2023版新高考新教材高考总复习 第11章 计数原理 真题及答案

第十一章计数原理

11.1排列、组合

三年模拟

一、选择题

1.（2022西安二模,5）现有语文、数学、英语、物理各1本书，把这4本书分别放入3个不

同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法种数为

（）

A.18B.24C.30D.36

答案C①将4本书分为3组.语文和数学不在同一个组.有C-l=5种分组方法,②将分

好的3组放到3个抽屉里.有用=6种安排方法，则有5x6=30种放法，故选C.

2.（2022湘豫名校联考,6）由数字123组成六位数（数字可以不完全使用），若每个数字最多

出现三次，则这样的六位数的个数是（）

A.420B.450C.510D.520

答案C所求的六位数分三类，第一类:一个数字出现0次,另外两个数字各出现3次，有

QC=60个;第二类:一个数字出现1次,一个数字出现2次,一个数字出现3次，有

6=360个;第三类:每个数字出现2次，有C峭=90个.所以共有60+360+90=510

个满足题意的六位数.故选C.

3.（2022河南调研,6）为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更

加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目，现安排甲、乙两所高

校与三家用人单位开展项目对接.若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案

共有（）

A.15种B.16种C.17种D.I8种

答案B每所高校至少对接两家用人单位有4种情况:甲对接2家,乙对接2家;甲对接2

家,乙对接3家;甲对接3家,乙对接2家:甲对接3家,乙对接3家.共有

种情况.故选B.

4.（2022陕西榆林二模,11）为有效阻断新冠肺炎疫情传播途径，构筑好免疫屏障，从2022年

1月13日开始，某市启动新冠疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民、要求尽

快接种，该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫

苗接种工作,每个医院至少2名至多4名志愿者则不同的安排方法共有（）

A.2940种B.3000种

C.3600种D.5880种

答案A根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类:第一类，人数分别为2,24第二

类，人数分别为3,3,2.故不同的安排方法共有',飞2940种.

5.（2022河南调研,6）为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更

加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目，现安排甲、乙两所高

校与三家用人单位开展项目对接,若每所高校至少对接两家用人单位.则不同的对接方案

共有（）

A.15种B.16种C.17种D.I8种

答案B每所高校至少对接两家用人单位有4种情况:甲对接2家,乙对接2家;甲对接2

家,乙对接3家;甲对接3家,乙对接2家;甲对接3家,乙对接3家.共有Q喙2UC+C已16

种情况.故选B.

6.（2022陕西榆林二模.11）为有效阻断新冠肺炎疫情传播途径，构筑好免疫屏障.从2022年

1月13日开始，某市启动新冠疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民,要求尽

快接种，该市有3个疫苗接种定点医院,现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫

苗接种工作,每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2940种B.3000种

C.3600种D.5880种

答案A根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类:第一类，人数分别为2,24第二

类，人数分别为3,3,2.故不同的安排方法共有I.\'》=2940种.

7.（多选）（2021江苏启东中学检测,9）在100件产品中，有98件合格品,2件不合格品.从这

100件产品中任意抽出3件则下列结论正确的有（）

A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有QI种

B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有G4种

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（CW+QQi）种

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（&»-£）种

答案ACD若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品.即抽出的3件产品中有2件合

格品」件不合格品,则合格品的抽法有％也不合格品的抽法有G种,则恰好有1件是不

合格品的抽法有弓%K则A正确.B错误.

抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况：

抽出的3件产品中有2件合格品J件不合格品，有G&种抽法;抽出的3件产品中有1件

合格品,2件不合格品，有抽法，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有

（CWi+QQa）种,C正确：

使用间接法:在100件产品中任选3件，有We种抽法，其中全部为合格品的抽法有*种，

则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(UmU)种,D正确.故选ACD.

二、填空题

8.(2022天津七中线上测试,14)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则不同的选法共有_

种,2人所选课程至少有一门相同的概率为.

5

答案36，

解析由分步乘法计数原理得.不同的选法共有W%36种.

V2人所选课程至少有一门相同.有

6Q=30种队,2人Sf选课程至少有一门相同的梃率为署=：

9.(2022天津耀华中学统练(10),11)学校分配甲、乙、丙三人到7个不同的社区参加社会

实践活动，每个社区最多分配2人，则有种不同的分配方案(用数字作答).

