2025届广西梧州市岑溪市高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2025届广西梧州市岑溪市高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为（）A.4 B.6C.8 D.102．若直线与圆：相切，则（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或23．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（）A.-5 B.-3C.1 D.74．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆圆，圆若过原点的直线与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（）A B.C. D.5．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）A. B.C. D.7．已知为定义在R上的偶函数函数，且在单调递减.若关于的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.8．某救援队有5名队员，其中有1名队长，1名副队长，在一次救援中需随机分成两个行动小组，其中一组2名队员，另一组3名队员，则正、副队长不在同一组的概率为（）A. B.C. D.9．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线C.的一个零点为 D.在区间的最小值为111．已知，，点为圆上任意一点，设，则的最大值为（）A. B.C. D.12．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______14．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点，则该抛物线的标准方程为___________.15．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是__________16．已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆经过，且圆心C在直线上（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆存在公共点，求实数的取值范围18．（12分）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，其中表示不超过最大整数，如，.（i）求、、；（ii）求数列的前项的和.19．（12分）如图，在直三棱柱中，，E、F分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线：mx－（2－m）y－4=0与直线h：x+y－2=0的交点M在第一三象限的角平分线上.（1）求实数m的值；（2）若点P在直线l上且，求点P的坐标.21．（12分）如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.22．（10分）已知函数在时有极值0.（1）求函数的解析式；（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.【详解】设，，的中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，问题转化为圆与圆有交点，所以，，即，解得：，所以线段长度的最小值为.故选：C2、B【解析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.【详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.故选：B3、C【解析】根据，可知向量建立方程求解即可.【详解】由题意根据，可知向量，则有，解得.故选：C4、A【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长【详解】设过点的直线.由直线与圆、圆均相切，得解得(1).设点到直线的距离为则(2).又圆的半径直线截圆所得弦长结合(1)(2)两式，解得5、A【解析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系6、A【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.【详解】如图，不妨设点在第一象限，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，设点，由，得，因为四边形的面积为，所以，得，由，得，解得，所以，即点，代入椭圆方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故选：A7、C【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，转化为且对恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得的范围【详解】定义在上的函数为偶函数，且在上递减，在上单调递增，若不等式在上恒成立，即在上恒成立在上恒成立，即在上恒成立，即且在上恒成立令，则，，，，在上递增，上递减，令，当时，，在上递减，故可知，解得，所以实数m的取值范围是故选：C8、C【解析】求出基本事件总数与正、副队长不在同一组的基本事件个数，即可求出答案.【详解】基本事件总数为正、副队长不在同一组的基本事件个数为故正、副队长不在同一组的概率为.故选：C.9、B【解析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.【详解】由椭圆可得焦点为，则设双曲线方程为，可得，则离心率，解得，则，所以渐近线方程为.故选：B.10、D【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.【详解】函数，周期为，故A错误；函数图像的对称轴为，，，不是对称轴，故B错误；函数的零点为，，，所以不是零点，故C错误；时，，所以，即，所以，故D正确.故选：D11、C【解析】根据题意可设，再根据，求出，再利用三角函数的性质即可得出答案.【详解】解：由点为圆上任意一点，可设，则，由，得，所以，则，则，其中，所以当时，取得最大值为22.故选：C.12、C【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，∴到直线AB距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.【详解】由题可知，∴,又，代入上式整理得，由得为直角三角形又的面积为4，设，，则解得所以椭圆的标准方程为14、【解析】根据抛物线的聚焦特点，经过抛物线后经过抛物线焦点，再经直线反射后经过点，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为，抛物线的焦点为，则可得：抛物线的焦点为：则直线的方程为：设直线与直线的交点为，则有：解得：则过点且垂直于的直线的方程为：根据题意可知：点关于直线的对称点在直线上设点，的中点为，则有：直线垂直于，则有：点在直线上，则有：点在直线上，则有：化简得：又故故答案为：【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键15、【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.故答案为：16、【解析】由题意分别求出这三个平面的法向量，设直线的方向向量为，由直线与平面与的法向量垂直，得出，由向量的夹角公式可得答案.【详解】由，解得，即直线与平面的交点坐标为平面的方程为，可得所以平面的法向量为平面的法向量为，的法向量为设直线的方向向量为，则，即取，设直线与平面所成角则故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）因为圆心在直线上，可设圆心坐标为，利用圆心到圆上两点的距离相等列出等式求解即可.（2）直线与圆存在公共点，即圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等关系求解即可.【小问1详解】解：因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为，因为圆经过，，所以，即：，解方程得，圆心坐标为，半径为，圆的标准方程为：【小问2详解】圆心到直线的距离且直线与圆有公共点即18、（1）；（2）（i），，；（ii）.【解析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）（i）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；（ii）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前项的和.【小问1详解】解：因为，，则，可得，，可得，以此类推可知，对任意的，.由，变形为，是一个以为公差的等差数列，且首项为，所以，，因此，.【小问2详解】解：（i），则，，则，故，，则，故；（ii），当时，即当时，，当时，即当时，，当时，即当时，，因此，数列的前项的和为.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点．根据三角形的中位线定理和平行四边形的判断和性质可证得，再由线面平行的判定定理可得证；（2）由线面垂直的性质和判定可得证.【详解】证明：（1）连接，交于点M，连接ME，则M为中点因为E、F分别是与的中点，所以，则，从而为平行四边形，则又因为平面平面，所以平面（2）由平面，因为平面，所以而，M为的中点，所以因为，所以平面，由（1）有，故平面20、（1）3（2）【解析】（1）求出直线与直线的交点坐标，代入直线的方程可得值；（2）设，代入已知等式可求得值，得坐标【小问1详解】由得，即所以，【小问2详解】由（1）直线方程是，在直线上，设，则，解得，所以点坐标为21、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算kAB；（3）若，由两直线斜率积为-1，可得到关于与的等量关系，写出直线AB的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点【详解】（1）设，，.由，得，即.因为，所以，所以.所以动点的轨迹为抛物线，其方程为.（2）证明：设点，，若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，又，，所以，，整理得，所以.（3）因为，所以，即，①直线的方程为：，整理得：，②将①代入②得，即，当时，即直线经过定点.【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，