北师大版数学九年级上册解答题专题训练50题-含答案

北师大版数学九年级上册解答题专题训练50题含答案

一、解答题

I.如图所示，点3,C,。在同一条直线上，且=CD,点A和点七在的同

侧，且NACE=NB=".

（2）若5C=2,AB-3,求OE1的长度.

【答案】（1）证明过程见详解

4

⑵

【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的定义得出NA=NECD,即可推出结论;

（2）根据相似三角形的性质得出比例式求解即可.

【详解】（1）证明：VZA=180°-Z^-ZACB,ZECD=1800-ZACE-ZACB,

ZACE=ZB,

：.ZA=AECDi

・.Z=ZD,

:.AABCs^CDE.

（2）解；111（1）可知，AABCSACDE,

,ABBC

,.---=---,

CDDE

VBC=CD,BC=2,

：.8=2,

AB=3,

-3_2

2DE

4

:.DE=-.

3

【点睛】本题主要考查三角形相似的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法和性质

是解题的关键.

2.某人在室内从窗口向外观看（如下图）.

(1)在右图中将视点用点标出.

(2)在右图中将视线画出.

I厂、

(4)此人若想在此窗口观察室外更多的影物，应该靠近窗口，还是远离窗口？

(4)此人若想在此窗口观察室外更多的影物，应该靠近窗口.

考点：中心投影作图

点评：作图能力是学生必须具备的基本能力，因为此类问题在中考中比较常见，一般

以作图题形式出现，属于基础题，难度不大.

3.小明在学习了《相似三角形》的知识后做了一次数学实验活动---------测量学

校操场边的大树的高度.他测量出小树AB的高度是6米，小明距寓小树的根部的距

离EB=8米，小树AB与大树8根部之间的距离BD是5米，已知小明的身高为1.6

米(即EF=1.6米)，试计算小明所测得的大树的高度.

【答案】8.75米;

【分析1根据题意可知△AFHs/XCFK,根据相似三角形的性质可求出CK的长度,

将其代入CD=CK+EF中即可求出大树的高度.

【详解】根据题意，可知：△AFHSACFK,

嚼端即是T等

r.CK=7.15,

/.CD=CK+EF=8.75.

答：小明所测得的大树的高度为17米.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的性质求出CK的长度是解

题的关键.

4.已知关于x的方程》：一(2七一1)丁+七：-2=0.

(1)A取何值时，方程有两个不相等的实数根；

(2)在(1)的条件下，请你取一个自己喜爱的左值，并求出此时方程的解.

【答案】(1)当A时，方程有两个不相等的实数根

4

(2)42时斤2或x=l.

【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可以得到方程根的判别式大于零，从而

得到不等式求解即可.

(2)从求得的々值中找到一个代入求解方程即可.

【详解】（1）由题意知：△=从-4时=（2"1）2-4（公一2）＞0,

工＜2,

4

9

・・・当上时，方程有两个不相等的实数根

4

⑵当k=2时,原方程可化为％2一3*+2=0

即：（厂2）（x-l）=0,

x—2=0或x-］=0,

解得x=2或ml.

【点睛】考查一元二次方程渥+云+。=0（。工0）根的判别式△二从-船。，

当A=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根.

当△=〃-4w=0时，方程有两个相等的实数根.

当』=从-4死＜0时，方程没有实数根.

5.已知关于工的一元二次方程2/一（4加+1•+262_1=0有一个根为］,求m的值,

并求出方程的另一个根.

【答案】机=0时，方程另一根为-3;当m=2时，方程另一根为:

【分析】先将x=l代入方程求出，〃的值，再分别代入求根即可.

【详解】解：•・•方程2^-（4山+1）工+训2-1=0有一个根为］,

・••将户1代入方程得：2-（4m+1）+2＞一1=0,

整理得:2m（m-2）=0,

解得；/=0或〃尸2,

当初=0时，方程化为2丁_1_1=0，

g|J（2x+l）（x-l）=0,

解得：x=-g或x=l,

此时方程另一根为-g；

当机=2时，方程化为2--9"+7=0,

即（2x-7）（x-l）=0,

7

解得：x=5或x=l,

此时方程另一根为T：

则机=()时，方程另一根为-；；当m2时，方程另一根为g.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解

题的关键.

6.已知关于X的方程.d-(2+l)x+公+2女=0,有两个实数根巧，巧.

(1)求左的取值范围；

(2)若方程的两实数根毛，々满足玉52-片-考=-16,求实数女的值.

