广西重点高中2023-2024学年高二下学期5月联合调研测试数学

广西重点高中高二5月联合调研测试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.2.已知向量满足，则与夹角为（）A. B. C. D.3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，是两条不同的异面直线，，，，则 D.若，，则与所成的角和与所成的角互余4.已知为递增等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于（）A. B. C. D.5.已知函数，则不等式解集是（）A. B.C. D.6.某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）A. B. C. D.7.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（）A. B. C. D.8.已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（）A.众数为12 B.平均数为14 C.中位数为14.5 D.第25百分位数为1210.将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是（）A.当时，关于对称B.关于对称C.当时，在上单调递增D.若在上有3个零点，则的取值范围为11.已知定义域为的函数，满足，且，，则（）A. B.是奇函数C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为________（用数字作答）．13.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为________．14.已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为正项数列的前n项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，证明：．16.2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎4080感染支原体肺炎40合计120200（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．（1）证明：A、B、M、N四点共面；（2）求二面角的余弦值；（3）求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．18.已知函数，其中．（1）若，求在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点．（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，求的取值范围．19.已知定点，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．（1）求曲线C方程；（2）已知点P、A、B是曲线C上的点，且．（i）若点P的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；（ii）若，求面积的最小值．广西重点高中高二5月联合调研测试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足，解得.故选：B.2.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对两边同时平方可求出.设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.【详解】因为，以.又，所以.设与的夹角为.则，所以，即与的夹角为.故选：C.3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，是两条不同的异面直线，，，，则 D.若，，则与所成的角和与所成的角互余【答案】C【解析】【分析】利用空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质依次判断即可．【详解】A．，，则，又，则，所以不正确，A不正确；B．，，，则或，故B不正确；C．若，是两条不同的异面直线，，，，则，C正确．D．由时，与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，因此与所成的角和与所成的角不一定互余，D不正确.故选：C．4.已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到.【详解】因为与的等差中项为，所以，设等比数列的公比为，又，得：，解得：，或，又因为为递增的等比数列，则，则，故选：D.5.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用单调性脱去法则，解不等式即得.【详解】函数定义域为R，，即函数是偶函数，当时，，即函数在上单调递增，不等式，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：B6.某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解.【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，则,因此，所以选“使命”队参加比赛的概率.故选：A7.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用面积法得，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，再利用余弦定理求出，最后利用三角形面积公式和等面积法即可得到答案.【详解】由题意知，设，则，如图所示，由可得，整理得，即，又因为，所以，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，则的面积为，边上的高.故选：D.8.已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义及对称性可得，再利用余弦定理建立等式求出离心率.【详解】令，由，得，而在y轴上，则，由双曲线定义得，由，得，即，则有，于是，，令双曲线的半焦距为c，在中，由余弦定理得，整理得，所以双曲线C的离心率.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（）A.众数为12 B.平均数为14 C.中位数为14.5 D.第25百分位数为12【答案】BCD【解析】【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义和计算公式一一计算即可.【详解】对A，由题意可知，16出现的次数最多，则众数应为16，故A错误；对B，平均数为，故B正确；对C，中间两个数为13和16，则中位数为:，故C正确；对D，，所以第25百分位数是从小到大排列后第三个数字，即为12，故D正确.故选：BCD.10.将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是（）A.当时，关于对称B.关于对称C.当时，在上单调递增D.若在上有3个零点，则的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】首先得到，代入验证即可判断AB；利用整体法得到，即可判断C；求出，得到相关不等式即可判断D.