专题249切线长定理三角形的内切圆（举一反三）（沪科版）

专题24.9切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用切线长定理求解】 1【题型2利用切线长定理证明】 7【题型3由三角形的内切圆求长度】 13【题型4由三角形的内切圆求角度】 17【题型5由三角形的内切圆求面积】 22【题型6由三角形的内切圆求最值】 25【题型7直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】 32【题型8圆外切四边形的计算】 36【题型9一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】 42【题型10三角形内切圆与外接圆的综合运用】 45【知识点1切线长定理】过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【题型1利用切线长定理求解】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点P是半径为r的⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B点，若△PAB是边长为a的等边三角形，则（

A．a=2r B．a=3r C【答案】B【分析】连结OP、OA，OB，根据切线的定理得PA⊥OA，PB⊥【详解】解：连结OP、OA、OB，则OA=∵△PAB是边长为a∴PA=a，∵PA，PB分别切⊙O于A，B∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，OP平分∴∠OPA∴∠OAP∴OP=2∴在Rt△OAP中，∴a=故选：B．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质定理，切线长定理，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式11】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD=PBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作CH⊥PB于H，由垂径定理得到CE的长，从而求出PH的长，由勾股定理求出CH的长，即可求出【详解】解：作CH⊥PB于∵直径AB⊥CD于∴CE=∵PC，PB分别切⊙O于C∴PB=PC=∴四边形ECHB是矩形，∴BH=∴PH=∴CH=∴BE=故选：C．【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH的长．【变式12】（2023春·天津河西·九年级统考期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．(1)若∠BAC=25°，求(2)若∠P=60°，PA=2，求【答案】(1)50°(2)2【分析】（1）先利用切线的性质得到∠CAP=90°，则利用互余计算出∠PAB的度数，再根据切线长定理得到PA(2)连接BC，根据切线的性质得到PA=PB，∠CAP【详解】（1）∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，即∴∠PAB∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=∴∠PBA∴∠P（2）连接CB，∵PA=PB，且∴△PAB∴AB=PA=2∵AC为直径，∴∠CBA在Rt△由勾股定理：AC2=∴⊙O的半径为23【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．【变式13】（2023春·浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且BE=EC=2CF，四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差为73，则CF的长是；连结AD，若⊙O是△ADG【答案】24【分析】设CF=x，表示出相关线段的长，根据四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差，得到S△ABC-S△DEF=73，求出x值即可；连结AD，连接OG并延长交BF于点M，设圆O与AC的切点为H，连接OH，连接AE，作DN⊥AE，垂足为N，证明△ADG为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到【详解】解：∵BE=∴设CF=x，则∴BC=2x+2∵△ABC与△∴S△ABC=∵S△∴43∴x2∴x=2∴CF=2连结AD，连接OG并延长交BF于点M，设圆O与AC的切点为H，连接OH，连接AE，作DN⊥AE，垂足为∵等边△ABC的边长为4×2=8，E为BC∴AE=3CE∵∠DEC∴∠DEN∵DE=3×2=6∴DN=12∴AN=4∴AD=∵AG=AC-∴AG∴∠ADG=90°，∴内切圆半径DH=∵∠HGD∴∠HGO∴OG=2∵∠HGO=30°，∴∠EGM∴∠GME∴OM⊥∵GM=∴OM=∴圆心O到BF的距离为43故答案为：2，43【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的性质，【题型2利用切线长定理证明】【例2】（2023春·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末）如图，RtΔABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；【答案】①②③【分析】①首先连接OE，CE，由OE=OD，PE=PF，易得∠OED+∠PEF=∠ODE②又由BC是直径，可得CE⊥AB，由切线长定理可得GC=③易证得OG是ΔABC的中位线，则可得OG④由于在RtΔABC中，∠A+∠ABC=90°，在RtΔPOE中，∠P+∠POE【详解】解：如图，连接OE，CE，∵OE=OD∴∠OED=∠ODE∵OD∴∠ODE∵∠OFD∴∠OED即OE⊥PE∵点E⊙∴GE为⊙∵点C在⊙O上，OC∴GC为⊙∴故①正确；∵BC∴∠BEC∴∠AEC∵∠ACB∴AC是⊙∴EG∴∠GCE∵∠GCE+∠A∴∠A∴AG=EG∵OC=∴OG是ΔABC∴OG∥AB在RtΔABC中，∠在RtΔPOE中，∠∵OE∴∠OBE但∠POE不一定等于∠∴∠A不一定等于∠P．故故答案为：①②③．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式21】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD=AD+BC（2）求∠AOD的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90°.【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC；（2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数．