原点,建立直角坐标系如图所示,设△ABC的边长为2,以B,C为焦点,且过D,E的椭圆方程设为x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以|CD|=3,椭圆的离心率为2c2a=|对于B,以AD的中点为原点,建立直角坐标系如图所示,设正六边形ABCDEF的边长为2,|AD|=4,|FD|=23,以A,D为焦点,且过B,C,E,F的双曲线方程设为x2a2y2b2=1(a>0,b>0),离心率为2c2a=|对于C,设“黄金椭圆”的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆上的点P(x0,y0),F2(c,0),由x02a2+y02b2=1,可得y02=b2(1x02a2),=(cx0又因为“黄金椭圆”的离心率ca=5所以(ca)2=(5-12)2=3-52,c2=3-52a2,·=(cx0)(cx0)+y02=x02+y02c2=b2(1x02a2)+x所以“黄金椭圆”上不存在一点,与两焦点的连线互相垂直.故C错误.对于D,设“黄金双曲线”的方程为x2a2y2b2=1(a>0,b>0),实半轴长为a,一个焦点到一条渐近线的距离为b,半焦距为c,因为离心率ca=5+12,b2ac=c2a2ac=(5+1所以b2=ac,a,b,c成等比数列.故D正确.【加练备选】(2024·武汉模拟)已知a,b∈R,ab<0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(st),f(s),f(s+t)依次成等比数列,则平面Oxy上的点(s,t)的轨迹是()A.直线和焦点在x轴的椭圆B.直线和焦点在y轴的椭圆C.直线和焦点在x轴的双曲线D.直线和焦点在y轴的双曲线【解析】选D.由题意可知,f(st)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(st)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,对其整理变形:(as2+at2+b2ast)(as2+at2+b+2ast)=(as2+b)2,(as2+at2+b)2(2ast)2(as2+b)2=0,(2as2+at2+2b)at24a2s2t2=0,at2(2as2+at2+2b)=0,因为ab<0,所以t=0或2as2+at2+2b=0,即t=0或t2-2所以点(s,t)的轨迹为直线和焦点在y轴的双曲线.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知直线l1:4x+3y2=0,l2:(m+2)x+(m1)y5m1=0(m∈R),则()A.直线l2过定点(2,3)B.当m=10时,l1∥l2C.当m=1时,l1⊥l2D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为3【解析】选ABD.l2:(m+2)x+(m1)y5m1=0(m∈R)变形为m(x+y5)+2xy1=0,由x+y-5=0,2x-y-1=0当m=10时,l1:4x+3y2=0,l2:12x+9y51=0,所以412=39≠-2-51,故两直线平行当m=1时,l1:4x+3y2=0,l2:x2y+4=0,因为4×1+3×(2)≠0,故两直线不垂直,故C错误;当l1∥l2时,则满足m+24=m-13≠-5m-1-2,解得m=10,此时l1:4x+3y2=0,l2:12x+9y51=0,即410.(2024·西安模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l:mx+ny+3=0,则下列说法正确的是()A.当n=3m≠0时,直线l的倾斜角为5πB.当m=n=1时,直线l与圆O相交C.圆O与圆E:(x2)2+(y3)2=1相离D.当m=0,n=1时,过直线l上任意一点P作圆O的切线,则切线长的最小值为3【解析】选AC.对于A:当n=3m≠0时,直线l为mx+3my+3=0,所以直线的斜率为m3m=设倾斜角为α,则tanα=33因为α∈(0,π],所以α=5π6,故A正确对于B:当m=n=1时,直线l为x+y+3=0,由x2+y2=4,可得:圆心O(0,0),半径r=2,所以圆心到直线l的距离d=|3|12+所以圆与直线相离,故B错误;对于C:因为圆E:(x2)2+(y3)2=1,所以圆心E(2,3),半径R=1,因为|OE|=22+32=13>所以两圆相离,故C正确;对于D:当m=0,n=1时,直线l为y=3,过直线l上任意一点P作圆O的切线,设切点为Q,则切线长|PQ|=|PO|2所以当|PO|取得最小值时,|PQ|最小,因为点P在直线l:y=3上,所以当OP⊥l时,|OP|最小,此时|OP|min=3,所以|PQ|min=32-4=5,故11.(2024·海南模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B(0,2),离心率为22,M,N为则()A.C的方程为x24+B.1|MF1C.△MNF2的面积随周长变大而变大D.直线BM和BN的斜率乘积为定值1【解析】选AD.由题易知b=2,ca=22,2+c2=a2,解得c=2,a=2,故椭圆方程为x24+y2连接MF1,MF2,NF1,NF2,由椭圆对称性知MF1NF2为平行四边形,|MF1|+|NF1|=|MF1|+|MF2|=2a=4,1|MF1|+4|NF1|=1|MF1|+4|MF2|≥54+14×2|M当且仅当|MF1|=43,|MF2|=83时等号成立,故B对选项C:由选项B可知:|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|=4,设M(x1,y1),则|OM|=x12+y12=4(1-y122)+y12=4-y12,由对称性,不妨设M在第一象限,故|OM|随y1的增大而减小,△MNF2的面积随y1的增大而增大,即△MNF2的面积随周长变大而变小,C错误;对选项D:设M(x1,y1),则N(x1,y1),又B(0,2),所以kBM·kBN=y1-2x1因为点M(x1,y1)在椭圆上,结合选项C,x12=42y12,所以kBM·kBN=y12-三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·长沙模拟)已知圆A:x2+(y3)2=1,过动点P作圆A的切线PB(B为切点),使得|PB|=3,则动点P的轨迹方程为______________.

