自动控制原理课件-第二章-线性系统的数学模型

第二章

线性系统的数学模型§2-1线性系统的输入-输出时间函数描述§2-2

线性系统的输入-输出传递函数描述

§2-3

非线性数学模型的线性化§2-5

框图及其简化方法§2-4

典型环节的数学模型§2-6

信号流程图

描述线性输入-输出关系

—数学模型

1、时间函数

描述

2、传递函数

描述

3、方框图

描述

4、信号流图

描述

涉及的是线性系统

非线性系统必须

进行线性化处理

系统很复杂，为方便研究，也为了与实际对应，通常将复杂系统分解为若干典型环节的连接

数学模型的定义数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程解析法:

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。实验法:

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。建立数学模型的方法：数学模型的形式时间域： 微分方程差分方程 状态方程复数域： 传递函数结构图频率域： 频率特性§2-1线性系统的输入-输出时间函数描述线性系统的输入-输出微分方程描述的建立

m-K-f系统

*mBKFKFBy(t)F(t)机械旋转系统微分方程的一般形式：

R-L-C系统§2-2线性系统的输入-输出传递函数描述

传递函数是怎样定义的

传递函数的传递系数、零点、极点

系统特征方程

拉氏变换及其反变换拉氏变换的定义拉氏变换的计算拉氏变换求解方程设函数f(t)满足：

1f(t)实函数；

2当t<0时，f(t)=0；

3当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。拉氏反变换的定义拉氏变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数

拉氏变换的计算

几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1Sinωt1(t)1/scosωtt1/(s+a)拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理拉氏反变换

1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：2.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和§2-2线性系统的输入-输出传递函数描述

R(S)—输入函数的拉氏变换C(S)—输出函数的拉氏变换S—拉氏算子在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：定义

M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点则微分方程为：例1：RC电路如图所示依据：基尔霍夫定律消去中间变量对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：可用方框图表示3)传递函数是复变量s的有理真分式函数，即m

n。（m、n分别为分子、分母的最高阶次。）4)若输入为单位脉冲函数，即r(t)=

(t)，则R(s)=L[r(t)]=1，则这说明此时系统的g(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们都可以用来表征系统的动态特性。5)闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。1)传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间的一种关系式。2)传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关基本知识：单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程§2-3非线性数学模型的线性化

设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的

。A点附近有点为

，当很小时，AB段可近似看做线性的。AByx0§2-3非线性数学模型的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。例，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为

K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。§2-4典型环节的数学模型

比例环节如：刚性杠杆、理想运放、特征：输入输出成比例，不失真，无延迟惯性环节特征：输出不能立即跟随输入的变化,T越大，响应越慢。τ--惯性环节时间常数

控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的环节模型，通过串、并联组成复杂系统。积分环节积分环节的动态方程τ越大，响应越慢τ—积分时间常数，积分运算放大器微分环节特征：输出与输入的变化成正比带惯性微分环节实际：一阶微分环节RC微分网络振荡环节1>ζ>0特征：具有一般系统的特征，输出会振荡RLC串联网络电路设0<ζ<1，K=1,输入信号r(t)=1(t)，R(s)=1/s，求阶跃响应。令无阻尼自然振荡频率阻尼自然振荡频率如果令振荡环节的单位阶跃响应纯滞后环节如：传送带、间隙等特征：输出是输入的延迟G（s）=当输入信号变化时其输出信号比输入信号迟后一定的时间惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节！串联纯微分环节§2-6方框图及其简化方法

怎样用方框图描述系统？

方框图怎样变换和简化？

§2-6方框图及其简化方法方框图表示法

箭头表示信号以及指示信号流动方向方框表示系统或环节其传递函数写在框内33负载效应问题上图中，后一个网络的输入接到前一个的输出，由于存在负载效应，就不能进行上述的变换，即方框图变换

一、环节串联G(s)=G1(s)*G2(s)C(s)=G2(s)*C1(s)=G2(s)*G1(s)*R(s)G(s)=G1(s)+G2(s)二、环节并联G(s)=G1(s)-G2(s)-三、反馈回路的简化四、框图的变换和简化

相加点和分支点的移动相加点前移相加点后移分支点前移分支点后移相加点的变位例2-6-1系统结构图的简化简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G2H1G1G3综合点移动向同类移动G1G2G3H1G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1方块图化简§2-7信号流程图信号流图表示方法？

梅逊公式的内容及用法？

第七节信号流程图一、基本概念信流图是线性代数方程组结构的一种图形表达。设一组线性方程式如下信流图的表示形式如图二、常用术语节点：表示变量或信号的点。支路：起源于一个节点，终止于另一个节点，这两个节点之间不包含或经过第三个节点。出支路：离开节点的支路。入支路：指向节点的支路。源(节)点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输入，如x0。汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，如x6

。开通道：如果通道从某节点开始终止在另一节点上，而且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。混合节点：节点既连接入支路又连接出支路。闭通道：如果通道的终点就是通道的始点，并且通道中每个节点只经过一次，该通道称为闭通道或反馈环、回环、回路等。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回环。前向通道：在开通道中，从源节点开始到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道，称为前向通道。不接触回环：如果一些回环没有任何公共节点，就称它们为不接触回环。支路传输：两个节点之间的增益。通道传输或通道增益：沿通道各支路传输的乘积。回环传输或回环增益：闭通道中各支路传输的乘积。输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可点变为输出节点。混合节点的消除回路的消除自回路的消除串联支路的合并并联支路的合并信号代数运算法则五、梅逊(Mason)公式及其应用梅逊公式为：T—从源节点到任何节点的传输；Pk—第k条前向通道的传输；Δ—信号流图的特征式ΣL1—为所有不同回环的传输之和；ΣL2—为任何两个互不接触的回环传输的乘积之和；ΣL3—为任何三个互不接触的回环传输的乘积之和；ΣLm—为任何m个互不接触的回环传输的乘积之和；Δk—与第k条前向通道不接触的Δ

。梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[]N(s)梅逊公式求C(s)(1-G1H1)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=1△1=1+G2H2(1+G2H2)P1△1=?+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H3△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)△2=1P2△2=?(-G3G2H3)R(s)[]N(s)P1=–G2H3△1=1(–G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––++前向通路两条信号流图afbgchefhgahfced(1g)–bdabc

例2—7—2