高考数学（北师大版理）讲义第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件2

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲考情考向分析1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件p⇏q且q⇏p知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题答案A3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2 B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．“sinα>0”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案B解析由sinα>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B.6．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．答案(2，＋∞)解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A?B，∴m＋1>3，即m>2.题型一命题及其关系1．下列命题是真命题的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x＜y，则x2＜y2答案A2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福答案D3．(2018·青岛调研)下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形的面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若eq\r(3)x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是()A．③④B．①③C．①②D．②④答案A解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而A.4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________________．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分必要条件的判定典例(1)(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案C解析方法一∵数列{an}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．故选C.方法二∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．故选C.(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．β”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案D解析取α＝eq\f(7π,3)，β＝eq\f(π,3)，α＞β成立，而sinα＝sinβ，sinα>sinβ不成立．∴充分性不成立；取α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(13π,6)，sinα＞sinβ，但α＜β，必要性不成立．故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分又不必要条件．(2)设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ＝eq\f(1,2)成立”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝eq\f(1,2)，所以“a∥b”是“tanθ＝eq\f(1,2)成立”的必要不充分条件．题型三充分必要条件的应用典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练(1)设p：|2x＋1|<m(m>0)；q：eq\f(x－1,2x－1)>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．答案(0,2]解析由|2x＋1|<m(m>0)，得－m<2x＋1<m，∴－eq\f(m＋1,2)<x<eq\f(m－1,2).由eq\f(x－1,2x－1)>0，得x<eq\f(1,2)或x>1.∵p是q的充分不必要条件，又m>0，∴eq\f(m－1,2)≤eq\f(1,2)，∴0<m≤2.(2)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．解析∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．又由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，N?M，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m＜－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m≤－2，,1＋m＞10，))解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案[9，＋∞)1．命题“若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m>1”的否命题是()A．若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数，则m≤1B．若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m≤1C．若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数D．若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数答案A解析“若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B4．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”答案B解析若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．故选B.5．“x＞1”是“(x＋2)＜0”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件答案B解析由x＞1，得x＋2＞3，即(x＋2)＜0，(x＋2)＜0，即x＋2＞1，得x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．故选B.6．(2017·北京海淀区一模)若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案C解析设f(x)＝x＋lnx，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵a>b，∴f(a)>f(b)，∴a＋lna>b＋lnb，故充分性成立；∵a＋lna>b＋lnb，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故必要性成立，故“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的充要条件，故选C.7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.8．(2017·江西红色七校二模)在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案C解析因为cosA>sinB，所以cosA>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，因为角A，B均为锐角，所以eq\f(π,2)－B为锐角，又因为余弦函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以A<eq\f(π,2)－B，所以A＋B<eq\f(π,2)，在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>eq\f(π,2)，所以△ABC为钝角三角形；若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，则C>eq\f(π,2)，所以A＋B<eq\f(π,2)，所以A<eq\f(π,2)－B，所以cosA>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，即cosA>sinB.故“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，故p是q的充分不必要条件．11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．答案(0,3)解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a＋1＜4，))解得0＜a＜3.12．有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．13．已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案C解析易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a＞1，所以綈p成立⇔a＞1，则綈p是q的充要条件．故选C.14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析方法一命题p为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．綈p对应的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2)))))，