答案:x2+(y3)2=4【解析】设P(x,y),由|PB|=3得|PB|2=3,则x2+(y3)21=3,即x2+(y3)2=4.13.(2024·茂名模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,直线l1,l2均过点F分别交抛物线C于A,B,D,E四点,若直线l1,l2斜率乘积的绝对值为8,则当直线l2的斜率为________时,|AB|+|DE|的值最小,最小值为________.

答案:±2218【解析】由题意,抛物线C:y2=8x的焦点坐标为F(2,0),设直线l1的方程为y=k1(x2),联立方程y整理得k12x2(4k12+8)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=4k12设直线l2的斜率为k2,同理可得|DE|=x3+x4+p=4k22可得|AB|+|DE|=8k12+8+8k2又由|k1·k2|=8,得|AB|+|DE|=16+8k12+8k2当且仅当|k1|=|k2|=22时,等号成立,所以|AB|+|DE|的最小值为18,此时|k2|=22,k2=±22.14.(2024·福州模拟)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出,如图1,一个光学装置由有公共焦点F1、F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成,Γ与Ω的离心率之比为3∶4,现一光线从左焦点F1发出,依次经Ω与Γ反射,又回到了点F1,历时t1秒;若将装置中的Ω去掉,如图2,此光线从点F1发出,经Γ两次反射后又回到了点F1,历时t2秒,则t2t1答案:8【解析】由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a1①,|AF2||AF1|=2a2②,①②得,|BF1|+|AF1|+|BF2||AF2|=|BF1|+|AF1|+|BA|=2a12a2,即△ABF1的周长为2a12a2,由椭圆定义知△CDF1的周长为4a1,因为光线的速度相同,且双曲线与椭圆共焦点,所以t2t1=4a12a1【方法规律】本题解答的关键是注意到光线的速度相同,且双曲线与椭圆共焦点,利用椭圆和双曲线的定义求解两个三角形的周长由此即可顺利得解.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2024·资阳模拟)已知☉O的圆心为坐标原点,☉O上的点到直线l:x+y22=0的距离的最小值为1.(1)求☉O的方程;【解析】(1)由题意,☉O的圆心O(0,0)到直线l:x+y22=0的距离d=|2设☉O的半径为r,则☉O上的点到直线l距离的最小值为dr=2r,由2r=1,解得r=1,所以☉O的方程为x2+y2=1.(2)过点P(4,2)作☉O的两条切线,切点分别为A,B.求四边形OAPB的面积.【解析】(2)由题可知,PA⊥OA,PB⊥OB,连接OP,则四边形OAPB的面积S=2S△POA=2×12×1×|PA|=|PA又|OP|2=42+22=20,则|PA|=|OP|2-|所以四边形OAPB的面积S=19.16.(15分)(2024·武汉模拟)已知点M(2,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,过点M作直线l与抛物线C交于A,B两点,斜率为2的直线与抛物线交于A,D两点.(1)求抛物线C的标准方程;【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=p2依题意,p2=2,解得p所以抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)①求证:直线BD过定点N;②若△ABN的面积为S,且满足S≤205,求直线l斜率的取值范围.【解析】(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),显然AB不垂直于y轴,设直线AB方程为x+2=m(y2),由x消去x得:y28my+16(m+1)=0,由Δ=64m264(m+1)>0,得m<1-52或m>1+52,y1+y2=8m,y1即y1+y2=12y1y28,直线AD的斜率kAD=y3-y1x3-x1=y同理直线BD的斜率kBD=8y2+y3,直线BD的方程为yy2=8整理得(y2+y3)y=8(xx2)+y2(y2+y3),即(y2+y3)y=8x8x2+y22+y2y又y22=8x2,于是(y2+y3)y=8x+y2y由y1+y3=4及2y1+2y2=y1y216,得y2y3=2(y2+y3)24,则(y2+y3)y=8x+2(y2+y3)24,因此直线BD:(y2+y3)(y2)=8(x3)过定点N(3,2),所以直线BD过定点N(3,2).