【答案】(1)仁!；(2)k=-3

4

【分析】(1)根据题意，令△")即可得出结论；

(2)根据韦达定理可得X/+M=2A+1,xa=k2+2k,然后利用整体代入法即可取出结

论.

【详解】解：(1)由题意得△=(2k+l)24R+2碓0,

解得，仁!；

4

(2)由韦达定理得，x/+x2=2k+l,xiX2=k2+2k,

■:X[•%2—xj—X,"=-16

XiX2-[(Xl+X2)2-2xiX2]=-16,即-(X/+X2)2+3X/X2=-16,

・・・-(2A+l)2+3(N+2Q=-16,

整理得，^-2M5=0,

解得为=5,依=・3,

・・

•“—19

4

：.k=-3

【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的根的情况求参数的取值范围和利用韦达定

理求参数的值，掌握一元二次方程的根的情况与△的关系和韦达定理是解决此题的关

键.

a?—a+25/3

若〃是一元二次方程/一工一的根，求的值.

7.3=0(a2-a)2-1+y/3

18+13石

【答案】

61

【分析】依题意，。是方程/_1_3=0的根，则可得/一々=3,然后对/一。=3进行

整体代入代数式中求解即可.

【详解】解：由题可得：a是方程X2-%-3=0的根,

cr-a-3=0：

・・・/_°=3,将其代入代数式中:

3I2G

，原式=

9-1+75

_(3+2>/3)(8-V3)

(8+-75)(8

_18+136

-61-,

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的性质，关键在于构造整体代入的等式.

8.如图，BD、AC相交于点P,连接A3、BC、CD、D4,Z1=Z2

(1)求证：AADPsABCP；

(2)若A3=8,CD=4,OP=3,求AP的长

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】(1)由N1=N2,(对顶角相等)，即可得证△AD尸s2\8C尸

ApRp

(2)由△AOPs2XBCP,可得而=而，再证得△APBS/XOPC,从而得

博=浅=5,即可得出答案：

(1)

证明：VZ1=Z2,ND吐NCPB

:./\ADPs^BCP

(2)

■:XADPsABCP,

.APBP

••="9

DPCP

■:ZAPB=ZDPC

・•・△APBs^DPC

.AP_AB

••.=，

DPDC

：.AP=()

【点睛】此题主要考宜相似三角形的判定，本题关键是要懂得我相似三角形，利用相

似三角形的性质求解.

9.己知关于x的一元二次方程2寸一5%一加=0(机为常数).

(1)当闭=3时，求该方程的实数根；

(2)若x=2是该方程的一个实数根，求用的值和另一个根.

【答案】(1)%=一5，%=3

(2)/n=-2；&=g

【分析】(1)代入用=3,利用刃式分解法可求出方程的实数根；

(2)将x=2代入原方程可求出川的值和另一个根.

【详解】(1)解：将m=3代入原方程得2--5工-3=0

/.(2x+l)(x-3)=0

解得X]=一:,工2二3

.・・当相=3时，该方程的实数根为$=-；,电=3

(2)解:将x=2代入原方程得2x22-5x2-6=0

解得m=-2

•,原方程为2f-5x+2=0

(2x-l)(x-2)=0

解得X=g,42=2

.•.〃?的值为一2；另一个根为

【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题关键是

利用因式分解法求出方程的解，代入”的值，求出加的值.

10.如图，△48C在平面直角坐标系中，点A(2,-1),B(3,2),C(1,0).解

答问题：请按要求对△A5C作如下变换.

(1)将4ABC绕点O逆时针旋转90。得到△A/B/C/；

(2)以点O为位似中心，位似比为2：1,将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到

△A2B2C2.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.

【分析】(1)根据网格结构找出点4、B、C绕点0逆时针旋转90。的对应点A/、用、。

的位置，然后顺次连接即可；

(2)连接AO并延长至A2,使A2g2AO,连接80并延长至历，使比0=280,连接CO

并延长至C2,使C2O=2CO,然后顺次连接A2、&、C2即可.

【详解】(1)如图所示，△48/0即为△A6C绕点。逆时针旋转9(T得到的图形；

(2)如图所示，AA2&C2即为AABC在位似中心0的异侧位似比为2：1的图形.

【点睛】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准

确找出对应点的位置是解题的关键.

11.(1)2y(3-y)=3；

(2)9(X-2)2=4(X+1)2.

【答案】(1)玉=止巨，x,=匕叵；(2)9=8

【分析】(1)将原方程变形为一元二次方程的一般形式，利用公式法求解；

(2)利用因式分解法求解.

