数学教学设计：离散型随机变量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教学设计2．1.1离散型随机变量eq\o(\s\up7(）,\s\do5(整体设计))教材分析本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上,学习随机变量和分布列的一些知识．学习这些知识后，学生将能解决类似引言中的一些实际问题．随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量,随机变量能够反映随机现象的共性,有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上（一种对应关系）是一致的．随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．重点是怎样用数学的方法来研究随机事件(即先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量)，并在此过程中深刻体会和领悟随机变量在研究随机现象中的工具和桥梁作用．课时分配1课时

教学目标知识与技能1．理解随机变量的意义；2．学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子;3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．eq\o（\s\up7()，\s\do5（教学过程)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（引入新课))统计表明:商场内的促销活动可获得经济效益2万元;商场外的促销活动,如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？为了解决类似问题,从今天开始学习本章内容——随机变量及其分布列．设计意图:设置悬念，营造一种神秘气氛,容易吸引学生注意力,调动学生学习兴趣，揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性,点出了本章内容．活动设计：复习回顾概率有关知识．概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量．随机试验是指满足下列三个条件的试验：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．（本部分可由教师提示、学生完成）提出问题：同学们能举出一些随机试验的例子吗？并说明该随机试验的所有可能结果．学情预测：学生容易举出抛硬币、掷骰子等试验,然后教师可根据例子实施引导、启发．活动结果：(以下为可能出现的例子)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2,3,4,5,6来表示;某人射击一次,可能出现命中0环，命中1环,…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0，1，…，10这11个数表示；从装有4个黑球，3个红球的篮子中任意拿出2个球，可能出现哪些情况?提出问题：这些随机试验，有哪些共同点?活动结果：随机试验中可能出现的每种结果都可以用一个数来表示．(由学生完成)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知）)提出问题：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2，3，4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢?学情预测：此时有的学生会产生疑虑，不敢作答,教师根据学情引导．活动结果：抛一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上．（也可用另外两个数如1、2分别表示正面向上和反面向上,通过准确、恰当的抽象，可使问题简单化，这正是数学的魅力所在)教师指出：在前面掷骰子和抛硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．(给出定义)定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y,ξ，η，…表示．随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3)在试验之前不可能确定取何值．提出问题：随机变量和高一学习的什么概念有类似的地方吗？(函数或映射）活动结果：随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数．在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．（学生为主，教师完善)教师：例如,从含有4个黑球3个红球的篮子中，任意抽取两个球，可能含有的红球数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量,其取值范围是{0,1,2}．提出问题：利用随机变量可以表达一些事件．例如｛X＝0}表示“抽出两个黑球"，｛X＝2}表示“抽出2个红球"等．你能说出{X<1｝在这里表示什么事件吗?“抽出1个以上黑球”又如何用X表示呢？（学生基本能顺利完成）教师指出：红球数X是一个随机变量，其取值是0、1、2，可以一一列举（给出定义)．定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．提出问题：离散型随机变量的例子很多．例如某人一分钟内眨眼次数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，2…；同学们还能举出哪些例子？学情分析：有的学生在举例时会错举出一个连续型随机变量来，借机发问，例如：提出问题：灯泡的使用寿命X是离散型随机变量吗？活动结果：灯泡的使用寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量．定义3：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．提出问题：同学们还能举出哪些例子？活动结果:如某林场树木最高达30米,则林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0，30]内的一切值(或者其他）．教师指出：在研究随机现象时，有时可根据需要恰当地定义随机变量．例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0，寿命〈1000小时；,1，寿命≥1000小时。）)与电灯泡的寿命X相比较，随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．提出问题：同学们还能举出哪些离散型或连续型随机变量的例子？你能否总结出二者的区别与联系？活动结果：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出(由学生完成）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知））教师进一步指出：(1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币,ξ＝0,表示正面向上，ξ＝1，表示反面向上．（2）若ξ是随机变量，η＝aξ＋b，a，b是常数，则η也是随机变量．(可通过拓展练习来说明）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（运用新知))例1一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4，5。现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ;写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．解:(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2，3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3，4或2,3，4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2,5或1,3，5或1，4,5或2，3,5或3,4,5。例2抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ〉4”表示的试验结果是什么？解:因为一枚骰子的点数可以是1,2，3，4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ〉4”就是“ξ＝5”．所以,“ξ〉4"表示第一枚为6点,第二枚为1点．【变练演编】写出某用户的电话在单位时间内收到的呼叫次数η的可能值．解:η可取0，1,…，n，…。η＝i,表示被呼叫i次，其中i＝0,1，2，…。变式：一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同），设他拨到正确号码的次数为X，写出随机变量X的可能值．解：X可取1,2,3，…,24.【达标检测】1．有下列问题：①某路口一天经过的车辆数为ξ；②某地半年内下雨的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④某人一生中的身高为ξ；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示运动员在射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（)A．①②③⑤B．①②④C．①D．①②⑤2．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n，若P(ξ〈4）＝0。3，则（)A．n＝3B．n＝4C．n＝10D．不能确定3．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为（）A。eq\f(11，12)B。eq\f(31,36）C。eq\f(5,36)D.eq\f(1，12)答案：1.D2。C3.Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结）)1．离散型随机变量、连续型随机变量的概念；2．随机变量ξ是关于试验结果的映射，即每一个试验结果对应着一个实数；3．随机变量ξ的线性组合η＝aξ＋b（其中a、b是常数)也是随机变量．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（补充练习)）【基础练习】1．写出下列各随机变量可能的取值：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张,被取出的卡片的号数X。解：X＝1,2,3,…,10.（2)某一自动装置无故障运转的时间ξ。解:ξ取（0，＋∞)内的一切值．【拓展练习】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计）．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km。某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定,每停车5分钟按1km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量．（1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：（1）依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18，5×（18－15)＝15。所以,出租车在途中因故停车累计最多15分钟．eq\o（\s\up7(），\s\do5(设计说明)）本节主要采用教师提出问题引导，学生思考归纳的形式,让学生经历概念的形成过程,避免了以往由老师叙述概念条文,然后讲解例题的教学模式,以实际问题为向导，引导学生分析问题、归纳问题的共性，提炼出随机变量的概念．eq\o（\s\up7()，\s\do5(备课资料))备选例题：1．把一枚硬币先后抛掷两次,如果出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，其他结果得0分，用X表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值