②显然MN∥x轴,S△ABN=S△BNMS△ANM=12|MN||y1y2|=52|y1y2=20m2-m-1≤205,则解得2≤m<1-52或1+52<m≤3,而直线l则5+12<k≤12或13≤所以直线l斜率的取值范围是(5+12,12]∪[1317.(15分)(2024·新余模拟)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,已知椭圆C的离心率为223,直线2x(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)直线2x2y6=0与圆O相切,则b=|2由椭圆的离心率e=ca=1-b解得a2=9,椭圆的标准方程为x29+y(2)椭圆C的上顶点为B,EF是圆O的一条直径,EF不与坐标轴重合,直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P,Q,求△BPQ的面积的最大值.【解析】(2)由题意知直线BP,BQ的斜率存在且不为0,BP⊥BQ,不妨设直线BP的斜率为k(k>0),则直线BP的方程为y=kx+1.由y=kx+1x29所以P(-18k9k用1k代替k,得Q(18kk则|PB|=(0+18k9k2|BQ|=(0-18kk2+9)

2+(1+9-k2k2+9)

2=189+k2·1+k2,S设k+1k=μ则S△BPQ=162μ82+9(μ2-2当且仅当9μ=64μ,即k+1k=μ=83,即k=所以(S△BPQ)max=278【加练备选】(2024·合肥模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率为32,点(1)求E的方程;【解析】(1)由题意ca=32,3a2+14b则E的方程为x24+y2(2)过K(1,0)作互相垂直的两条直线l1与l2,设l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.探究:△OMN与△KMN的面积之比是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.【解析】(2)△OMN与△KMN的面积之比为定值,定值为4,理由如下:设直线AB的方程:x=my1,A(x1,y1),B(x2,y2),讨论:①当m≠0,且m≠±1时,联立x=可得(m2+4)y22my3=0,Δ=16m2+48>0,则y1+y2=2m所以yM=y1+y22=mm2+4,xM=myM1=m·mm2设直线CD的方程:x=-1m同理可得N(-4m24所以kMN=-m4m2+1-mm2+4所以直线MN:ymm2+4=54×mm2-1(x+4m所以直线MN恒过定点T(45②当m=±1时,不妨设直线l1:y=x+1;l2:y=x1,可发现MN⊥x轴,且MN过T(45③当m=0时,直线MN依然过T(45,0),但无法形成三角形综上,直线MN恒过点T(45设点O,K到直线MN的距离分别是d1,d2,S△OMNS△KMN=12|MN|×18.(17分)(2023·新高考Ⅱ卷)在双曲线C中,O为坐标原点,左焦点为(25,0),离心率为5.(1)求C的方程;【解析】(1)由题意c=25,e=5=ca,则a=2,b2=16,双曲线C的方程为x24(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点B(4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.【解析】(2)方法一:设过点B的直线为x=ty4,M(x1,y1),N(x2,y2),联立双曲线得(4t21)y232ty+48=0,则y1+y2=32t4t2-1,y设直线MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,设直线NA2:y-y2y2=x-x2x2-2,联立消去y得方法二:①当l⊥y轴时,不符合题意.②设直线l:x=ty4,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),联立方程组x=ty-4,x24-y因为直线与双曲线的左支有两个交点,即4则y1+y2=32t4t2-1,y又因为MA1与NA2相交于点P,则y0x0+2=y1x1+2,y0x0-2=所以点P在定直线x=1上.方法三:设过点B的直线为y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2),联立双曲线得(4k2)x28k2x1616k2=0,则x1+x2=8k24-k2,x1·x2=-16(1+k2)4-k2,即(x1+52)(x2+52)=94设直线