专题313一次方程与方程组章末十六大题型总结（培优篇）（沪科版）

专题3.13一次方程与方程组章末十六大题型总结（培优篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1一元一次方程的遮挡问题】 1【题型2一元一次方程的错解问题】 3【题型3根据两个一元一次方程解的关系求值】 5【题型4判断方程解的情况】 8【题型5等式的基本性质的运用】 10【题型6一元一次方程的解法】 12【题型7一元一次方程与图表问题】 14【题型8列一元一次方程并求解】 19【题型9二元一次方程（组）的概念辨析】 20【题型10二元一次方程组的解】 22【题型11同解方程组】 24【题型12方程组的一般解法】 27【题型13根据方程组解的关系求参数值】 29【题型14根据二元一次方程组解的情况求值】 32【题型15构造二元一次方程组求解】 34【题型16二元一次方程组的应用】 36【题型1一元一次方程的遮挡问题】【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：2x-12=12A．2 B．﹣2 C．﹣12 D．【答案】A【分析】设被墨水覆盖的数是y，将x=1代入，解含有y的方程即可得到答案.【详解】设被墨水覆盖的数是y，则原方程为：2x-∵此方程的解是x=1，∴将x=1代入得：-2-∴y=2,故选：A.【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的解.【变式11】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲【答案】6【分析】设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2x+【详解】解：设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2得4+a解得：a=6即▲处的常数是6．故答案为：6．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式12】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：-6(1)如果被污染的数字是12，请计算-(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．【答案】(1)-(2)3【分析】（1）将被污染的数字12（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：-=(-6)×=-1-8=-9；（2）设被污染的数字为x，根据题意得：-6解得：x=3答：被污染的数字是3．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．【变式13】小磊在解方程321-■-x3=x-1【答案】3【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．【详解】解：设“■”表示的数为a，将x=2332解得a=3，即“■”表示的数为3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．【题型2一元一次方程的错解问题】【例2】小乐在解方程5a-x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1【答案】1【分析】根据题意，方程5a+x6﹣1＝0的解是x【详解】把x＝1代入方程5a+x6﹣1＝0中得：5a解得：a＝1，则原方程为5-x6﹣1＝解得：x＝﹣1，故答案是：﹣1．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入先求出a的值，然后求解，读懂题意是关键．【变式21】马小虎同学在解关于x的方程1-x=-2x-2a时，误将等号右边的“-2a”看作A．x=2 B．x=3 C．x=4【答案】B【分析】先将x=-5代入1-x=-2x+2【详解】解：由题意知：x=-5是方程1-∴1--解得a=1∴原方程为1-x解得x=3故选B．【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．【变式22】小明在解方程x-解：2x-1-2x-2-x2x-x--8x=-8……x=1……第⑤(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．【答案】(1)去分母；等式性质2(2)①，第二个分子x+1(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来(4)见解析【分析】（1）（2）（3）直接根据解一元一次方程的方法作答即可；（4）先方程两边同时乘以6，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1．【详解】（1）去分母，等式性质2；（2）①，第二个分子x+1（3）去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来（答案不唯一）（4）正确解答如下：去分母，得：2去括号，得：2移项，得：2合并同类项，得：-系数化为1，得：x=【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号；去分母时，一是注意不要漏乘没有分母的项，二是去掉分母后把分子加括号．【变式23】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣2）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．【答案】x=15【分析】根据题意，得到等号右边的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”的方程，解方程得到a的值，将a的值代入原方程可求得正确的解．【详解】解：根据题意，将x=11代入2（x+2）=a+3（x﹣2），得：2（11+2）=a+3（11﹣2），解得a=﹣1，所以原方程为2x解得：x【点睛】考查一元一次方程的解,解一元一次方程，比较基础，得到a的值是解题的关键.【题型3根据两个一元一次方程解的关系求值】【例3】已知关于x的方程3x-1-m=m(1)求方程②的解；(2)求m的值．【答案】(1)x(2)m【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；（2）根据题意可得方程①的解为x=4，再代入方程①，得到关于m【详解】（1）解：2去括号得：2x移项得：2x合并同类项得：3x解得：x=3（2）解：因为方程①比方程②的解大1，∴方程①的解为x=4把x=4代入方程①得，3×解得m=5【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．【变式31】已知方程2-3x+1=0的解与关于x的方程k【答案】k【分析】先解方程2-3x+1=0得到x=-13，进而得到关于x的方程k+x2【详解】解：2-3去括号得：2-3x移项得：-3合并同类项得，-3系数化为1得：x=-∵方程2-3x+1=0的解与关于x∴关于x的方程k+x∴k+解得k=-1【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式32】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y-13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：(1)求当x=3时，代数式5(2)求原方程中■的值．【答案】(1)4(2)7【分析】（1）先把所求代数式去括号，然后合并同类项化简，再把x=3（2）根据（1）所求得到y=4，把y【详解】（1）解：5=5=3x当x=3时，原式=3×3-5=4（2）解：由题意得，方程2y-1∴2×4-1∴■=71【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元一次方程的解，正确计算出（1）中代数式的值是解题的关键．【变式33】已知关于x的方程x-m2=x+m【答案】-【分析】先将x+12=3x-【详解】解：∵x+1∴x=1由题意可知：x=1是x∴1-解得：m=-故答案为：-3【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．【题型4判断方程解的情况】【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3x有无数解，则mA．-1 B．C．2 D．以上答案都不对【答案】B【分析】首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程mx+23=n【详解】解：mxm+1∵关于x的方程mx+∴m+1=0，n2=0，解得m=1，n=2，∴m+n=1+2=1．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确对方程进行化简是关键．【变式41】若关于x的方程a3x=x【答案】1【分析】先去分母可得，(2a-2)【详解】解：原方程去分母得，2ax移项得，2ax合并同类项得，2(a系数化1得，x=∴a-1=0，则故答案是：1．【点睛】本题考查的是一次方程无解的知识点，掌握x=ba无解时，满足b【变式42】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．【答案】z=0【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．【详解】关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=2a∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，∴a≠0，∵2+y=（b+1）y，∴2+y=by+y，∴by=2，∴y=2b∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，∴b=0，关于z的方程az=b可以简化为：z=ba∵a≠0，b=0，∴z=0．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．【变式43】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【答案】D【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n∵有至少两个不同的解，∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，即m＝﹣2，n＝6，把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．故选：D．【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．【题型5等式的基本性质的运用】【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．答：“？”处应放〇的个数是3个．故选：C．【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．【变式51】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a=b=.【答案】32【详解】分析：先将等式转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则x的系数为0由此可求得a、b的值．详解：将等式ax﹣3x=2+b转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则a﹣3=0，解得：a=3，此时，2+b=0，解得：b=﹣2．

