专题321双曲线及其标准方程-

专题3.2.1双曲线及其标准方程【基本知识梳理】知识点1：双曲线的定义一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【特别注意】(1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．知识点2：双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1_(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1_(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝c2－a2注意点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(2)a与b没有大小关系．(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.知识点3：求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．或设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过方程组确定m，n.(2)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知识点4：方程表示双曲线的条件(1)对于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，当mn<0时表示双曲线，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．(2)对于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．知识点5：焦点三角形(1)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．(2)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).【题型1双曲线的定义及其理解】【例1】（20232024∙高二上∙浙江∙期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.【详解】若，则，所以方程表示双曲线；若方程表示双曲线，则，解得或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A【变式11】（20232024∙高二上∙山东德州∙期中）若为双曲线，则【答案】或【解析】【分析】利用方程式双曲线，解出不等式即可.【详解】若为双曲线，则或，故答案为：或【变式12】（20232024∙高二上∙江苏徐州∙期中）（多选）已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（A.若，则曲线C表示圆B.若，则曲线C表示椭圆C.若，则曲线C表示双曲线D.若，，则曲线C表示两条直线【答案】ACD【解析】【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.【详解】对于A项，由，是以原点为圆心，为半径的圆，故A正确；对于B项，显然时，不是椭圆，故B错误；对于C项，若，若，两种情况都表示双曲线，故C正确；对于D项，若，若，两种情况均表示两条直线，故D正确.故选：ACD.【变式13】（20232024∙高二上∙湖北武汉∙期中）（多选）A.存在实数，使得该方程对应的图形是圆B.存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线C.存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线D.存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆【答案】ACD【解析】【分析】对ACD采用举例法即可判断其正确，对B分析出为定值，显然不可能.【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确；对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线，则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误；对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确；对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确.故选：ACD.【变式14】（20232024∙高二上∙山东聊城∙期末）（多选）若平面内的动点满足，则（）A.时，点的轨迹为圆B.时，点的轨迹为圆C.时，点的轨迹为椭圆D.时，点的轨迹为双曲线【答案】ABD【解析】【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A，当时，由，得到，其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确，对于选项B，当时，由，得到，整理得到，即，所以选项B正确，对于选项C，当时，由，得到，其表示动点到定点和的距离之和为，又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误，对于选项D，当时，由，得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，故选：ABD.【题型2利用双曲线的定义求线段长度、三角形周长和面积】【例2】（20232024∙高二上∙四川成都∙期中）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义结合焦半径的范围，即可求解．【详解】由已知，又，所以，故选：D．【变式21】（20232024∙高二上∙山东临沂∙月考）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若=12，则的周长为．【答案】36【分析】结合双曲线的定义即可得结果.【详解】由题意=12，则，所以的周长为．故答案为：36.【变式22】（20232024∙高二上∙湖南长沙∙期中）已知分别足双曲线的上､下焦点，过的直线交双曲线于两点，若，则的值为__________.【答案】29【变式23】（20232024∙高二上∙四川达州∙期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是___________.【答案】【解析】【分析】由可得点在圆上，且，利用双曲线定义和勾股定理可得，即可知的面积为.【详解】如下图所示：不妨取点在双曲线的右支上，由可得点在圆上，又易知，所以即为圆的直径，所以，利用双曲线定义可得，利用勾股定理可得，所以，可得，因此的面积为.