2024-2025学年上海市浦东新区建平实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年上海市浦东新区建平实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本大题共6题，每题4分，满分24分1．（4分）如果，那么等于（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：92．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．（4分）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，若想得到这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列的（）A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm4．（4分）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行（）A．1 B． C． D．55．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A． B． C． D．6．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE、AF、EF，那么下列结论中：①△ABE与△EFC相似；③△ABE与△AFD相似：④△AEF与△EFC相似；⑤∠AEF＝90°（）个．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：本大题共12题，每题4分，满分48分7．（4分）线段a＝2cm，线段b＝8cm，则线段a、b的比例中项是cm．8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上量得港珠澳大桥长5.5厘米，则大桥的实际长度为千米．9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2．（保留根号）10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，则a+b﹣c＝．11．（4分）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为．12．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，若AD＝12，BE＝20，那么CE的长为．13．（4分）如图，G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N．14．（4分）如图，在▱ABCD中，连接AC，AE：DE＝1：2，连接BE交AC于点F△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是．15．（4分）如图，CD⊥DB，AB⊥DB，CD＝4，DB＝14，当DP＝时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．16．（4分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，连接BG，交AE于点F，若，则的值为．17．（4分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠BED＝90°，EB＝ED，若BC＝3，则△ABE的面积为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D、E分别是边BC、BA的中点，点D、E的对应点分别是点D1、E1．如果点E1落在线段AC上，那么线段CD1＝．三、解答题：19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，满分78分19．（10分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，求证：△ACP∽△PDB．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点D，EC和BD相交于点O，且∠ABD＝∠ACE，求的值．21．（10分）有一块三角形余料ABC，它的边长BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，其余两个顶点分别在AB，AC上，如图，此时22．（10分）如图，△ABC中，M为AC边的中点，且AE＝AB，求证：BC＝2CD（请用4种方法解决）．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．（1）求证：CD2＝BC•AD；（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，求证：＝．24．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0）（1）求△ABC的面积；（2）如果动点D在直线BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；（3）如果动点P在直线y＝x+3上，且△ABC与△POB相似，求点P的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．

2024-2025学年上海市浦东新区建平实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6题，每题4分，满分24分1．（4分）如果，那么等于（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【解答】解：∵，∴b＝a，∴＝＝＝．故选：D．2．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【解答】解：∵AC：BC＝3：1，∴设AC＝8x，则BC＝x，则AB：BC＝2：1．故选：A．3．（4分）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，若想得到这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列的（）A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm【解答】解：设△DEF的另两边为xcm，ycm，若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，则：＝＝，解得：x＝5，y＝2；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.7cm，则：＝＝，解得：x＝5.2，y＝4.5；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，则：＝＝解得：x＝，y＝；故选：C．4．（4分）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行（）A．1 B． C． D．5【解答】解：如图，OB＝1.5，OC＝10，∵PB∥AC，∴，∴，∴OP＝8．∴点P表示的数是5．故选：D．5．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴DE∥BC，故A正确；∵，∴DE∥BC，故B正确；∵，∴DE∥BC，故D正确，故选：C．6．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE、AF、EF，那么下列结论中：①△ABE与△EFC相似；③△ABE与△AFD相似：④△AEF与△EFC相似；⑤∠AEF＝90°（）个．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：设正方形的边长为4a，则AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∵E为BC中点，DF＝8FC，∴BE＝CE＝2a，CF＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴，，，∵AE2+EF2＝AF2＝25a8，∴△AEF为直角三角形，∠AEF＝90°；∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，故①正确；∵，∴△ABE∽△AEF，故②正确；∵，∴△ABE和△AFD不相似，故③错误；④正确；∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个，故选：B．二、填空题：本大题共12题，每题4分，满分48分7．（4分）线段a＝2cm，线段b＝8cm，则线段a、b的比例中项是4cm．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是xcm，则x2＝2×7，解得x＝±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为：4．8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上量得港珠澳大桥长5.5厘米，则大桥的实际长度为55千米．【解答】解：由题意，根据比例尺的性质可得，大桥的实际长度为：5.5÷＝5500000（cm）．∴5500000cm＝55km．故答案为：55．9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝2﹣1．（保留根号）【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP；则AP＝AB＝﹣6．故答案为：﹣1．10．（4分）若a：b：c＝2：3：4，且a+b+c＝18，则a+b﹣c＝2．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：6，设a＝2k，b＝3k，∵a+b+c＝18，∴5k+3k+4k＝18，解得：k＝8，∴a＝4，b＝6，∴a+b﹣c＝8+6﹣8＝8．