【详解】解：(1)2)，(3-#=3,

变形，得2)，2-6)，+3=0,

A=(-6)2-4X2X3=12>0,

-(-6)±J(-6)2-4x2x36±2X/33土石

x=-----------------------------=-------=------，

2x242

3+石3-6

•'x\=—~~，±=一2~:

(2)9(X-2)2=4(X+1)2,

变形，得[3(x-2)丁-[2(%+1)了=0,

因式分解，^[3(x-2)+2(x+l)].[3(x-2)-2(x+l)]=0,

gp(5x-4)(x-8)=0,

.•.5%一4=0或/-8二0,

1.X=-，x2=8.

【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握公式法、因式分解法等常用方法是解题的关

键.

12.已知关于x的一元二次方程f-(攵+5)x+6+2k=0.

(1)求证：此方程总有两个实数杈；

(2)若此方程的两根的差为2,求上的值.

【答案】(1)见解析；

(2)1或-3

【分析】(1)根据方程的系数垢合根的判别式△=〃-4讹，可得出D=(%+1)2,由偶

次方的非负性可得出△>(),进而可证出方程总有两个实数根；

(2)根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程

解之即可.

【详解】(1)证明：・・・D=(2+5)2.4(6+2%)=公+2&+i=(4+1-？o,

・•・此方程总有两个实数根；

(2)解：由⑴知，D=(k+I)2,

.(A+5)盥1(k+5)?(k1)

••x=---------------=-------------------，

22

X]=A+3,I?=2,

•・•若此方程的两根的差为2,

・•・4+3・2=2或2-(2+3)=2,

解得：左=1或%=—3；

••/的值为1或-3.

【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当ANO时，方

-b±yJb2-4ac

程有两个实数根“；（2）牢记求根公式:x=-----------------

13.用适当的方法解下列方程:

（1）羯2斗号二刚

⑵x，=20x-2

【答案】（1）X|=3,X2="2;（2）,'

【详解】试题分析：（1）运用公式法求解即可；

（2）移项，化成完全平方直接开平方即可求解.

试题解析：Va=2,b=-5,c=3

.•・A=b2-4ac=（-5）2-4x2x3=l>0

.5±1

.・x=-----

2

即xi=3,X2=2;

⑵移项得：x2-2y/2x+2=0

:,/-2岳+（应）2=0

即：（X->/2）2=0

解得：%=%=&.

考点：1.解•元二次方程--公式法；2.解•元二次方程一直接开平方法.

14.已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,ZBAD=120°,求NABD的

度数.

【答案】30。

【详解】试题分析：根据已知及菱形的性质：邻角互补，可求得NABC的度数；进而

依据菱形的对角线平分一组对角，可得到NABD的度数.

解：•・•四边形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

/.ZABC=60°.（菱形的邻角互补）

•・•菱形的每条对角线平分一组对角,

•••NABD弓NABC=30。.

点评：此题主要考查菱形的性质的理解及运用.

15.按要求解方程：

⑴3/一4x-l=0（用配方法）

⑵』+3x+2=0（公式法）.

【答案】（1）%=昔立,9=冬哈

（2）为=-1,%2=-2

【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得:

（2）利用公式法解一元二次方程即可得.

（1）

解：3X2-4X-1=0,

41

移项、二次项的系数化为1,得d—=g

33

442Y7

配方，得—x+—=—+—

3939

开平方，得工-2=±包,

33

解得土也，

33

所以方程的解为玉=当乙为=三2.

（2）

解：X2+3X+2=0,

方程中的4=1力=3,c=2,

则方程根的判别式为△=从-4农=32-4x1x2=1,

所以x二士至三二小也二上,

2a2x12

所以方程的解为占=T,X2=-2.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题关键.

16.如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例y=&（火为常数，口后0）的图象交于

X

A(l,a),B两点.

(I)求反比例函数的表达式及点8的坐标；

(2)①在x轴上找一点P,使RA+P3的值最小，求满足条件的点P的坐标;

②在x轴上找一点M,使|MA-MB|的值为最大，直接写出M点的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)作点B关于x轴的对称点。，连接40,交k轴于点尸，此时阴+PB的值最小：

(3)直线)，=・x+4与X轴的交点即为M点，此时IM4-M8I的值为最大，令y=0,求

得x的值，即可求得M的坐标.