答案336

解析由题意分成两类：

第一类，这7个社区中恰有3个社区各有一人参加社会实践活动，相应的分配方案有

C空=210种：

第二类，这7个社区中有1个社区有两人参加社会实践活动,另一个社区有一人参加社会

实践活动，相应的分配方案有UG•碌126种.

根据分类加法计数原理.分配方案共有210+126=336种.

一题多解根据分步乘法计数原理，甲、乙、丙三人到7个不同的社区参加社会实践活动

总分配方案共有73=343种，其中三人分配到同一社区的分配方案有7种，故满足题意的分

配方案有343-7=336种.

10.（2022红桥一模.14）从8名老师和6名学生中选出5名代表、要求老师和学生各至少一

名，则不同的选法共有和.

答案1940

C5C5

解析不加限制选这5名代表洪有14种选法，其中5名代表全是老师的选法有1种,5名

q

代表全是学生的选法有々种,・・・5名代表中老师和学生各至少有一名的不同的选法有

14-‘1940种.

解后反思正难则反，如果直接分类种数较多厕用补集的思想，用总的选法种数减去不合

要求的选法种数.

11.（2022四川诊断性测试,16）电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起

观影,他们要求坐在同一排，则恰有两个连续的空座位的情况有种.

答案720

解析先将4位同学全排列，有

种方法,4位同学形戌5个空潜两个座好相障喟成一个整体，与其余两佰座曲入空中而于其余两个空，

磋

4

种放法，则总的坐法有A：.卷720种.

[]

第十一章计数原理

H.1排列、组合

五年高考

考点两个计数原理、排列与组合

1.（2022新高考11,5,5分，应用性）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，

若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

答案B

2.（2021全国乙理,6,5分，应用性）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、

冰球和冰壶4个项目进行培训.每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志

愿者则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

答案C

3.（2020新高考H,6,5分,应用性）3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学

生只去1个村,每个村至少去1人，则不同的分配方案共有（）

A.4种B.5种C.6种D.8种

答案C

4.（2020新高考1,3,5分,应用性）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.每名同学只去

1个场馆.甲场馆安排I名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

答案C

5.（2020课标II理,14,5分,应用性）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只

去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

答案36

6.（2018课标I理,15,5分，应用性）从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛.且至少有1

位女生入选,则不同的选法共有种.（用数字填写答案）

答案16

7.（2018浙江,16,4分，应用性）从1,3,579中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共

