专题114角平分线（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.14角平分线（分层练习）单选题1．（2021上·北京海淀·八年级北京二十中校考期中）如图，ABC中，AD是∠BAC的平分线，DEAB交AC于点E，若DE＝7，CE＝5，则AC＝（）A．11 B．12 C．13 D．142．（2024上·辽宁本溪·八年级期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．83．（2023上·安徽马鞍山·八年级校考期中）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论错误的是（

）A． B． C．平分 D．4．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，平分交于点，若，，，则的面积为（

）

A． B． C． D．5．（2021上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（

）A．65° B．60° C．55° D．50°6．（天津市西青区20232024学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论：①；②；③点到直线，直线，直线的距离相等；④．其中正确的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024上·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，点是的中点，平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（）

A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③8．（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线，分别交，于点P，D，连接．若点P到，的距离相等，则的度数为（

）A． B． C． D．9．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（

）A． B． C． D．10．（2023上·湖南株洲·八年级校考期末）如图，在等边中；在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．6填空题11．（2024上·上海·八年级校考期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于．12．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，在中，，为的垂直平分线，且，那么．13．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是．

14．（2024上·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为．15．（2023上·河南商丘·八年级校考期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则的长为．16．（2023上·八年级课时练习）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则．

17．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是外角平分线上一点，连接，，已知，则．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为．（1）如图1，当点P到，的距离与相等时，；（2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为．19．（2022上·福建福州·八年级校考期中）如图，，平分，平分，若，则．

20．（2023·北京·校联考模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为．

解答题21．（2022上·河北石家庄·八年级校联考期末）如图，在中，，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E．（1）求证：平分．（2）若，①求证：点E在的垂直平分线上；②若，求的长．22．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）阅读材料，完成下面问题：如图，点是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．（1）在直线上任取一点，画线段（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线．（4）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．（1）利用，可得到平分．请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；（2）求证．23．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为．（1）求证：；（2）判断是否垂直平分线段？并说明理由；（3）若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数．24．（2023上·湖北恩施·八年级统考期中）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明；变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．25．（2023上·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，P是线段上一个动点．（1）如图1，若平分，交于点F，求证：；（2）在（1）的条件下，若，求的长；（3）如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E．为的角平分线，连接，当时，求的长．26．（2023上·广东惠州·八年级统考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在中，平分，，求证：；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

（1）根据以上材料，任选一种方法证明：；（2）如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.参考答案：1．B【分析】首先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，进而有，从而利用求解即可．解：∵AD是∠BAC的平分线，．，，，．∵DE＝7，CE＝5，，故选：B．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握这些性质是关键．2．B【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值．解：由作图知，平分，过点D作于E，如图，∵，∴；∵，∴的最小值为3，故选：B．3．D【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定，首先证明，再在此基础上逐个去判断即可．解：，，即．在和中，，故选项A正确；，．，．，，故选项B正确；如图，过点作于点于点．，，，，，平分，故选项C正确；平分，，即，，故选项D错误．故选：D．4．B【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．解：作于，如图，

∵平分，，，∴，∴，，故选：．5．D【分析】过点E作EF⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF=EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC=80°，从而得到∠CAF=100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．解：如图，过点E作EF⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=x°，EM=EN，∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠EBC，EF=EN，∴EF=EM，∵∠BEC=40°，∴∠ABE=∠EBC=∠ECD–∠BEC=（x40）°，∴∠BAC=∠ACD–∠ABC=2x°（x°40°）（x°40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM=EF，∴Rt△EFA≌Rt△EMA（HL），∴∠FAE=∠EAC=50°．故选：D【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．6．D【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断①；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断②；根据角平分线的性质即可判断③；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断④．解：∵分别平分，∴，∵，∴，即，∴，故①正确；∵的两条角平分线，相交于点∴，∵，∴，∴，故②正确；∵分别平分，∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离，∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确；∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，故④正确；故选D．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键．7．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质；过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；根据点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确．解：如图，过E作于F，