【详解】解：(1)把点A(1,fl)代入一次函数y=-x+4,得。=3,

・・・A(1,3),

把点A(1,3)代入反比例y=&,得2=3,

x

，反比例函数的表达式)，=：3,

'y=-x+4

联立13，解得：

y=-

X

故B(3,1).

(2)①作点8关于x轴的对称点。，连接40,交X轴于点P,此时附+PB的值最小

：.D(3,-1)

，〃+〃=3\m=-2

。I，解得:，

｛3w+/?=-1[n=5

，直线4。的解析式为y=・2x+5,令y=0,则

点坐标为(g,0)；

②直线y=-x+4与x轴的交点即为M点，此时的值为最大,

令y=0,则x=4,

・・.M点的坐标为(4,0).

【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌

握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题.

17.在矩形ABC。中，AB=3,AD=9,对角线AC、BD交于点0,一直线过。点分

别交40、BC于点E、F,且EO=4,求证：四边形AFCE为菱形.

【答案】见解析

【分析】根据矩形的性质，可记得40EWC0F,从而得到四边形AFCE为平行四边

形，再由勾股定理，可得到AE=EC,即可求证.

【详解】证明：•••矩形A8CO,

/.AO=CO,AD//CD,

ZEAO=ZFCO,

在AAOE和,COF中，

ZAOE=ZC(?F

<AO=CO,

Z.EAO=ZFCO

：.AOE=.COFf

AE=CF,

又•・•AE//CF,

，四边形为平行四边形，

•・•矩形4BC。，

/.ZEDC=90°,AB=CD,

又・.・旗=3,AD=9,ED=4,

:.AE=9—4=5,

EC=4C^+E^=V3i+4I=5，

:.AE=EC,

・•・四边形A尸CE为菱形.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质

定理，菱形的判定定理是解题的关键.

18.已知关于%的方程/-辰女=0有实数根，求左的取值范围.

【答案】-2M2

【分析】根据根的判别式的意义得到△=卜>/^^7)2-软..0,还有被开方式衰+4..0,

然后解不等式组即可.

【详解】解：根据题意得△=卜/22+4『-4火..0且4+4..0,

解得：-2领k2.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程&+法+°=0(”0)的根与△

=〃一4四有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当△二()时，

方程有两个相等的两个实数根；当4<0时，方程无实数根，本题关键还应考虑被开方

式非负.

19.如图是由几个棱长为1cm的小立方块搭成的几何体从上往下看的平面图形，小立

方块中的数字表示该位置上小立方块的个数，求出这个几何体的体积.

【答案】这个几何体的体积是lOcn?.

【分析】先根据正方体的体积公式：V=L\计算出一个正方体的体积，再数出几何体

中小立方块的个数，相乘即可求解.

【详解】解：(Ixlxl)x(3+4+2+1)

=1x10

=10(cm3)

答：这个几何体的体积是10cm」.

【点睛】考查了由三视图判断匚何体，关键是熟悉正方体的体积公式，通过几何体中

小立方块的个数求得体积.

20.已知王、巧是方程3/—7、纵+1=0的两个根，求父三+再£的值.

47

【答案】y

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出百+2=辿，代入代数式

33

即可求解.

【详解】解：•・•/、巧是方程3/_764+1=0的两个根,

._1

••xt+x2=—^―，痞-§

X：%2+^1^2=NW(N2+V)

【点睛】本题考查了元二次方程根与系数的关系：若小七是元二次方程

or2+bx+c=O(a¥O)的两根，$+为二——

21.如图，在J13C中，。，E分别是4B,AC上的点，NAEO=NB,AD=2,AC=

3,ABC的角平分线A尸交OE于点G,交BC于点F.

⑴求证：,ADESAACB；

(2)求若的值.

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】(1)由相似三角形的判定方法可证AAOES/XACB；

(2)由相似三角形的性质可得/4OE=NC,由角平分线的性质可得ND4G=

ZCAF,可证AAOGs/kACF,可求解.

【详解】(1)证明：*：ZAED=/B,ZBAC=ZDAEt

：.AADE^^ACB；

⑵解：、：XKDESXACB、

/.NADE=NC,

〈A尸平分NBAC,

：.ZDAG=ZCAF,

•••△AQGs/MC凡

.AGAD

**AC'

*/AD=2,AC=3,

.AG2

*'AT=3*

・4G

•&-2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的

关键.

22.如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测

量学校体育馆的高度.若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体

育馆CD的高度.

□

□

□

【答案】CD=I2.

【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可.

【详解】解：

依题意得NE84=NOCA=90,又NA=NA,

AAAEB^AADC,

.ABBE2_1.5

CDCD2+14CD

则CD=12.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角

形.

