专题111线段垂直平分线（直通中考）（综合练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.11线段垂直平分线（直通中考）（综合练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2022·贵州毕节·统考中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．4．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．6．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）下列尺规作图不能得到平行线的是（）A．B．C． D．7．（2022·广西·中考真题）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（

）A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD8．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（

）A．25 B．22 C．19 D．189．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．若，则AM的长为（

）A．4 B．2 C． D．10．（2013·山东济宁·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·青海·统考中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是.

12．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则．

13．（2023·四川·统考中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为．

14．（2023·西藏·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为．

15．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为．

16．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝．17．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=．18．（2013·山东烟台·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·山东青岛·统考中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：．求作：点P，使，且点P在边的高上．20．（8分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，，，．（1）求证：；（2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）21．（10分）（2014·重庆·统考中考真题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.22．（10分）（2011·浙江杭州·中考真题）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作图：②猜想：③验证：（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．①作图：②猜想：③验证：23．（10分）（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________．给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

24．（12分）（2020·山西·统考中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日

星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）参考答案：1．B【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．解：∵在等腰中，，，∴，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，故选B．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．C【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可．解：由作图可得：为直线的垂直平分线，，，，故选：C．【点拨】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．3．A【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可．解：由作图可知，垂直平分线段，∴，，，故选项B，C，D正确，故选：A．【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4．C【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．解：连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD=3，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=120°∠DAC=90°，∴BD=2AD=6，故选：C．【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．5．D【分析】利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于，则可对D选项进行判断．解：由作法得MN垂直平分BC，∴OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD，所以B选项不符合题意；∵AE=CE，DB=DC，∴DE为△ABC的中位线，∴DEAB，所以C选项不符合题意；∵，∴与不全等；所以D选项符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形中位线性质．6．D【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．7．A【分析】根据中点的作图，可知CD垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质进行作答即可．解：由题意得，CD垂直平分AB，，则B、C、D选项均成立，故选：A．【点拨】本题考查了线段中点作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．8．C【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵，，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C【点拨】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．9．B【分析】根据作图可知垂直平分，，是等腰直角三角形，据此即可求解．解：由作图可得垂直平分，则是等腰直角三角形∴由勾股定理得：故选：B．【点拨】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．10．D解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（3，0），则OB′=3，过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1，则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，∵C′O∥AE，∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故选D．11．13【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解．解：是的垂直平分线．，，的周长，故答案为：13．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．12．/10度【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．解：∵，，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键．13．/56度【分析】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数．解：由作图可知为线段的垂直平分线，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键．14．【分析】根据作图可知：是线段的垂直平分线，即有，再在中，，问题得解．解：连接，如图，

根据作图可知：是线段的垂直平分线，∴，∵，，，∴在中，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，得出是线段的垂直平分线，是解答本题的关键．15．/度【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．解：∵，，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，又，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．16．【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．解：，如图，连结由作图可得：是的垂直平分线，故答案为：【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．17．78【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2（∠A+∠C），再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．解：如图，连接BO并延长，∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=9039=51，∴∠AOC=∠2+∠3=2（∠A+∠C），∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，∴51∠A+2∠A+2∠C+51∠C+39=180，∴∠A+∠C=39，∴∠AOC=2（∠A+∠C）=78，故答案为：78．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．18．108【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．解：如图，连接、，

，为的平分线，，又，，是的垂直平分线，，，，为的平分线，，，点在的垂直平分线上，又是的垂直平分线，点是的外心，，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，，，在中，，故答案为：108．【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质．19．见分析【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点．解：如图，点P为所作．

【点拨】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．20．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立；（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．解：（1）证明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作图形如图，．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．21．（1）证明见分析；（2）①证明见分析；②证明见分析.【分析】（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论.（2）①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论；②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.解：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°∠ACB=45°，∴∠B=∠FCA，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF.（2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G，∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形，∴BG=EG，∠3=45°，AE平分∠BAD，∵BM=2DE，∴BM=2BG，即点G是BM的中点∴EG是BM的垂直平分线，∴∠4=∠3=45°∴∠MEB=∠4+∠3=90°，∴ME⊥BC②∵AD⊥BC，∴ME∥AD，∴∠5=∠6∵∠1=∠5，∴∠1=∠6，∴AM=EM∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN.22．（1）①详见分析;②猜想：∠A+∠B=90°;③验证：详见分析;（2）①详见分析;②猜想：∠B=3∠A;③详见分析;【分析】根据等腰三角形判定作图:（1）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可;②猜想：∠A+∠B=90°，③根据等腰三角形性质可得;（2）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可;②猜想：∠B=3∠A;③根据等腰三角形性质可得;.解：（1）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求②猜想：∠A+∠B=90°，③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△