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文档简介

2025届福建省龙岩市龙岩北附数学高三第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则的大小关系为A. B. C. D.2.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是()A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了3.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.4.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④5.双曲线:(,)的一个焦点为(),且双曲线的两条渐近线与圆:均相切,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.6.数列满足:,,,为其前n项和,则()A.0 B.1 C.3 D.47.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面8.已知集合,则()A. B.C. D.9.某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1),则这个几何体的体积是()A. B. C.16 D.3210.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于,两点,且,则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.12.设,,,则,,三数的大小关系是A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上移动时,的内心的轨迹方程为__________.14.设函数,若对于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,则实数a的取值范围是.15.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为_______.16.已知实数满足(为虚数单位),则的值为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和交点的交点为,求的面积.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)在曲线上取一点,直线绕原点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.19.(12分)某公园有一块边长为3百米的正三角形空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:先建造一条直道将分成面积之比为的两部分(点D,E分别在边,上);再取的中点M,建造直道(如图).设,,(单位:百米).(1)分别求,关于x的函数关系式;(2)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.20.(12分)已知函数()(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.21.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求曲线C1和C2的极坐标方程:(Ⅱ)设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|的值.22.(10分)若函数为奇函数,且时有极小值.(1)求实数的值与实数的取值范围;(2)若恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.2、C【解析】

假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可.【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意,若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意,若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意,综上可得甲被录用了,故选:C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.3、C【解析】

设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.4、D【解析】

利用线面平行和垂直,面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面,故①错误;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面,故③错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.综上,真命题是②④.故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.5、A【解析】

根据题意得到,化简得到,得到答案.【详解】根据题意知:焦点到渐近线的距离为,故,故渐近线为.故选:.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,双曲线的渐近线,意在考查学生的计算能力和转化能力.6、D【解析】

用去换中的n,得,相加即可找到数列的周期,再利用计算.【详解】由已知,①,所以②,①+②,得,从而,数列是以6为周期的周期数列,且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故选:D.【点睛】本题考查周期数列的应用,在求时,先算出一个周期的和即,再将表示成即可,本题是一道中档题.7、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.8、C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合,∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时,常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.9、A【解析】几何体为一个三棱锥,高为4,底面为一个等腰直角三角形,直角边长为4,所以体积是,选A.10、D【解析】

先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.11、A【解析】

联立直线方程与椭圆方程,解得和的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得,由离心率定义可得结果.【详解】由,得,所以,.由题意知,所以,.因为,所以,所以.所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点,考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式,属于基础题.12、C【解析】

利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,,,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

考查更为一般的问题:设P为椭圆C:上的动点,为椭圆的两个焦点,为△PF1F2的内心,求点I的轨迹方程.解法一:如图,设内切圆I与F1F2的切点为H,半径为r,且F1H=y,F2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,则.直线IF1与IF2的斜率之积:,而根据海伦公式,有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义,可得I点的轨迹是以F1F2为长轴,离心率e满足的椭圆,其标准方程为.解法二:令,则.三角形PF1F2的面积:,其中r为内切圆的半径,解得.另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得:从而有.消去θ得到点I的轨迹方程为:.本题中:,代入上式可得轨迹方程为:.14、【解析】试题分析:由题意得函数在[2,上单调递增,当时在[2,上单调递增;当时在上单调递增;在上单调递减,因此实数a的取值范围是考点:函数单调性15、【解析】

先根据点共线得到,从而得到O的轨迹为阿氏圆,结合三角形和三角形的面积关系可求.【详解】设B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿氏圆,其半径,故.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角形的面积问题,把所求面积进行转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.16、【解析】

由虚数单位的性质结合复数相等的条件列式求得,的值,则答案可求.【详解】解:由,,,所以,得,..故答案为:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位的性质,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程即可.(2)将和的极坐标方程联立,求得两个曲线交点的极坐标,即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】(1)曲线的参数方程为(α为参数),消去参数的的直角坐标方程为.所以的极坐标方程为(2)解方程组,得到.所以,则或().当()时,,当()时,.所以和的交点极坐标为:,.所以.故的面积为.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直角坐标方程与极坐标的转化,利用极坐标求三角形面积,属于中档题.18、(1)(2)最大值为【解析】

(1)利用消去参数,求得曲线的普通方程,再转化为极坐标方程.(2)设出两点的坐标,求得的表达式,并利用三角恒等变换进行化简,再结合三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为,即.(2)不妨设,,,,,则当时,取得最大值,最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法,考查三角恒等变换,考查三角函数最值的求法,属于中档题.19、(1),.,.(2)当百米时,两条直道的长度之和取得最小值百米.【解析】

(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得关于x的函数关系式;在和中,利用余弦定理,可得关于x的函数关系式.方法二:在中,可得,则有,化简整理即得;同理,化简整理即得.(2)由(1)和基本不等式,计算即得.【详解】解:(1),是边长为3的等边三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道长度关于x的函数关系式为,.在和中,由余弦定理,得①②因为M为的中点,所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道长度关于x的函数关系式为,.法2:因为在中,,所以.所以,直道长度关于x的函数关系式为,.在中,因为M为的中点,所以.所以.所以,直道长度关于x的函数关系式为,.(2)由(1)得,两条直道的长度之和为(当且仅当即时取“”).故当百米时,两条直道的长度之和取得最小值百米.【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式,第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解,属于中档题.20、(1)极小值为,极大值为.(2)【解析】

(1)根据斜线的斜率即可求得参数,再对函数求导,即可求得函数的极值;(2)根据题意,对目标式进行变形,构造函数,根据是单调减函数,分离参数,求函数的最值即可求得结果.【详解】(1)函数的定义域为,,,,可知,,解得,,可知在,时,,函数单调递增,在时,,函数单调递减,可知函数的极小值为,极大值为.(2)可以变形为,可得,可知函数在上单调递减,,可得,设,,可知函数在单调递减,,可知,可知参数的取值范围为.【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值,以及对具体函数极值的求解,涉及构造函数法,以及利用导数求函数的值域;第二问的难点在于对目标式的变形,属综合性中档题.21、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根据,可得曲线C1的极坐标方程,然后先计算曲线C2的普通方程,

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