23.如图，一次函数y=ar+。与反比例函数y=-(x>0)的图象在第一象限交于A,

8两点，点3的坐标为(4,2),连接。4,过点5作8O_Ly轴，垂足为。，交。4于

点C,且0C=C4.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式.

(2)根据图象直接写出关于工的不等式以的解集为.

Q

【答案】(1)反比例函数的表达式为丁=一，一次函数的表达式为y=-x+6；(2)0<x

x

V2或x>4.

【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再

用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)观察函数图象即可求解.

【详解】解：(1)如图，过点A作AN_Lx轴于点N,交BD于点E,

•・•点B(4,2)在反比例函数y="的图象上,

x

A=4x2=8,

Q

・••反比例函数的表达式为)，=2,

X

VB(4,2),

AEN=2,

•・・BD_Ly轴,OC=CA,

AAE=EN=-AN,

2

・・・AN=4,

，点A的纵坐标为4,

x

•・♦点A在反比例函数y=一图象上，

x

AA(2,4),

:一次函数的表达式为y=or+》，

A4a+b=2,2a+b=4,

••a=-1,b=69

・•・一次函数的表达式为y=-x+6；

(2)观察函数图象知，不等式ax+b-K<o的解集为：0〈xV2或x>4,

x

故答案为：0VxV2或x>4.

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，解本题

的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式.

24.一个人站在一盏路灯下，利用他在这盏路灯下的影子可以估算出路灯灯泡的高

度，请你设计一个估测方案.

【答案】见解析

【分析】如图，测出人的身高、人在这盏路灯下的影长、人到灯杆的距离，利用两个

相似直角三角形边长之间的比例关系即可求出路灯灯泡的高度.

【详解】如图，图中A8为路灯，OE为站在路灯下的人的高度，CD段为人影子的长

度，

•・,路灯AB和人垂直于地面BC,

/.AB//DE，aABC和△EOC为直角三角形,

：.ZCED=ZCAB(同位角相等)，

VZC=ZC,ZCDE=ZCBA,

A^ABCcEDC,

.ABED

',~BC~~DC'

己知人的高度ED,再测出OC,BC的长，

FD

则可得出=.

【点睛】本题考查的是投影与视图，可转化成几何题求解，解题的关键是熟练掌握相

似三角形的判定和性质.

25.在平面直角坐标系中，设一次函数y=m、+〃（m,〃为常数，且〃z工0,

加工一〃）与反比例函数的图象交于点出1,6）.

（1）若〃=57n；

①求m,n的值；

②当时，求为的取值范围；

⑵当点8（4,2）在反比例函数必=丝图象上，求/+的值.

X

【答案】（1）①〃=5,m=\®0<x<l

（2）20

【分析】（1）①根据题意得到用与〃的关系式，再结合〃=5小，求出胆、〃的值即

可；②分类讨论解不等式即可；

（2）根据题意得到m〃的值，再结合根+〃=6,利用完全平方公式即可求得病+〃2的

值.

【详解】（1）解：①内+〃（小，〃为常数，且机。0,加工一〃）与反比例函数

必=答的图象交于点A（l,6）,

/w+〃=6,

n=5m,

m+n=6

n=5m'

[m=\

解得《，

[n=5

n=5,m=\\

②、由①可知％=9，

x

当yN6时，y=->6,

2x

当x>0时，6>6x,

解得HL

.,.0<X<1；

当xv0时，6<6x,

解得X21,

•••x无解；

综上所述：当y>6时，求月的取值范围为

(2)点8(4,2)在反比例函数为=处图象上，

x

••%=8,

由(1)可知机+〃=6,

nt+rr=(m+n)2-2mn=62-2x8=20,

nr+〃2的值为20.

【点睛】本题考查了二元一次方程组，反比例函数性质，完全平方公式.熟练掌握完

全平方公式的变形以及反比例函数的性质是解决本题的关键.

26.已知函数y/=x+l和”=/+3x+c(c为常数).

(1)若两个函数图像只有一个公共点，求c的值；

(2)点4在函数》的图像上，点8在函数”的图像上，4,B两点的横坐标都为

m.若A,B两点的距离为3,直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范

围.

【答案】(1)c=2；(2)当c>5时，加有。个；当c=5时，机有1个；当一1VCV5

时，机有2个；当。=一1时，阳有3个；当cV—l时，机有4个

【分析】(1)只需求出丁尸”时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c值即可；

(2)根据题意，AB=I疗+2机+。一］|=3,分旭2+2^+。一1和机2+2用+。一1v

。两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可.