可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

答案1260

8.（2017天津理,14,5分，应用性）用数字1,2,3,4,5,678,9组成没有重复数字,且至多有一个

数字是偶数的四位数.这样的四位数一共有个.（用数字作答）

答案1080三年模拟

A组考点基础题组

考点两个计数原理、排列与组合

1.（2022福建4月百校联合测评,5）共有5名同学参加演讲比赛,在安排出场顺序时，甲、乙

排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为（）

、51065

答案A

2.（2022辽宁名校联盟二轮复习联考（一）,4）从3名高一学生,3名高二学生中选出3人，分

别负责三项不同的任务.若这3人中至少有一名高二学生，则不同的选派方案共有（）

A.54种B.108种C.114种D.120种

答案C

3.（2022山东烟台、德州一模,7）“碳中和”是指企业、团体或个人等在一定时间内直接或间

接产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式,以抵消自身产

生的二氧化碳排放量.实现二氧化碳"零排放'.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到

A,B,C三地指导“碳中和”工作.每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派

方法的种数为（）

A.90B.150C.180D.300

答案B

4.（2022广东湛江、肇庆三模,6）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀教师到甲、

乙、丙三地进行为期一年的支教活动,每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选

派方案共有（）

A.18种B.12种C.72种D.36种

答案D

5.（2022河北衡水中学六调,7）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数

学领先地位作为他们的战略需求现某大学为提高数学系学生的数学素养.特开设了“古

今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程,要求数学系每位同学

每学年至多选3门，大一至大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修

方式有（）

A.60种B.78种C.84种D.144种

答案B

6.（2021上海杨浦一模［5）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数

为（）

A.U-12B.C-8C.4-6D.C-4

答案A

B组综合应用题组

时间:25分钟分值40分

一、单项选择题（每小题5分.共30分）

1.（2022辽宁鞍山一中4月线上模拟,6）为有效阻断新冠肺炎疫情传播途径.构筑好免疫屏

障.从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针

条件的市民,要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3

个医院协助新冠疫苗接种工作,每个医院至少2名至多4名志愿者.则不同的安排方法共

有（）

A.2940种B.3000种C.3600种D.588。种

答案A

2.（2022辽宁名校联盟3月联考,3）已知甲、乙、丙、丁4名志愿者参加2022年冬奥会的

3个项目的培训，每名志愿者只能参加I个项目的培训，则甲、乙参加同1个项目培训的概

率为（）

I吗"Dl

/>>

答案B

3.（2022福州一模.6）从集合｛1,2,3｝的非空子集中任取两个不同的集合A和B,若AnB*o,

则不同的取法共有（）

A.42种B.36种C.30种D.15种

答案C

4.（2022湖南邵阳一模,6）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志

愿服务小组,分配到4个大门进行行李搬运志愿服务,若每个大门至少分配1个志愿服务

小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（）

A.65B.125C.780D.I560

答案D

5.（2022重庆巴蜀中学3月适应性月考（八）,7）从编号分别为I、2、3、4、5、6、7的七个

大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（）

-R-C-D.-

A7553

答案A

6.（2020山东潍坊临胸模拟,8）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求

有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）

A.24种B.30种C.36种D.48种

答案D

二、多项选择题（共5分）

7.（2022山东滨州邹平一中3月月考,9）如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道

路网，其中Ai,Az,A，A是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网M,N处的

甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同

时出发，直到到达N,M处为止，则下列说法正确的有（）

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过A3到达N处的方法有9种

C.甲、乙两人在A3处相遇的概率为言

41

D.甲、乙两人相遇的概率为近

答案BD

三、填空题（共5分）

8.（2022八省八校联考二/5）某学校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的

兴趣拓展活动.现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动,

由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动则四人中恰有两人参

加同一活动的概率为.

72

答案125

一年创新

（多选）（202253原创题）免费师范生政策从2007年实施起,惠及了不少高考学子，同时也让

他们的就业有了更好的保障.现有某省4名免费师范毕业生毕业要回本省的甲、乙、丙三

所学校任教，则下列结论正确的是（）

A.所有不同分配方案共4?种

B.若丙学校最多需1名免费师范生.则所有不同分配方案共48种

C.若每所学校至少分配1名免费师范生，则所有不同分配方案共36种

D.若每所学校至少分配1名免费师范生，且免费师范生A必须到甲学校，则所有不同分配

方案共12种

答案BCD

[]

第十一章计数原理

11.1排列、组合

考点两个计数原理、排列与组合

1.（2016四川理45分）用数字123,4,5组成没有重复数字的五位数.其中奇数的个数为（）

A.24B.48C.60D.72

答案D奇数的个数为K=72.

2.（2015四川理65分）用数字0,1,23,4.5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（）

A.144个B.120个C.96个D.72个

答案B数字0,12345中仅有0,2,4三个偶数.比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4

开头的偶数又分以0结尾与以2结尾.有2=48个洞理，以5开头的有3r=72个于是共有48+72=120个，

故选B.

评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.

考有学生分析问题、解决问题的能力.

3.（2014大纲全国理55分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.

则不同的选法共有（）

A.60种B.70种C.75种D.150种

答案C从6名男医生中选出2名有fd种选法，从5名女医生中选出I名有dr种选法向分步乘法计数原理

得不同的选法共有4­4=75种.故选C.

4.（2014辽宁理,6,5分）6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A.I44B.120C.72D.24

答案D先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置.再把三人带椅子插放在四个位置.共有个=24

种放法，故选D.

评析本小题主要考查排列组合的应用及逻辑思维能力.解决不相邻问题常采用插空法.

5.（2014四川理65分）六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙、最右端不能排甲，则不同的排法共有

（）

A.192种B.216种C.240种D.288种

答案B若最左端排甲，其他位置共有.=120种排法:若最左端排乙.最右端共有4种排法，其余4个位置有

「=24种排法，所以共有120+4x24=216种排法.

