1823正方形(精练)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

18.2.3正方形一、单选题1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°C．对角线相等 D．对角线平分内角【答案】C【解析】【解答】A选项中对角线互相垂直平分的有菱形和正方形；

B选项中所有的四边形的内角和为360°；

C选项中对角线相等的有矩形和正方形；

D选项中对角线平分内角的有菱形。

故答案为：C

【分析】正方形具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质；菱形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角；矩形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线相等且互相平分。2．已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（）A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1【答案】A【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，故答案为：A．【分析】依据新正方形的边长为a+1，即可得到新正方形的面积．3．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB=a.得到以下结论：①BE⊥CF；②AP=a；③CP=5A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【解答】解：如图，；（1）EF//BC,DE//AC所以①成立；(2)如图延长CF交BA延长线于点M，则：∠D=∠FAM∴CD=MA=AB=a∴AP为直角三角形MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP=所以②成立；(3)∵CP⊥BE∴CP×BE=CE×BC=∵BE=∴CP=所以③成立故答案为：D

【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，可证得∠EPC=90°，故①成立；

延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得CD=MA=AB=a，

然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP=12BM=a，故②成立；

利用等面积法求得BE=52a，进而求得CP=54．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF:FB=1:2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接CM．有如下结论：①DE=AF；②AN=24AB；A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④【答案】C【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADF=∠DCE，在ΔADF与ΔDCE中，∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∴ΔADF≅ΔDCE(ASA)，∴DE=AF；故①符合题意；∵AB//CD，∴AF∵AF:FB=1:2，∴AF:AB=AF:CD=1:3，∴AN∴AN∵AC=2∴AN∴AN=24AB作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10由ΔCMD∼ΔCDE，可得CM=9由ΔGHC∼ΔCDE，可得CH=9∴CH=MH=1∵GH⊥CM，∴GM=GC，∴∠GMH=∠GCH，∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，∴∠FEG=∠DCE，∵∠ADF=∠DCE，∴∠ADF=∠GMF；故③符合题意，设ΔANF的面积为m，∵AF//CD，∴AFCD=∴ΔADN的面积为3m，ΔDCN的面积为9m，∴ΔADC的面积=ΔABC的面积=12m，∴SΔANF:故答案为：C．

【分析】先利用正方形的性质和已知条件证出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的性质可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC=2AB，又证得△AFN∽△CDN，由相似的性质可得AN=245．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案.已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x>y)表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是()A．x+y=7 B．xy=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【答案】C【解析】【解答】∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2.∵x+y表示大正方形的边长，∴x+y=7，故A不符合题意；∵xy表示小正方形的边长，∴xy=2，故B不符合题意；∵x2+y2=(xy)2+2xy，∴x2+y2表示小正方形与两个小矩形的面积之和，∴x2+y2=(494)÷4×2+4=26.5≠25，故C符合题意；∵4xy+4表示大正方形的面积，∴4xy+4=49，故D不符合题意.故答案为：C.【分析】观察图形发现，x+y表示大正方形的边长，xy表示小正方形的边长，4xy+4表示大正方形的面积，进而联系所求得的两个正方形的边长，结合已知图案的总面积，即可求解.6．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】【解答】选项A，对角线相等的菱形是正方形，选项A不符合题意；选项B，对角线互相垂直的矩形是正方形，选项B不符合题意；选项C，∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，选项C符合题意；选项D，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项D不符合题意.故答案为：C．【分析】根据正方形的判定方法解答即可.二、填空题7．将2016个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于【答案】503【解析】【解答】解：因为O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，所以阴影部分的面积是正方形面积的14，即是14，2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×(2016−1)=20154=503348．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点D，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为正方形．

【答案】AC=BD【解析】【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，对角线互相平分，

又∵AC⊥BD，

∴根据对角线特征来判断，需添加的一个条件是AC=BD。

故答案为：AC=BD【分析】根据正方形判定定理之一，即对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。9．如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为.【答案】3【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=2212=3,则正方形的面积为BC2=3

【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。三、解答题10．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵∠BAF=∠ADG∠AFB=∠AGD∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF+FG，∴BF＝AG＝DG+FG，∴BF﹣DG＝FG．【解析】【分析】利用正方形的性质可得AB＝AD，∠DAB＝90°，进而由BF⊥AE，DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有∠ADG＝∠BAF，故可证得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性质可得BF＝AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，则有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.四、综合题11．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中

AD=AB∠BAD=90°

∴∠DAF+∠BAE=90°

又∵BE⊥AG，DF⊥AG

∴∠AFD=∠BEA=90°

∴∠DAF+∠ADF=90°

∴∠BAE=∠ADF

∴△ABE≌△DAF（AAS）（2）∵△ABE≌△DAF

∴BE=AF=1，DF=AE=AF+EF=1+EF

∵S四边形ABED的面积=S△ABE+S△ADE=6

∴12AEBE+DF=6

即【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证得AD=AB，∠BAD=90°，则有∠DAF+∠BAE=90°；再根据已知条件BE⊥AG，DF⊥AG证得∠AFD=∠BEA=90°，由此可得∠DAF+∠ADF=90°，则∠BAE=∠ADF，故可证△ABE≌△DAF。

（2）由△ABE≌△DAF得BE=AF=1，DF=AE=1+EF；而S四边形ABED的面积=S△ABE+S△ADE，故有12AEBE+DF12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2.（1）求线段CE的长.（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.设CE=x（0<x<1），则DE=1x，因为S1=S2，所以x2=1x，解得x=