【详解】解；(1)根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，

则方程/+3x+c=x+l有两个相等的实数根，

△=/>2—4ac=22—4(c—1)=0,

：.c=2；

(2)由题意，A(m,m+\),B(m,w24-3/n4-c)

,.AB=I-+36+<?—/n-1I=Im2-^-2m+c-1I=3,

①当wi2+2zn+c_1>0时，/n2-F2/n+c—1=3>即机2+2,〃+。-4=0,

△=22—4(c—4)=20—4c,令A=20—4c=0,解得：c=5,

・••当cV5时，△>(),方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=5时，△=(),方程有两个相等的实数根，即机有1个；

当c>5时，△V0,方程无实数根，即加有0个；

②当m2+2?n+c—1<0时，62+2机+c—1=—3,即tn2+2m+c+2=O,

△=22—4(c+2)=—4c­4,令A=-4c—4=0,解得：c=—1,

・••当cV-l时，△>(),方程有两个不相等的实数根，即m有2个；

当c=-l时，△=(),方程有两个相等的实数根，即m有1个；

当c>一1时，AV。，方程无实数根，即机有0个；

综上，当c>5时，机有0个；

当c=5时，机有1个；

当一1VCV5时，机有2个；

当c=-l时，m有3个；

当cV-l时，m有4个.

【点睛】本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、

坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根治关系：△>0,方

程有两个不相等的实数根，△=0,方程有两个相等的实数根，△V0,方程无实数根.

27.用适当的方法解下列方程：

⑴，2¥-8=0;

(2)X2-X-4=0.

【答案】(1)X=4,七二一2

【分析】(1)根据因式分解法可以解答此方程;

(2)根据公式法可以解答此方程

【详解】(1)解：x2-2x-8=0,

A(x-4)(x+2)=0,

x-4=0或x+2=0,

解得：％=4,X2=-2

(2)解：「x2-x-4=0,

•b=・l,c=-4

D=(-l)2-4创(-4)=17>0

.1±V17

..x=---------

T1

1+V171-V17

222

【点睛】本题考查解一元二次方程，解题关键是明确解一元二次方程的方法.

28.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香，“华”、“一”的四个小球，除字

不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为;

（2）从中随机取出两球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成

“华一”的概率.

【答案】（1）7；（2）

46

【分析】（1）根据概率公式计算即可；

（2）画出树状图计算即可；

【详解】（1）由题可得，球上的汉字刚好是“书''的概率为9：

故答案是：-J-：

（2）根据题意画出树状图如下：

21

则取出的两个球上的汉字能组成“华一''的概率为77=二.

126

【点睛】本题主要考查了概率公式和树状图法求概率，准确画图计算是解题的关键.

29.“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD,如

图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9

米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门

EF,求AB的长度为多少米？

m

////////////////

A\D

【答案】3

【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，人8=*米，贝ijBC=(10-2x)米，再

根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可.

【详解】解：设AB=x米，则BC=(9+l-2x)米，

根据题意可得，x(10-2x)=12,

解得xi=3,X2=2,

当x=3时,AD=4<5,

当x=2时，AD=6>5,

•・•可利用的围墙长度仅有5米,

AAB的长为3米.

答：AB的长度为3米.

【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程

是解题的关键.

30.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,E是BC的中点,45=5,BC=12,

CD=4近,NC=45。，点P是5c边上一动点，设的长为x.

(1)当x的值为时，以点RARE为顶点的四边形为平行四边形；

(2)点P在边上运动的过程中，以尸,ARE为顶点的四边形能否构成菱形？试说明

理由.

【答案】⑴1或11

(2)能，理由见详解

【分析】(1)若以点RARE为顶点的四边形为平行四边形，那么AO=PE=5,可

有两种情况：当点P在点E左恻时和点P在点E右侧时，依次求解即可获得答案；

(2)点尸在边上运动的过程中，以RARE为顶点的四边形能构成菱形.当

8P=11时，四边形为平行四边形，根据已知条件计算出0P=40=5,即可证

明四边形物”为菱形.

【详解】(1)解：若以点RARE为顶点的四边形为平行四边形，那么

AD=PE=5f

可有两种情况：

①当点P在点E左侧时,

YE是的中点，8c=12,

BE=—BC=6,

2

:.BP=BE-PE=6-5=\^

②当点尸在点E右侧时，

可有8尸=8E+?E=6+5=ll.