6.（2014重庆理,9,5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，

则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有F『=144种，再剔除小品类节

目相邻的情况.共有『•'•"=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.

7.（2013山东理.10,5分）用0J…9十个数字.可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243B.252C.261D.279

答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9X10X10=900.

蛆成没有重复数字的三位数的个数为9x9x8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.故选B.

评析本题考查分步乘法计数原理、考查学生的推理运算能力.

8.（2012课标理25分）将2名教师,4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动.每个小

组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A.12种B.10种C.9种D.8种

答案A2名教师各在I个小组,给其中I名教师选2名学生，有巧种选法，另2名学生分配给另I名教师，

然后将2个小组安排到甲、乙两地、有,种方案.故不同的安排方案共有电利选A.

评析本题考查了排列组合的实际应用.考查了先分组再分配的方法.

9.（2012辽宁理55分）一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起厕不同的坐法种数为（）

A.3x3!B.3X（3!）3

C.（3!）4D.9!

答案C第1步:3个家庭的全排列，方法数为3!;

第2步:家庭内部3个人全排列，方法数为3!洪3个家庭，方法数为（3!））•.总数为（3!a（3!）3=（3!尸,故选C.

评析本题主要考查计数原理的基础知识.考查学生分析、解决问题的能力.

10.（2012安徽理.10,5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换.任意两位同学之间最多交换一次.进

行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换则收到4份纪念品的同学人数为

（）

A.I或3B.1或4C.2或3D.2或4

答案D由题意及F15知只需少交换2次.记6位同学为Ai、A2、A3、As、As、A6,不妨讨论①少交

换2次.如Ai未与Az、A3交换，则收到4份纪念品的同学仅为A2、A32人;②AI、A2各少交换1次，如AI与

A3未交换,A2与A4未交换，则收到4份纪念品的同学有4人，为Ai、A。、A3、4.故选D.

评析本题考查了计数原理等知识.考查学生应用数学知识,分类讨论思想、利用符号标记具体分析是JI质利解

题的关键.

11.（2016课标11,5,5分）如图.小明从街道的E处出发.先到F处与小红会合.再一起到位于G处的老年公寓参加

志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A.24B.18

答案B分两步，第一步，从E-F,有6条可以选择的最短路径;第二步，从F-G.有3条可以选择的最短路径.

由分步乘法计数原理可知有6x3=18条可以选择的最短路径.故选B.

思路分析小明到老年公寓,需分两步送行，先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数.再利用分步

乘法计数原理即可得结果.

12.（2016课标用,12,5分）定义“规范O数列"{a"如下:共有2m项，其中m项为0,m项为L且对任意kW

2m,a1,a2,...,ak中0的个数不少于I的个数.若m=4.则不同的“规范01数列”共有（）

A.I8个B.16个C.14个D.I2个

答案C当m=4时，数列{an）共有8项，其中4项为0,4项为I,要满足对任意kW&a®…ak中。的个数不

少于1的个数，则必有ai=0,aK=l,a2可为0,也可为1.（1）当aa=0时,分以下3种情况:①若“3=0.则a4,a5.a6,a?中任

意一个为0均可.则有r=4种情况;②若Ml加=0,则35,36,37中任意一个为0均可，有^=3种情况;③若

（4、_

23=1,34=1.则as必为0,36田中任一个为C均可.有r=2种情况:（2）当a2=lB寸,必有a3=0.分以下2种情况:①若

m=0,则a5.a6,a7中任一个为0均可，有33种情况:②若a«=l,则as必为。视皿中任一个为0均可、有、=2种情

况.综上所述、不同的“规范01数列"共有4+3+2+3+2=14个.故选C.

思路分析根据题意可知ai=（U8=l.进而对az,a3a取不同值进行分类讨论（分类要做到不重不漏）.从而利用

分类加法计数原理求出不同的"规范0：数列”的个数

13.（2018浙江,164分）从1,3,579中任取2个数字.从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有

重复数字的四位数.（用数字作答）

答案1260

解析本小题考查排列、组合及其运用考查分类讨论思想.

含有数字0的没有重复数字的四位数共有中万个=540个，不含有数字0的没有重复数字的四位数共有

^^=720个.故一共可以组成540+723=1260个没有重复数字的四位数.

