数学教材习题点拨：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习1．证明：先证明：首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式是an＝a1＋（n－1)d.（1）当n＝1时，左边＝a1，右边＝a1＋（1－1）d＝a1，因此，左边＝右边．所以，当n＝1时命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即ak＝a1＋（k－1）d。那么，ak＋1＝ak＋d＝a1＋（k－1)d＋d＝ak＋[(k＋1）－1］d。所以，当n＝k＋1时命题也成立．根据(1）和(2)，可知命题对任何n∈N＊都成立．再证明：该数列的前n项和公式是Sn＝na1＋eq\f（nn－1,2)d。（1）当n＝1时，左边＝S1＝a1，右边＝1×a1＋eq\f(1×1－1，2)d＝a1，因此，左边＝右边．所以，当n＝1时命题成立．(2）假设当n＝k时命题成立，即Sk＝ka1＋eq\f（kk－1,2)d.那么,Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝ka1＋eq\f（kk－1，2)d＋a1＋[(k＋1)－1]d＝(k＋1）a1＋k［eq\f(k－1,2）＋1］d＝（k＋1）a1＋eq\f(kk＋1,2)d。所以，当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和（2），可知命题对任何n∈N＊都成立．点拨：利用数学归纳法证明时,应注意分两步作证，尤其要注意第二步．2．证明：先证明首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1.(1)当n＝1时，左边＝a1，右边＝a1qk－1＝a1，因此，左边＝右边．所以,当n＝1时命题成立．（2)假设当n＝k时命题成立,即ak＝a1qk－1。那么，ak＋1＝akq＝a1qk－1·q＝a1q（k＋1）－1.所以，当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和（2)知，命题对任何n∈N＊都成立．再证明该数列的前n项和公式是Sn＝eq\f(a11－qn，1－q)（q≠1）．（1）当n＝1时，左边＝a1，右边＝eq\f(a11－q，1－q)＝a1，因此，左边＝右边．所以，当n＝1时，命题成立．（2)假设n＝k时,命题成立，即Sk＝eq\f（a11－qk，1－q)，那么,Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝eq\f(a11－qk，1－q)＋a1qk＝eq\f(a11－qk＋1,1－q）.所以,当n＝k＋1时,命题也成立．由（1)和(2)知，命题对于任何n∈N＊都成立．习题2。3A组1．证明：(1)①当n＝1时，左边＝1，右边＝eq\f（1,2）×1×(1＋1)＝1.因此，左边＝右边．所以当n＝1时，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋3＋…＋k＝eq\f(1，2）k（k＋1)，那么，1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝eq\f(1，2）k（k＋1)＋（k＋1)＝eq\f(1,2）（k＋1）（k＋2)＝eq\f(1,2)（k＋1）[(k＋1）＋1］，所以当n＝k＋1时,等式也成立．根据①②可知，等式对任何n∈N＊都成立．(2）①当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，因此，左边＝右边．所以当n＝1时，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－1)＝k2.那么，1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋（2k＋1)＝k2＋(2k＋1）＝(k＋1)2.所以当n＝k＋1时，等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n∈N*都成立．（3)①当n＝1时,左边＝1，右边＝21－1＝1,左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，那么，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n∈N＊都成立．2．解：S1＝eq\f(1，1×2）＝1－eq\f（1，2），S2＝eq\f（1，1×2）＋eq\f(1，2×3）＝（1－eq\f（1,2）)＋(eq\f（1,2）－eq\f（1,3))＝1－eq\f(1,3）,S3＝eq\f（1，1×2)＋eq\f(1，2×3)＋eq\f(1，3×4）＝1－eq\f(1，3）＋（eq\f（1,3）－eq\f（1,4)）＝1－eq\f(1,4）.由此猜想Sn＝1－eq\f（1，n＋1).证明如下:（1）当n＝1时，左边＝S1＝eq\f(1，1×2）＝1－eq\f(1,2)＝eq\f（1，2），右边＝1－eq\f(1，1＋1）＝1－eq\f(1,2)＝eq\f（1,2），因此，左边＝右边．所以当n＝1时,猜想成立．(2）假设当n＝k时，猜想成立，即eq\f（1,1×2)＋eq\f（1，2×3)＋eq\f（1,3×4）＋…＋eq\f（1,kk＋1)＝1－eq\f(1，k＋1）。那么，eq\f（1，1×2)＋eq\f（1，2×3）＋eq\f(1,3×4）＋…＋eq\f(1，kk＋1）＋eq\f（1，k＋1k＋2)＝1－eq\f（1，k＋1)＋eq\f（1,k＋1k＋2)＝1－eq\f（1，k＋1）（1－eq\f（1,k＋2））＝1－eq\f（1,k＋1)×eq\f(k＋2－1，k＋2）＝1－eq\f(1,k＋2)。所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)和（2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．B组1．证明：(1)当n＝1时,左边＝eq\f(1,3)，右边＝eq\f(1,2×1＋1)＝eq\f（1,3）,左边＝右边，等式成立．（2）假设当n＝k时，等式成立，即eq\f（1，1×3）＋eq\f（1，3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2k－12k＋1)＝eq\f(k，2k＋1)，那么,eq\f（1,1×3）＋eq\f(1，3×5)＋eq\f(1，5×7)＋…＋eq\f(1，2k－12k＋1）＋eq\f(1，［2k＋1－1]［2k＋1＋1］)＝eq\f(k，2k＋1)＋eq\f(1,［2k＋1－1］［2k＋1＋1])＝eq\f（k,2k＋1）＋eq\f（1,2k＋12k＋3)＝eq\f(2k＋1k＋1，2k＋12k＋3）＝eq\f（k＋1，2k＋1＋1)。所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2）可知等式对任意n∈N＊都成立．2．证明：（1）当n＝1时，左边＝1×1＝1，右边＝eq\f(1,6）×1×(1＋1）×(1＋2)＝1，因此，左边＝右边．所以，当n＝1时等式成立．(2）假设当n＝k时等式成立，即1×k＋2（k－1)＋3×（k－2)＋…＋k×1＝eq\f(1，6)k（k＋1)（k＋2)．那么，1×（k＋1）＋2×[(k＋1）－1］＋3×［（k＋1）－2］＋…＋(k＋1)×1＝［1×k＋2×（