・••当x的值为1或11时，以点P,AZ),E为顶点的四边形为平行四边形.

故答案为：1或11；

(2)点尸在8C边上运动的过程中，以RARE为顶点的四边形能构成菱形,

理由如下：

①当点尸在点E左侧时，如下图，过点。作OHJLBC于点H,

bPEHC

*：CD=4&,4=45。，

:.ZCDH=90°-ZC=45°,

；・4CDH=4C,

:・CH=DH,

2222

在RtACD/7中，由勾股定理可得CH+DH=2CH=CD=(4&『=32,

:・CH=DH=4,

•・•£是8C的中点，BC=12,

：.CE=-BC=6,

2

JEH=CE-CH=6-4=2,

，在RtZXOEH中，DE=ylEH2+DH2=722+42=2^»

AD^DE,

即此时以RARE为顶点的四边形不能构成菱形；

②当点P在点E右侧时，如下图，过点。作O"_L5C于点”，

由(1)可知，当8尸=11时，四边形AEPD为平行四边形,

此时OH=C”=4,CP=BC—BP=12—11=1,

:.HP=CH-CP=47=3,

工在Rt二OPH中，DP=ylDH2+HP1=V42+32=5»

・•・DP=AD=5,

・•・四边形AKP。为菱形.

综上所述，点尸在8C边上运动的过程中，以P,AO,E为顶点的四边形能构成菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、勾股定理、

等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

31.如图1,在正方形48co中的边8上取一点N,连结AN,过点8作8G_LAN交

AN于点G.

(1)求证：ND4N=ZABG；

(2)如图2,过点C作CEJ_fiG交BG于点E,过点。作。尸_LCE交CE于F,点M

为DF与AN的交点,若A8=5,AG=3,求四边形G同M的面积：

(3)如图3,正方形对角线交于点O,若AG=2,GO=2应，求正方形ABC。边

长.

图1图2图3

【答案】(1)见解析；(2)S正方形磔松=1；(3)边长为2国

【分析】(1)利用等角的余角相等，即可证明结论；

(2)利用“AAS”证明，再根据勾股定理求得AM=G6=4,即可求

解；

(3)过。作。M垂直AN于M,连结OM,利用“SAS”证明AGg-AWO,再推出

3GoM为等腰直角三角形，求得GM的长，再在直角三角形ADM中，利用勾股定理

即可求解.

【详解】(1)•・•四边形A3CO是正方形，

ZD=ZBAD=90°,

■:/NAD+ZGAB=90°,ZABG+ZBAG=90°,

：.ZDAN=ZABG；

(2)VZAGB=90°=ZGEF,

:.AN//CE,

/.ZDFE=90°=ZE>A^4,

在^ABG和ADAM中，

ZAGB=ZDAM=90°

Z.ABG=Z.DAM,

AB=AD

：.^ABG^DAM(AAS)

•**AM=GB=VAB2-AG2=V52-32=4：

AGA/=AAf-AG=4-3=l,

同理EG=GM=Mb=EF=l,且NGEF=90°,

・•・四边形GEFM是正方形，

S正方彩GEFM=1；

(3)过。作OM垂直AN于M,连结QM,

由(2)得AG=OM,

•：ZNDM+ZDNA=9^,/DAN+功NA=9(T,

：・4NDM=ADAN,

JZ.GAO=45°-ZNAD=45°-ANDM=NODM,

在aAGO和ADMO中,

AG=DM

<ZGAO=ZMDO,

AO=DO

:..AGO^-DMO(SAS),

：・GO=MO,NGOA=NMOD,

:.ZGOM=ZAOD=90°,

.•.一GOM为等腰直角三角形，

・二GM=>lGO2+MOZ=V(2V2)2+(272)2=4，

即AM=2+4=6,

而DM=AG=2,

•*-AD=4AM2+DM?=V62+22=2y/\0•

【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角

形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形

的性质是解题的关键.

32.如图，已知正方形A8CO的边长为4的，点E从点A出发，以kvn/s的速度沿着

折线运动，到达点C时停止运动；点尸从点8出发，也以lcm/s的速度沿

着折线BfCf。运动，到达点。时停止运动.点E、尸分别从点A、8同时出发，设

运动时间为，（S）.

（1）当，为何值时，E、尸两点间的距离为26cm.

（2）连接。石、AF交于点M,

①在整个运动过程中，CM的最小值为cm.

②当时，此时，的值为.