∵，平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵点E是的中点，∴，而，∴，故③错误；在和中，，∴，∴，，，故②正确；∴，故④正确；∴，故①正确．综上，四个结论中成立的是①②④，故选：A．8．C【分析】由作图知垂直平分，证出；由P到，的距离相等得出平分，再根据内角和求出，进而求出结论．解：由作图知：垂直平分，，，到，的距离相等，，，平分，，，在中，，，，，．故选：C．【点拨】本题主要考查作图基本作图、等腰三角形性质、直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及角平分线的判定，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．9．C【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图：∵平分，平分，∴，，∴，又，，∴平分，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又平分，∴，∴，∴，∴，故选：．10．C【分析】本题考查了轴对称求最短路径问题，等边三角形的性质，尺规作角平分线；过点B作于点H，交于点，根据等边三角形的性质可得．作点H关于的对称点交于点N，连接，可得，证明点在点位置时，的值最小，最小值为，即可得到答案．解：如图，过点B作于点H，交于点，由作图可知，平分，，在等边中，，，∵,，，∵，，作点H关于的对称点交于点N，连接，∴，，点在点位置时，的值最小，最小值为．故选：C．11．/【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论．解：过点O作于点M，交于点N，如图所示：则，∵，∴，∴，∵、分别平分，，∵，∴，，∴，∴两平行线、之间的距离为．故答案为：．12．6【分析】如图，连接，则，，，由，，，可知是的平分线，则，由三角形内角和定理可求，根据，计算求解即可．解：如图，连接，∵为的垂直平分线，∴，，∴，∵，，，∴是的平分线，∴，∵，∴，∴，故答案为：6．【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键．13．【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系．解：∵由作图痕迹得点在的平分线上，∴点到轴和轴的距离相等，∵，且点在第二象限，∴，即．故答案为：．【点拨】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．14．【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解．解：作，如图所示：由题意得：平分，∴∵∴∵的面积为2，∴的面积为，∴的面积为，故答案为：15．3【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，分别平分的外角，且，可得，根据等角对等边得出，根据即可求得．解：∵分别平分的外角，，，∴，∴，，，，故答案为：3．16．．【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解．解：如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，

∵点，是内角与外角的三等分线的交点，∴是的平分线，又∵，，∴，同理可得，∴，又∵，，∴是的平分线，∵，，∴，∵点，是内角与外角的三等分线的交点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．17．67°【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点作于，于，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．解：过点作于，于，平分，，在上截取，连接，在和中，，，在四边形中，∵，∴在四边形为正方形，，，平分，，，平分．∴∴故答案为：67°18．3或或或【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论．（1）连接，证明，得出，根据即可求出结果；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．解：（1）连接，如图所示：∵点P到，的距离与相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．（2）设点的运动速度为，①当点在上，点在上，时，，∴运动时间为。则，解得；②当点在上，点在上，时，，∴运动时间为，则，解得：；③当点P在上，点在上，时，，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；④当点P在上，点Q在上，时，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；∴运动的速度为或或或．故答案为：或或或．19．【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可．解：如图，过点作于，

∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，同理：，设，，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．20．6【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积．解：由作法得平分，则点D到、的距离相等，∴的面积的面积，∵的面积为4，∴的面积是6．故答案为：6．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．21．（1）证明见分析；（2）①证明见分析；②【分析】（1）证明得到，即可证明平分；（2）①先根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义推出，则，据此可得点E在的垂直平分线上；②根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再求出，则．解：（1）证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴平分；（2）解：①：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴点E在的垂直平分线上；②∵在中，，∴，在中，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，证明是解题的关键．22．（1）画图见分析，；（2）见分析【分析】（1）根据作图得出，进而根据即可求解；（2）根据作图可得平分，，根据角平分线的定义以及等边对等角得出即可得出．解：（1）证明：根据作图可得，又∵∴故答案为：．（2）平分．【点拨】本题考查了基本作图，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，掌握基本作图是解题的关键．23．（1）见分析；（2）垂直平分线段，理由见分析；（3）或【分析】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定和性质，（1）根据题意得，则，根据角平分线的性质得，即可证得；（2）根据等腰三角形性质和角平分线性质得，得到即可证明结论；（3）当，求得，即可求得；当，先求出，进而根据求解．解：（1）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵是角平分线，，，∴，∴．（2）垂直平分线段；理由：，，，，平分，，，，，，垂直平分线段；（3）如图，当，则，∴；如图，当，则，∴综上所述，为或．24．问题情境