【详解】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，∴AB+DC=AD+BC（2）连OE、ON、OM、OF，∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE=∠OAN．同理，∠ODN=∠ODF．∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，∴∠OAN+∠ODN=12×180°=90°∴∠AOD=180°﹣90°=90°．【点睛】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形．【变式22】（2023春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径；（2）求证：MN＝NG．【答案】（1）⊙O的半径为4.8；（2）见解析.【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径；（2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12又∵AB∥CD，∴∠GCF+∠EBF=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°；，连接OF，则OF⊥BC，由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC=OB2∵S△BOC=12•OB•OC=12∴6×8=10×OF，∴OF=4.8，∴⊙O的半径为4.8；（2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，∴∠OBC=12∠ABC，∠DCB=2∠DCM∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠DCB）=12∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°90°=90°，∵MN∥OB，∴∠NMC=∠BOC=90°，即MN⊥MC且MO是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线，∴MN=NG．【点睛】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角．【变式23】（2023春·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，⊙O为△CDE的外接圆，CD为直径，AD、BC分别与⊙O相切于点D、C（BC>AD）.E在线段AB上，连接DE并延长与直线BC相交于点P，(1)证明：AB是⊙O的切线(2)如图2，连接OA，OB，求证：OA⊥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OE，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出∠OEC=∠OCE，进而根据BC为切线，∠OCB=90°，（2）根据AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C，根据切线长定理得出AD⊥CD，BC⊥CD，则AD∥BC，∠【详解】（1）证明：连接OE，∵CD为⊙O∴∠CEP=9在RT△CEP中，B为∴EB=∴∠BCE=∠∵OE=∴∠OEC=∠又∵BC为切线，∴∠OCB∴∠OEC∴∠OEB=90°即OE⊥∴AB是⊙O的切线（2）证明：∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C∴AD⊥CD，BC⊥CD，∠∴AD∥∴∠DAE+∠∴∠OAE+∠∴∠AOB=90°∴OA⊥【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．【知识点2三角形的内切圆】三角形内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等【题型3由三角形的内切圆求解】【例3】（2023春·天津西青·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，若⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，且A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，【详解】∵⊙O内切于△∴AD=AF，BD=∵∠A∴△ADF∴AD=∵△ABC的周长为32∴AB+∴AD+∵BC=12∴BE+∴BE+∴AD+∵AD=∴AD=故选：C．【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键．【变式31】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，圆O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．若AB【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形OECD是矩形，可得OD=CE，再由切线长定理可得AF=AE,BF=BD,【详解】解：∵圆O是△ABC∴OE⊥∴∠ODC∴四边形OECD是矩形，∴OD=∵圆O是△ABC∴AF=设OD=∵AB=5∴BC=A∴BF=∵AF+∴3-r解得：r=1即OD=1故答案为：1【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．【变式32】（2023春·天津河西·九年级校考期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF=10，BE=3，则【答案】30【分析】根据切线长定理得出BD=BE，AF=AD，CE=CF，设【详解】解：∵⊙I是直角△ABC的内切圆，且AF=10∴BD=BE=3，∴AB设CE=CF=x，则在Rt△ABC中，AC解得x=2或x∴CE∴BC=5，∴△ABC的面积为1故答案为：30．【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键．【变式33】（2023春·甘肃金昌·九年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，⊙O是的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D【答案】2-【分析】首先连接OD、OF、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A【详解】解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、∴∠ODA又∵OD=∴四边形ODAF是正方形，设OD=则BE=在△ABC中，∠∴BC=又∵BC∴2-r得：r=2-∴⊙O的半径是2-【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握“圆的切线垂直于经过切点的半径”，“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”．