故答案为：【题型3利用双曲线的定义求最值】【例3】（20232024∙高二上∙江苏宿迁∙期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是________．【答案】##【解析】【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，，，.如图，设双曲线左焦点为，因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.根据双曲线的定义可得，，所以，.所以，.由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.又，所以，所以，有最小值，即有最小值.故答案为：.【变式31】（20222023∙高二上∙吉林∙期中）已知双曲线C:y24−x25A．−2 B．2 C．1 D．−1【答案】D【分析】根据双曲线定义得PF−PA=4+PF【详解】由题意得双曲线焦点在y轴上，a2=4，b2所以下焦点F0,−3，设上焦点为F1，则根据双曲线定义：PF|−|PF1=2a=4，|PF|=4+|PF1|在△PF1A|AF1∴PF故选：D.【变式32】（20232024∙高三下∙山西太原∙模拟）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为0,−6，若动点P位于y轴右侧，且到两定点F1A．3+45 B．3+65 C．4+45【答案】D【分析】先根据双曲线的定义，判断P点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据PF1−PF2=2a和A【详解】由动点P到两定点F1−3,0，结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以F1−3,0，易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2如图：又PF1−P故△APF1的周长为:当且仅当P，A，F2三点共线且P点位于A、F2之间时等号成立，故△APF故选：D【变式33】（20232024∙高二上∙山东泰安∙期末）已知圆C:x2+(y−4)2=1上有一动点A．42−1 B．42−5 C．【答案】D【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】∵在双曲线M:x29−y2∴c2=16，∴设双曲线的右焦点为F2，则F∵Q在双曲线的右支上，∴QF−QF由题知，圆心C0,4，半径r=1，P在圆C∴PQ≥则PQ+当C，Q，F2三点共线且Q位于另两点之间时，QC+Q此时PQ+∴PQ+QF的最小值为故选：D.【变式34】（20232024∙高二下∙上海静安区∙期末）已知点P是双曲线x216−y2A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根据圆的性质分析可得PA−【详解】由双曲线x216−且圆(x+6)2+y2=4(x−6)2+y2=1由圆的性质可知：PA≥可得PA−可知F1−6,0，F2可得PA−所以PA−故选：B.【题型4求双曲线的标准方程】【例4】（20232024∙高二上∙山西∙期中）已知点，，动点A满足A． B．C． D．【答案】B因为，所以A的轨迹为双曲线．设该双曲线的方程为，则，，，所以A的轨迹方程为．【变式41】（20232024∙高二上∙广东肇庆∙期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即，实轴长，即，于是虚半轴长，所以所求双曲线方程为.故选：A【变式42】方程可化简为（）A.B. C. D.【答案】D【变式43】（20232024∙高考∙天津∙真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：C【题型5求双曲线的轨迹方程】【例5】（20232024∙高二上∙广东东莞∙月考）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在【答案】B【分析】由PF【详解】依题意，F1、F2是两个定点，且P满足PF1−故选：B【变式51】（20232024∙高二上∙福建三明∙期中）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A【变式52】（20232024∙高二下∙上海∙阶段测试）已知圆A:(x+2)2+y2=9，圆B:(x−2)2+【答案】x【分析】设圆C的半径为r，根据题意可得CA=r+3,【详解】设圆C的半径为r，圆A:(x+2)2+y2圆B:(x−2)2+y2因为圆C与圆A、圆B外切，则CA=r+3,所以CA−所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支，又2c=4,2a=2，则c=2,a=1,b所以其轨迹方程为x2故答案为：x2【变式53】（20232024∙高二上∙四川绵阳∙期末）如图，定圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是（

A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆【答案】C【难度】0.65【分析】连接QA、OA，由题意可得QA=QP，所以【详解】连接QA、OA，如图所示：

因为l为PA的垂直平分线，所以QA=所以QA−又因为点A在圆外，所以OA>根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线.故选：C.【变式54】（20232024∙高二上∙江苏泰州∙期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的．（1）求点M的轨迹方程；（2）设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点．解:(1)设点（2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，，联立消去整理得，，直线的方程为，令直线过定点（3，0）【题型6双曲线中的焦点三角形问题】【例6】（20232024∙高二上∙山东泰安∙月考）设F1,F2是双曲线x25−【答案】12【分析】由利用双曲线的定义，得到PF1=45,【详解】由双曲线x25−y2因为P是该双曲线上一点，且PF1:即PF在△PF1F可得sin∠所以△PF1F故答案为：12.【变式61】（20232024∙高二上∙福建龙岩∙月考）设F1，F2分别是双曲线x24−y2A．143 B．715 C．153【答案】C【分析】根据双曲线定义得到PF1=10【详解】设PF1=5x，PF2=3x，则由双曲线的定义可得：PF1−PF2=5x−3x=2x=2a=4，所以x=2，故P故选：C.【变式62】（20232024∙高二上∙山