易错警示数字排成数时.容易出错的地方：

（1）数字是否可以重复：

（2）数字。不能排首位.

14.（2015广东理,12,5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条半业留言.那么全班共写了

条毕业留言.（用数字作答）

答案1560

解析•・同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言.且全班共有40人,二全班共写了40x39=1560条毕业留

15.（2013北京理,12,5分）将序号分别为1,2,345的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人

的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.

答案96

解析5张参观券分成4份,1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分

给4人则不同的分法种数是4y=96.

16.（2013大纲全国理.14,5分）6个人排成一行、其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作

答）

答案480

解析先将除甲、乙两人以外的4人排或一行，有婿=24种排法，再将甲、乙插入有4种，所以6人排成一

行，甲、乙不相邻的排法共有24x20=48。种.

17.（2013浙江理,14,4分）将A,B.C,D,E,F六个字母排成一排，且A.B均在C的同侧，则不同的排法共有

种（用数字作答）.

答案480

解析从左往右看.若C排在第1位洪有排法医=120种:若C排在第2位.共有排法q•'=72种:若C排在

第3位.则A、B可排C的左侧或右侧洪有排法〜-F+F-F=48种:若C排在第4,5.6位时,其排法数与排

在第3,2,1位相同.故共有排法2*（120+72+48）=480种.

18.（2011北京理,12,5分）用数字2,3组成四位数.且数字2.3至少都出现一次,这样的四位数共有

个.（用数字作答）

答案14

解析解法一:数字2只出现一次的四位数有工4个:数字2出现两次的四位数有5=6个:数字2出现三次

的四位数有r=4个.故总共有4+6+4=14个.

解法二油数字2,3组成的四位数共有2三16个,其中没有数字2的四位数只有1个.没有数字3的四位数也只

有I个，故符合条件的四位数共有16-2=14个.

评析本题考查排列组合的基础知识.考查分类讨论思想，解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等

于不同元素的组合数.属于中等难度题.

11.2二项式定理

三年模拟

一、选择题

1.（2022皖北协作体联考,7）若（2x0y2）n的二项展开式中某项为bx6y6则b=（）

A.15B.40C.60D.80

答案B（2x3+y2）n的二项展开式的第r+l项为，（2x3严⑺“q3n^y2［令

3n-3r=6,2r=6,得n=5,r=3,/.b=22=40,故选B.

2.(2022安徽江南十校一模.5)已知(x-m)(x+2)$=ao+aix+a2x2+...+a6x6,其中m为常数，若

a4=30,则ao=()

A.-32B.32C.64D.-64

答案A•.,(x-m)(x+2)s=ao+aix+a2x2+...+a6x6,其中m为常数,「.包=-22-m-2=30,

:.m=1,

再令x=0,得刖=-32,故选A.

3.（2022陕西六模,5）在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常

数项是（）

取

A.24W

若住一城的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则『8,则G-劫的展开

答案B

式的通项为T田=3

24-49◎。二7,故选B.

令丁=0,解得r=6,则其常数项为（・1卢

4.（2022成都二诊,8）已知函数f（x）=10x+3cosx在x=0处的切线与直线nx-y=O平行，则

（l+x+x2）（l-x）n的展开式中含x2项的系数为（）

A.26B.46C.36D.56

答案Cf'(x)=10-3sinX,则「(0)=10.由题意，得n=「(0)=10,则

(1+X+X?)(1-X)n=(1+x+x?)(1-x>°=(1-x)l°+x(1-x)l0+x2(1-X)所以展开式中含X2项的系数为

4(-1)2+0"-1y+Ce(-1)°=45-10+1=36.

5.(2022西安二模,3)(真3的展开式中，第5项为常数项，则n=()

A.8B.6C.7D.10

2n

答案BT5=(Mx)^-^=16<5x2n£由2n-12=0得n=6,故选B.

6.(2022海淀一模⑷在(5-x)4的展开式中M的系数为()

A.-lB.lC.-4D.4

2+:|&

44kkk4

答案BTk+i=)-(-x)=(-l)”工2,则k=0,故x?的系数为(-])«=],故

选B.