故答案为3，﹣2．点睛：本题主要考查了等式的性质，解题的关键是要善于利用题目中的隐含条件：“不论x取何值，等式永远成立”．【变式52】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少次可以找出这个较轻的球．【答案】3【分析】先把15个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，【详解】解：先把15个球分成5个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，故至少3次可以找出这个较轻的球．故答案为：3【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键【变式53】已知实数a、b、c满足a-b=A．a可能为-1 B．若a、b、c中有两个数相等，则C．若c≠0，则1a-1b【答案】D【分析】a=-1，a-b=ab=c，则-1-b=-b，等式不成立，故A错误；B分三种情形讨论即可；C由c≠0，a-b=ab=【详解】A.∵a=-∴-1-bB.分三种情形讨论：当a=b时，a-当a=c时，a-b=ab=当b=c时，a-b=ab=c，则C.由c≠0，a-b=ab=cD∵c=1，∴a-b∵a∴1解得：a2故选：D．【点睛】本题考查等式的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于常考题型．【题型6一元一次方程的解法】【例6】解方程:x0.7【答案】x【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．【详解】解：原方程可化为：10x去分母，可得：30x去括号，可得：30x移项，可得：30x合并同类项，可得：170x系数化为1，可得：x=【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．【变式61】解方程：x-【答案】x【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．【详解】方程两边分别通分后相加，得3x化简，得11x去分母得：3011去括号得：330x移项合并得：342解得：x=【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．【变式62】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．【答案】x=4【分析】方程两边去括号后，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．【详解】解：去括号得：2x3+8x2﹣3x﹣12=x﹣4+2x3+8x2﹣6x，

移项合并得：2x=8，系数化为1得：x=4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，解题关键是熟练运用整式运算法则进行化简方程，准确地解一元一次方程．【变式63】解方程：x【答案】x【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．【详解】x裂项，得x化简，得x通分，得4系数化为1，得x【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．【题型7一元一次方程与图表问题】【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的

A．1或-1 B．-1或-4 C．-3或-6【答案】C【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数，确定a=-1或a=2，从而求出【详解】解：如图，

∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4，横、竖以及内外两圈上的4∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，∴-7+6+8+∴b=-5∵6+4+b∴6+4-5+c=2，解得∵a+∴a∴a+∴a=-1或a当a=-1时，d=2，此时当a=2时，d=-1，此时即a+b的值为-3故选：C．【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，d的可能取值是解题的关键．【变式71】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）

(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．【答案】(1)5(2)不能【分析】（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，设中间的数为a，上面的为a-12，下面的为a+12，左面的为a-2，右面的为a（2）代入295后，若求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．【详解】（1）从表格知道中间的数为a，上面的为a-12，下面的为a+12，左面的为a所以十字框框住的5个数字之和为：a+（2）不能，理由如下：由题意知，5a解得a=59因为59是整数且位于第五行，第六列，处于最右边，没有更右边的数，不符合题意．所以十字框框住5个数字之和不能等于295．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数字变化规律，理解题意能力和看表格能力，关键是找到题目的等量关系．【变式72】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是．49216a357111581612

图（1）

图（2）【答案】9【分析】设a下方的数为m，右上角的数为n，则第二横行三个数的和为11+m+15，由第一竖列三个数的和为39，可知每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，于是列方程得11+m+15=39，求得m=13，再由对角线三个数的和列方程得n+13+12=39，求得【详解】设a下方的数为m，右上角的数为n，∵16+11+12=39，∴每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，根据题意得11+m解得m=13∴n+13+12=39解得n=14∴16+a解得a=9故答案为：9．【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二横行三个数的和并且求出a下方的数是解题的关键．【变式73】生活与数学

(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是；(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是；(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是；(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期；(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．

【答案】(1)3(2)14(3)10(4)二(5)①9倍；②40；③不可能【分析】（1）先根据日历上的数据规律，设第一个数是x,其他的数为x+1（2）根据日历上的数据规律，设第一个数是a,其他的数为a+1（3）根据日历上的数据规律，设中间的数是b,根据5个数的和是50列方程求解即可；（4）根据日历上的数据规律，设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m-（5）①通过计算可以得出结论；②根据①的规律，设中间的数是n,列方程求解即可；③根据①的规律，设中间的数是t,列方程求解即可．【详解】（1）解：设第一个数是x,其他的数为x+1则x+x+1+故答案为：3．（2）解：设第一个数是a,其他的数为a+1则a+a+1+则a+1=8故答案为：14．（3）解：设中间的数是b,则b+1+b故答案为：10．（4）解：设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m-则m+m-∴这个月中最后一天是星期二．故答案为：二．（5）解：①2+4+6+18+20+22+34+36+38=180=9×20，故答案为：9个数的和是中间的数的9倍；②根据规律可知，和是中间的数的9倍，设中间的数是n,则9n=360，解得故答案为：40；③不可能，理由如下：设中间的数是t,则9t=450，解得t∵50是最左边第1列上的数，∴不可能存在．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和数字变化的规律，关键找出规律、列方程是解答本题的关键．【题型8列一元一次方程并求解】【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10xA．13 B．23 C．411【答案】C【分析】根据题意可得，设x=0.36【详解】解：设x=0.3解得x=4故选：C【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程．【变式81】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是．【答案】48【分析】设相等的数为x，依次表示出拆成的4个数，根据4个数的和为75列方程即可求得相等的数，进而求得拆成的4个数，从而可判断最大的数．【详解】解：设相等的数为x，则拆成的4个数为：(x-4)，(x＋由题意得：(x-4)+(解得：x=12则x-4=8，x＋4=16，故最大的数是48．故答案为：48．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，用相等的数去表示拆成的4个数是解决本题的突破点，难度一般．【变式82】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是．【答案】15、17、19【分析】此题可利用“三个连续奇数的和是51”作为相等关系列方程求解；【详解】设最小的奇数为x，则x解得：x故这三个数分别为：15，17，19；故答案为：15，17，19【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解；此题中要熟悉连续奇数的表示方法，相邻的两个连续奇数相差2．【变式83】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，给这个两位数加上18后，比十位数字大56，这个两位数是（）A．42 B．24 C．33 D．51【答案】A【分析】设这个两位数的十位数字是x，则个位数字是6-x【详解】解：设这个两位数的十位数字是x，则个位数字是6-x，由题意得10解得：x∴这个两位数是42．故选A．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．【题型9