故答案为：2．11．（4分）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为6．【解答】解：设较大的三角形的周长为x，∵两个相似三角形的面积的比是4：9，∴这两个相似三角形的相似比为5：3，∴这两个三角形的周长比为2：7，∵较小的三角形的周长为4，∴，∴x＝6，故答案为：8．12．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，若AD＝12，BE＝20，那么CE的长为5．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD＝12，∴，∴BC＝2CE，∴BE＝4CE，∵BE＝20，∴CE＝BE＝5，故答案为：5．13．（4分）如图，G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N1：6．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴AM是△ABC的中线，MG：GA＝1：2，∴BM＝MC，MG：MA＝4：3，∵GN∥AC，∴MN：MC＝MG：MA＝1：6，∴MN：BC＝1：6，故答案为：4：6．14．（4分）如图，在▱ABCD中，连接AC，AE：DE＝1：2，连接BE交AC于点F△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是11．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE：DE＝1：2，∴AE：AD＝8：3，∵AD＝BC，∴AE：BC＝1：4，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴，∴，＝3，∵S△BCF＝6，∴S△AEF＝1，∴S△ACD＝S△ABC＝S△BCF+S△AFB＝12，∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1＝11．故答案为：11．15．（4分）如图，CD⊥DB，AB⊥DB，CD＝4，DB＝14，当DP＝2或12或5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．【解答】解：∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP＝3或12；②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP＝4.6．∴DP＝2或12或8.6．故答案为：2或12或4.6．16．（4分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，连接BG，交AE于点F，若，则的值为．【解答】解：过E作EH∥AB，EH交BG于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴EH∥CD∥AB，∴△HEF∽△BAF，△BEH∽△BCG，∴＝，＝，∵点E是BC边上的中点，＝m+1，∴AB＝mEH，CG＝2EH，∴CD＝mEH，∴DG＝CD﹣CG＝mEH﹣8EH＝（m﹣2）EH，∴＝＝，故答案为：．17．（4分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠BED＝90°，EB＝ED，若BC＝3，则△ABE的面积为．【解答】解：作EF⊥AB于点F，∵∠BED＝90°，EB＝ED，∴EF＝BD，∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，∴BD•AB＝BC7＝18，∴△ABE的面积＝•AB•EF＝BD＝，故答案为：．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D、E分别是边BC、BA的中点，点D、E的对应点分别是点D1、E1．如果点E1落在线段AC上，那么线段CD1＝．【解答】解：∵点D、E分别是边BC，∴DE＝AC＝6，DE∥AC，∴DE＝BC＝2，∠BED＝∠BAC，∵将△BDE绕点B顺时针方向旋转，∴BE＝BE1，∠BE7D1＝∠BED＝∠BAC，∠BD1E6＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E1BD1，∴∠CBD5＝∠ABE1，在Rt△BDE和Rt△E1CB中，，∴Rt△BDE≌Rt△E1CB（HL），∴CE1＝BD＝7，∴AE1＝3，∵∠BD5E1＝∠BDE＝90°＝∠BCA，∴点B，点D1，点C，点E5四点共圆，∴∠BCD1＝∠BE1D6＝∠BAC，∴△BCD1∽△BAE1，∴＝，∴CD1＝×5＝，故答案为：．三、解答题：19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，满分78分19．（10分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，求证：△ACP∽△PDB．【解答】证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．20．（10分）已知：如图，在△ABC中，点D，EC和BD相交于点O，且∠ABD＝∠ACE，求的值．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴，∴，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∵，∴．21．（10分）有一块三角形余料ABC，它的边长BC＝120mm，高AD＝80mm．如果把它加工成矩形零件，其余两个顶点分别在AB，AC上，如图，此时【解答】解：∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∴＝，∴PQ＝，∴PN＝×2＝．∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，．22．（10分）如图，△ABC中，M为AC边的中点，且AE＝AB，求证：BC＝2CD（请用4种方法解决）．【解答】证明：方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，∵ME∥CF，∴＝，而M为AC边的中点，∴AM＝MC，∴AE＝EF，∵AE＝AB，∴EF＝ABAB，∴BF＝2EF，∵CF∥DE，∴＝＝2，∴BC＝4CD；方法二：过E作EN∥AC，交BD于N，∵EN∥AC，∴＝＝，∵AE＝AB，∴BE＝AB，∴＝＝，∴BC＝4NC，∵AC＝2MC，∴＝，∵MC∥EN，∴＝＝，∴DC＝2NC，∴BC＝2CD；方法三：过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴＝，而AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝8CD；方法四：过E点作EQ∥BD，交AC于Q，∵EQ∥BC，∴＝＝＝，∴BC＝6EQ，AC＝4AQ，∵AM＝CM，∴CM＝2MQ，∵EQ∥CD，∴＝＝4，∴CD＝2EQ，∴BC＝2CD．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．（1）求证：CD2＝BC•AD；（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，求证：＝．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠ACB，∠CDA＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠CDA＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°﹣∠ACD，∴∠DAC＝∠CDB，∴△DAC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝BC•AD．（2）∵∠BAF＝∠ADB，∠ABG＝∠DBA，∴△BAG∽△BDA，∴＝＝，∴＝，AB3＝BG•BD，∴＝＝．24．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0）（1）求△ABC的面积；（2）如果动点D在直线BC上，使得∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；（3）如果动点P在直线y＝x+3上，且△ABC与△POB相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0，则y＝2，∴B（0，3），∴OB＝5，令，y＝0，∴A（﹣3，2），∴OA＝3，∵点C的坐标是（1，8），∴OC＝1，∴AC＝OA+OC＝4，∴△ABC的面积＝AC•OB＝3×3＝6；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，∵B（5，3），0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∠CBO＝∠CAD，分两种情况：①当点D在x轴上方时，如图4，∵OA＝OB＝3，∠COB＝∠EOA，又∵∠CBO＝∠CAD，∴△CBO≌△EAO（ASA），∴OE＝OC＝1，∴E（3，1），设直线AE的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+1，联立y＝﹣3x+6得，解得，∴点D的坐标为（，）；②当点D在x轴下方时，如图2，同理得，E′（5，直线AE′的解析式为y＝﹣x﹣4，联立y＝﹣3x+3解得，∴点D的坐标为（，﹣）；综上，点D的坐标为（，，﹣）；（3）如图，过点P作PE⊥y轴于点E，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴PE＝BE，∵P在直线y＝x+3上，设P（x，x+3），∴PE＝BE＝|x|，∴PB＝|x|，①当△ABC∽△BOP时，∴，∴，∴x＝±7，∵﹣3＜x＜0，∴x＝﹣5，∴P（﹣2，1）；②当△A