7.（2022东城期末,4）在二项式的展开式中，含X，项的系数为（)

A.5B.-5C.10D.-10

=(-2)kx5-2k,Sk=l时,T2=(-2)i"x3=・10x3.，含x3项的系数为

答案DTk+i

-10.故选D.

8.（2022东城二模,3）在（l・2x＞的展开式中，第4项的系数为（）

A.-80B.80C.-10D.10

q

答案AT3+I=（-2X）3=-80X）故选A.

9.（2022房山一模.4）若\"的展开式中的常数项为-20,则a=（）

A.2B.-2C.1D.-1

答案DTk+尸'x4.Q=ak'x&2k,令6-2k=0,得k=3,常数项为4+曰34=20&3=-20,

・・・a=-l,故选D.

的展开式中*用度的系数利为1

10.（2022人大附中统练一,4）若二项式匕764.则展开式

中二项式系数最大的项为（）

5，

A.-2

答案A由题意.令x=l,则‘9=*解得n=6.Tk+G-k

•（-X）卜,展开式中二项式系数

最大的项为第4项，故令k=3,则丁4=爆0.故选A.

11.（2022丰台二模⑷在的展开式中，常数项为（）

A.-240B.-60C.60D.240

答案DTk+1=%产（S"f（-2）kx⑵3）令i2-3k=0,得k=4,所以常数项为

TS=G-2)4=240,故选D.

12.（2022海淀二模,2）在（l-2x）3的展开式中,x的系数为（）

A.-2B.2C.-6D.6

C*C*

答案CTk+尸T(-2x)k=T(.2)kx上令k=l得T"尸4<(・2x)=6x,故选C.

13.（多选）（2021河北唐山一模）若（一,9的展开式中x3的系数是-160,则（）

AA.a=-2

B.所有项系数之和为1

C.二项式系数之和为64

D.常数项为-320

答察ABC(-9的展开式中含X3的项为C(X2)3.G)，所以

C©—3*®*「，故A正确:由A知GW=(/-3,令x=l,得所有项系数

之和为(1・2)6=1,故B正确;的展开式的二项式系数之和为26=64,故C正确:

喙(9=

的常数项为=2：C=240,故D错误.故选ABC.

14.(多选)(2022江苏百校联考,101若"一?的展开式中二项式系数之和为an,各项系数之

和为bn,各项系数的绝对值之和为Cn,则下列结论正确的是()

A.anbn=Cn

B.存在neN",使得bn+c/an

C,二的最小值为2

D.bi+2b2+3b3+...+nbn<2

匕,，G尸匕人因为a„b=2n-

答案AB依题意可得an=21b产n◎1©二所以A中结论正

确.

f_©■+©'fiy(^-+-

因为、一士=匕，+匕,『弘1,所以B中结论正确.

3*2嗔且―等号.所以C中结论2

b_G)\

因为Dn-，=1nN3时b+2b2+3b3+...+nbn>2,所以D中结论不正确.故选AB.

二、填空题

6322江西金太阳联考.⑶（'-J的展开式的中间项为

20

答案-无

（/一^的展开式的中间项为CX2）3（9=~天.

解析

16.（2022安徽蚌埠质检,15）（X2+3X+1）$的展开式中父的系数为

答案330

XXXX<25rr3

解析(2+3+1)J[2+(3+1)]5的展开式的通项为Tr+i=?(x)(3x+l).x可由1个x\l个

3x,3个1相乘得到，即©・3x3=60x3,

q

也可由3个3x,2个1相乘得到，即（3x）3=270x3,

故（x2+3x+l）s的展开式中父的系数为60+270=330,

故答案为330.

17.（2022通州一模,11）在（l-xp的展开式中父的系数是.

答案-10

pfcpfcC3

解析Tk+尸飞(-x)£\・l)k・xk.令k=3,则T3+产”(-1)43=10乂3,所以x3的系数是-10.

18.(2022平谷零模,11的展开式中，常数项为.（用数字作答）

答案12

2<

解析丁卜+产中'产©=2久当当k=2时，常数项为T3=24=12.

19.（2022顺义一模.12）（，+3展开式中,x的系数为

.（用数字作答）

答案10

解析I”展开式的通项为Tk+产x-k=Fxgk,令10-3k=l,解得k=3,故X的系

q

数为=10.

