陕西省榆林市第十二中学2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

陕西省榆林市第十二中学2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.y=±2x B.y=C. D.2．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（）A. B.C. D.3．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A B.C. D.4．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B.C.4 D.25．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A.3 B.C. D.6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A.30 B.40C.50 D.607．曲线在点处的切线过点，则实数（）A. B.0C.1 D.28．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（）①函数是圆O的一个太极函数②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数③函数是圆O的一个太极函数④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件A.①② B.①③C.②③ D.③④9．数列中，满足，，设，则（）A. B.C. D.10．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A. B.C. D.11．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.512．已知，，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为___________.14．已知数列是等差数列，，公差，为其前n项和，满足，则当取得最大值时，______15．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）16．过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为4，则线段AB的长度为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.18．（12分）（1）已知：方程表示双曲线；：关于的不等式有解.若为真，求的取值范围；（2）已知，，.若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.19．（12分）已知的三个顶点是，，（1）求边所在的直线方程；（2）求经过边的中点，且与边平行的直线的方程20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）21．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，，求证：；（3）当时，恒成立，求的取值范围22．（10分）已知一张纸上画有半径为4圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.2、C【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C3、D【解析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D4、D【解析】切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系，利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.【详解】设为直线上任意一点，，切线长的最小值为：，故选：D.5、D【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，所以，则，所以，所以故选：D.6、C【解析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.故选：C7、A【解析】由导数的几何意义得切线方程为，进而得.【详解】解：因为，，，所以，切线方程为，因为切线过点，所以，解得故选：A8、B【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.【详解】是奇函数，且与圆O的两交点坐标为，能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故符合题意，①正确；同理函数是圆O的一个太极函数，③正确；例如，是偶函数，也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件，例如为奇函数，但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误；故选：B9、C【解析】由递推公式可归纳得，由此可以求出的值【详解】因为，，所以，，，因此故选C【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力10、C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.11、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.12、B【解析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或2【解析】由圆的方程有圆心，半径为，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为，若双曲线为时，渐近线为且，所以圆心到双曲线渐近线的距离为，由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，所以，故.若双曲线为时，渐近线为且，所以圆心到双曲线渐近线的距离为，由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，所以，故.综上，双曲线的离心率为或2.故答案为：或2.14、9或10【解析】等差数列通项公式的使用.【详解】数列是等差数列，且，得，得，则有，又因为，公差，所以或10时，取得最大值故答案为：9或1015、②③【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件故答案为：②③16、9【解析】由焦点弦公式和中点坐标公式可得.详解】设，则，即，.故答案为：9三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.【小问1详解】由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.由得，则……①，……②，因为，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直线的方程为或，故答案为：，或.18、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq为真，可得p真且q假，然后分别求出p真，q假时的的取值范围，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分条件，得，解不等式组可求得答案【详解】（1）因为pq为真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，则不等式无解，则402m2，所以1m2.（2）依题意，p：1x2，因p是q的必要不充分条件，于是得（不同时取等号），解得0m1，所以实数m的取值范围是(0，1].19、（1）（2）【解析】（1）利用直线方程的两点式求解；（2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解.【小问1详解】因为，，所以边所在的直线方程为，即；【小问2详解】因为，，所以AB的中点为：，又，所以直线方程为：，即.20、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以不等式的解集是；【小问2详解】因为，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.21、（1）函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)（2）证明见解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由（1）可得，令，则可得，然后利用累加法可证得结论，（3）由，故，然后分和讨论的最大值与比较可得结果【小问1详解】当时，（），则，由，解得；由，解得，因此函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)【小问2详解】由（1）知，当k＝1时，，故令，则，即，所以【小问3详解】由，故当时，因为，所以，因此恒成立，且的根至多一个，故在(0，1]上单调递增，所以恒成立当时，令，解得当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；于是，与恒成立相矛盾综上，的取值范围为[1，＋∞)【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是利用（1）可得，从而得，然后令，得，最后累加可证得结论，考查数转化思想，属于较难题22、（1）；（2）﹒【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；(2)分为l