【题型4由三角形的内心的有关应用】【例4】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A=84°，则A．42° B．66° C．76° D．82°【答案】B【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出∠BOC的大小，再利用三角形外心的性质得出∠BDC等于【详解】解：连接OB，OC，如图，∵点O是△ABC的内心，∠∴∠OBC=1∴∠==1∴∠BOC∵点O是△DBC∴∠D故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．【变式41】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点I为△ABC的内切圆的圆心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接BD．已知AD=5，BD=3，则A．1 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，利用三角形外角的性质可得∠BID=∠IAB【详解】解：∵点I为△ABC∴IA平分∠BAC，IB平分∠∴∠IAB=∠IAC∵∠IBD=∠IBC+∠DBC∴∠IBD∴ID=∴AI=故选C．【点睛】本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是通过导角证明∠IBD【变式42】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=50°，点I

（1）∠BIC=（2）若BI的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E，当∠ACB=【答案】11580【分析】（1）根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，根据BI、CI分别平分∠ABC、∠（2）根据角平分线的性质求出∠E=12∠A=25°，根据当∠【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠∴∠ABC∵点I是△ABC∴BI、CI分别平分∠ABC、∠∴∠CBI=1∴∠=180°-=180°-=115°；故答案为：115；（2）∵∠ACD是△∴∠ACD∵CE平分∠ACD∴∠DCE∵∠DCE∴∠E∵∠CBE∴∠E∵当∠ABE=∠E∴此时∠ABC∴∠ACB故答案为：80．【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点．【变式43】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A0,6，点B8,0，I是（1）AB=（2）点I关于x轴对称的点的坐标是．【答案】10（2，2）【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）根据I是△OAB的内心，利用OM=ON，BM=BE，AE=AN，得出AE+BE=6x+8x=10【详解】解：（1）∵点A0,6，点B∴OA=6，OB=8，在Rt△OAB中，AB=OA（2）连接OI，BI，AI，过I作IM⊥OB，IN⊥OA，IE⊥AB，∵I是△OAB∴OM=ON，BM=BE，AE=AN，设OM=ON=x，则BM=BE=8x，AN=AE=6x，∴AE+BE=6x+8x=10，解得：x=OM=ON=2，∴I的坐标为（2，2），∴点I关于x轴对称的点的坐标是（2，2）．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．【题型5坐标系中的三角形内切圆】【例5】（2023·山东日照·日照市田家炳实验中学校考一模）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（）A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）【答案】D【分析】由勾股定理得出AB=5，得出Rt△OAB内切圆的半径=1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3+5+4+1，1），得出规律为每滚动3次一个循环，由2019÷3=673，即可得出答案．【详解】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=OA2∴Rt△OAB内切圆的半径＝12（3+4﹣5）＝1∴P的坐标为（1，1），∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），每滚动3次一个循环，∵2019÷3＝673，∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，即P2019的横坐标是8077，∴P2019的坐标是（8077，1）；故选D．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标与图形性质，根据题意得出规律是解题的关键．【变式51】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角边BC在x轴上，其内切圆的圆心坐标为I0,1，抛物线y【答案】-【分析】先求出内切圆半径为1，再设AE=x，OB=y，则AC=x+1，BC=y+1，由直角三角形性质，得AB=2AC，即AB=2x+1，根据切线长定理得，AB=AD+BD=AE+OB，则2x+1=x【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°∴CE=OC=OI=1∴AB=设AE=x，∴AC=x∵∠ABC∴AB=2AC，即2x+1=由勾股定理，得x+1化简得3x把①代入②解得：x=∴AC=∴A-∵y=∴抛物线y=ax∵抛物线y=ax∴3+1=1-∴a=-故答案为：-3【点睛】本题考查直角三角形内切圆，切线长性质，勾股定理，直角三角形性质，二次函数图象性质，求出点A坐标是解题的关键．【变式52】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，求点D的坐标．【答案】点D的坐标为（1，3.5）．【分析】可作辅助线，运用圆的切线长定理求出CM的长度,进而求出OM的长度,此即点D的横坐标;运用三角形的面积公式求出DM的长度,此即点D的纵坐标.【详解】如图，连接DA、DB、DC、DM、DN、DP；∵⊙D为△ABC的内切圆，∴AN=AP（设为λ），BM=BN（设为μ），CM=CP（设为γ）；DM⊥BC，DN⊥AB，DP⊥AC；∵A、B、C三点的坐标分别为A（0，8），B（–6，0），C（15，0），∴由勾股定理得：AB=10，AC=17，BC=21；∴λ+μ=10λ+γ∴OM=OC–CM=15–14=1；设⊙D的半径为φ，∵△ABC的面积=△ADB、△ADC、△BDC的面积之和，∴由面积公式得：12BC•AO=12（AB+AC+BC）•φ解得φ=72，即DM=7