20.（2022石景山一模,12）在'〃的展开式中炉的系数是.

答案35

解析Tk+I=°（x3产.©="火25,令2l-4k=5,得k=4,・・.T4+尸Gx5=35..・.xS的系数是35.

21.（2022门头沟一模,11）在（2x2-l）5的展开式中,x“的系数为.（用数字作答）

答案-40

qa

解析由题意得Tk+尸25*（_］加网,令io-2k=4,得k=3.所以x4的系数为^22X（-1）3=-40.

22.（2022密云期末,12）设（2x+l）n的展开式的二项式系数之和为32,则n=.其展开

式的第三项为.

答案5;80x3

解析由题意得2n=32,得n=5,其展开式的第三项为F（2xpl2=80x3.

23.（2022西城二模,11）二项式（l+x）n（nwN*）的展开式中x?的系数为21,则n=.

答案7

TQ=2T网幻

解析Tk+尸由题意得'N=21且nwN*,可得廿7.

24.（2022昌平二模,12）在（"-君的展开式中，常数项为.（请用数字作答）

答案60

f.AY0/拉令6_?

解析Tk+尸（2x产=2飞_"6'2k=0.得k=4,所以常数项为

2

T4+I=2-（-1）^=60.

[]

11.2二项式定理

五年高考

考点二项式定理

1.（2020北京,3,4分.基础性）在（返2/的展开式中父的系数为（）

A.-5B.5C.-10D.10

答案C

2.（2020课标I理.8,5分，综合性力”（x+y/的展开式中x3y3的系数为（）

A.5B.10C.15D.20

答案C

3.（2019课标川理.4,5分,综合性）（1+2X2）（1+X）4的展开式中x'的系数为（）

A.12B.16C.20D.24

答案A

4.（2022新高考I,13,5分，基础性）\”（x+y）8的展开式中x?y6的系数为（用数字

作答）.

答案-28

5.（2022浙江,12,6分，基础性）已知多项式（X+2）（X-1）4=ao+aix+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5,KO

az=,31+32+33+34+35=.

答案8;-2

6.（2020课标IH理.14,5分,基础性17的展开式中常数项是（用数字作答）.

答案240

7.（2020天津,11,5分，基础性）在（X+?）的展开式中*的系数是.

答案10

8.（2021浙江,13,6分，综合性）已知（x-l）3+（x+l）4=x'+aix3+a2x2+a3x+a4厕

ai=;a2+a3+a4=.

答案5;10

9.（2019浙江,13,6分，综合性）在（仿■xp的展开式中，常数项是，系数为有理数的项

的个数是.

答案|6卷5

10.（2020浙江,12,6分，综合性）二项展开式（1+2x）5=ao+a।x+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5,WJ

a4=,ai+a3+a5=.

答案80:122

三年模拟

A组考点基础题组

考点二项式定理

1.（2022江苏泰州二调,5）设（l+3x『=ao+aix+a2x2+…+anX”,若n=（）

A.6B.7C.10D.II

答案B

2.（2022湖北九师联盟3月质检.3）若I3的展开式中第3项为常数项,则该展开式中各

项系数的和为（）

A.729B.64C.lD.-1

答案C

3.（2022辽宁名校联盟二轮复习联考（一）,7）已知（ax2+l）、”的展开式中各项系数的和

为-3,则该展开式中x的系数为（）

A.40B.-40C.-120D.-240

答案C

4.（2020河北邯郸空中课堂备考检测,6）（l-2x）6的展开式的第三项为（）

A.60B.-120C.60x2D.-120x3

答案C

5.（2021山东枣庄二模.6）若x6=&）+ai（x+l）+a2（x+l尸+…+M（X+1）6,则a3=（）

A.20B.-20C.15D.-15

答案B

6.（2022湖北十一校联考二,14）8■除以9的余数是.

答案8

B组综合应用题组

时间:30分钟分值45分

一、单项选择题（每小题5分，共15分）

1.（2022河北九师联盟3月质检联考（一模）,4汜知（2+x）5=ao+aix+a2x2+a3x3+a4x4+a5X，,则

33=（）

A.10B.20C.40D.80

答案C

2.（2022湖北八市联考.7）已知（2x-y）s的展开式中x2/的系数为80,贝ij