【答案】（1），为2+近,2-近,G+五,6-应时，E、"两点间的距离为

2疯加；（2）①2石-2；②2或8.

【分析】（1）分情况讨论确定E,F的位置，根据勾股定理列式求解即可；

（2）①根据题意分析出点M的运动轨迹是圆，然后即可确定答案；②求证

△DAM^ACDN,△DAE^ADMA,分情况讨论即可.

【详解】（1）当04f«4时，由题可知AE=f,BF=t,

:.BE=4T,

中,8炉+8尸=（25/5）;

A（4-r）2+z2=12,

解得：Zj=2+>/2,t2=2—>/2,

当4＜，W8时，由题可知5石=/-4,CF=/-4,

：.CE=3-t,

△CE"中，CE2+C尸2一，

J(r-4)2+(8-r)2=12,

解得：r3=6+V2,。=6-五，

综上所述：，为2+&，2-V2.6+V2»6-夜时，E、F两点间的距离为26cm.

(2)①26-2

D

VE,F两点速度相同，

AAE=AF

又「正方形ABCD中，AD=BA,ZDAB=ZB=90°,

AADAE^ABAF(SAS)

AZADE=ZBAF

ZBAF+ZDAF=90°

:.ZADE+ZDAF=90°

ZDMA=90°

•••点M在以O为圆心，AD为直径的圆上，

连接OC交圆O于点此时CM长度最短，

在RSDOC中，CO=CO=\lDC2+DO2=742+22=2>/5

ACM的最小值为2石-2.

②2或8

如下图，过点C作CN_LDE

由①可知NDMA=90。

VZADM+ZCDN=90°,ZADM+ZDAM=90°

・・・NCDN=NDAM

在4ADM和^CDN中

/DMA=ZCND

■ZDAM=NCDN

AD=CD

/.△ADM^ACDN(AAS)

/.DN=AM

XVCM=CD=4且CN±DE

AM1

ADM=2DN=2AM,即——=-

DM2

■:ZDMA=90°

，/DAE:/AMD,ZADM=ZEDA

AADAE^ADMA

.AEAM\

t=AE=2

当点E到达点C,点F到达点D,此时AM=4,此时t=8

综上所述，当CM=4cm时，此时t的值为2或8.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质和应用以及勾股定理的应用，

并根据点的运动轨迹求线段最小值，综合性比较强，能够充分调动所学过的知识是解

题的关键.

33.阅读下面材料：

学习了《平行四边形》单元知识后，小东根据学习平行四边形的经验，对矩形的判定

问题进行了再次探究.

以下是小东的探究过程，请你补充完整：

（1）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0.补充下列条件中能判断

平行四边形ABCD是矩形的是（请将所有正确答案前的字母填写在横线上）

A.AC0BDB.AC=BDC.AD=DCD.0DAB=0ABC

（2）小东进一步探究发现：

在通过对“边、角、对角线''研究矩形的判定中，小东提出了一个猜想：“一组对边相

等，一组对角均为直角的四边形为矩形.”请你画出图形，判断小东的猜想是否是证明

题.如果是真命题，请写出证明过程，如果不是，请说明理由.

【答案】（1）B：（2）猜想：是真命题

【详解】（1）VAC=BD,NDAB二NABC,

，平行四边形A8CO是矩形；

故选B；

（2）是真命题

作图：

:.ACD^,ABC,（或者通过勾股定理）

AD=BC,

・•・四边形ABC。是平行四边形

•.*ZB=ZD=90°

・•・平行四边形A8CQ是矩形.

34.计算

⑴解方程：2%+6=（X+3）2

（2）画出图中空心圆柱的主视图、左视图、俯视图.

【答案】（1）内=-3,x2=-l；

（2）见解析.

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可;

(2)根据简单几何体的三视图的画法作图即可.

(1)解：2(x+3)=(x+3)22(X+3)-(X+3)2=0(x+3)[2-(x+3)]=0A

(x+3)(-l-x)=0,，x+3=0或-l-x=O,解得：N=-3,x2=-\.

(2)解：空心圆柱的主视图、左视图、俯视图如下图所示：

主视图左视图

俯视图

【点睛】本题考查解一元二次方程，圆柱体的三视图，解题的关键是掌握因式分解法

解一元二次方程，简单几何体的三视图画法.

35.如图，E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点，若EF=EC,且EF_LEC.

(1)求证：AE=DC；

(2)已知DC=&,求BE的长.

【答案】(1)证明见试题解析；(2〉2.

【分析】(1)由矩形的性质及已知条件可得到△AEFgZX