【详解】对A，，当时，，是函数的最大值，所以关于对称，故选项A正确；对B，当时，得，而不一定等于0，故选项B错误；对C，当时，，得，所以在上单调递增，故选项C正确；对D，由，得，由于在上有3个零点，所以，所以，故选项D错误.故选：AC．11.已知定义域为的函数，满足，且，，则（）A. B.是奇函数C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，对抽象等式中的自变量进行赋值求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用周期性求函数值即可得解.【详解】定义域为的函数，满足，对于A，令，则，A正确；对于B，令，则，而，则，令，则，即，令，则，令，则，因此，函数是上偶函数，B错误；对于C，令，则，而，，，则，C正确；对于D，由，得，函数的一个周期为8．令，则，即有，因函数是偶函数，故有，由函数的一个周期为8，则，而，因此，所以，D正确．故选：ACD【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为________（用数字作答）．【答案】144【解析】【分析】先将学生的节目全排列，然后对教师节目进行插空即可得解.【详解】由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法，然后对教师节目进行插空有种排法，所以满足题意的排法种数为种.故答案为：144.13.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为________．【答案】##【解析】【分析】理解题意，先求出圆锥的内切球半径，题中棱长最大的正方体的外接球即圆锥的内切球，由此求得正方体棱长最大值.【详解】设圆锥的母线长为，依题意，，解得，故圆锥的轴截面为正三角形.因正方体在该圆锥内可以任意转动，故棱长最大的正方体的外接球是圆锥的内切球.如图,作出圆锥和内切球的轴截面图，设内切球的半径为,球的内接正方体的棱长为.由三角形面积相等可得，，解得，又因，解得，即该正方体棱长的最大值为.故答案为：.14.已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出切点弦所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求出最大值即可.【详解】设点，圆圆心，半径，显然切点在以线段为直径的圆上，此圆方程为，整理得，与圆的方程相减得直线的方程，直线的方程为，即，由，解得，即直线恒过定点，连接交于，由切线长定理得，且是线段的中点，，显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点，即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为正项数列的前n项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义求出通项.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性及有界性推理即得.【小问1详解】正项数列的前n项和为，，当时，，两式相减得，显然，则，当时，，即，又，则，而，解得，即，从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，，则，因此，，，即，又数列单调递增，，所以.16.2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎4080感染支原体肺炎40合计120200（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有关.（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可；（2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可.【小问1详解】（1）列联表，如图所示：

有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎404080感染支原体肺炎8040120合计12080200假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.则，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.【小问2详解】70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，由已知得，，，所以随机变量的分布列为：0123所以,.17.四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．（1）证明：A、B、M、N四点共面；（2）求二面角的余弦值；（3）求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作辅助线，证明点为的重心，即可证明A、B、M、N四点共面；（2）建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得；（3）利用割补法，先求和，相减得，再用减去得,即得结果.【小问1详解】如图，延长交于点，因且，故，连接，中，分别是中点，故的交点为的重心，设为点，则,又N为PD靠近D的三等分点，故点重合，因点都在平面内，故A、B、M、N四点共面；【小问2详解】如图，取中点，连接，因，则,又平面平面,平面平面，平面，故平面,过点在平面内作，分别取为轴的正方向建立空间直角坐标系.因，故,则,设平面的法向量为，则，故可取；又,设平面的法向量为，则，故可取.于是，，因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为；【小问3详解】如图，设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为,依题，,而,则，又,故，于是，.18.已知函数，其中．（1）若，求在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点．（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）（i）求出函数的导数，按，分类探讨单调性，再结合零点存在性定理求解即得；（ii）由（i）可得，再由零点的意义列式，令，用表示，构造函数并由单调性求解即得.【小问1详解】当时,，求导得，则，而，所以在处的切线方程为，即.【小问2详解】（i）函数的定义域为R，求导得，依题意，有两个变号零点，令，求导得，若，则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，若，则当时，，当，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，要有两个变号零点，必有，解得，此时，即函数在上有唯一零点，令，求出得，令，求导得，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，即，因此当时，，取，函数在上有唯一零点，所以当时,函数存在两个极值点.（ii）由（i）知，，，两式相除得，令，则，，于是，即，因此，令，求导得，令，求导得，函数在上递增，则，即，函数在上单调递增，而，则当时，，所以的取值范围是.【点睛】思路点睛：涉及含参的