河南省平顶山市汝州市有道实验学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年河南省平顶山市汝州市有道实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.把一元二次方程，配成的形式，则p、q的值是(

)A.， B.， C.， D.，2.如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则(

)A.

B.

C.

D.13.已知，则的值是(

)A. B. C. D.4.如图，在中，，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，，，则(

)A.2

B.3

C.4

D.5.如图，如图，等边的边长为3，P为BC上一点，且，D为AC上一点，若，则CD的长是(

)A.

B.

C.

D.6.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则为(

)A.

B.

C.

D.7.一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为(

)A.60个 B.50个 C.40个 D.30个8.若m，n是方程的两根，则的值是多少？(

)A.4 B. C. D.9.如图，，，点D在边BC上与B、C不重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：

①；

②：：2；③；

④，其中正确的结论的个数是A.

1 B.

2 C.

3 D.

410.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为(

)A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______.12.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是______.13.某电脑的密码是两位数字，如果陌生人想打开该电脑，那么他一次就能打开电脑的概率是______.14.如图，矩形ABCD中，，，P为CD边上的动点，当与相似时，________.

15.已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交外角的平分线于点F，若，则FG的长为______.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题8分

如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？17.本小题8分

某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的倍．

当每个纪念品定价为元时，商店每天能卖出______件；

如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？18.本小题8分

如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系内.

如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______.

如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转，求点B的坐标.19.本小题8分

为响应垃圾分类处理，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分别记为a、b、c、d，且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，不可回收垃圾，“有害垃圾箱，分别记为A，B，C，

如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是______；

小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率．20.本小题8分

如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点

若，，求EF的长；

若G是EF的中点，连接BG和DG，求证：21.本小题8分

如图，在中，CD是边AB上的高，且，

求的大小；

求证22.本小题8分

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，，连接EF并延长交BC的延长线于点

求证：；

若正方形的边长为4，求BG的长．23.本小题8分

如图，在四边形ABCD中，AC平分，，，点E为AB的中点，

求证：∽

若，，求的值.

在的条件下，______直接写答案

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查解一元二次方程-配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程．

移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．

【解答】解：，

，即，

则，，

故选2.【答案】C

【解析】解：，

，

，

故选：

根据平行线分线段成比例定理得到，根据比例性质得，于是得到

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．3.【答案】D

【解析】解：由，得

，

，

故选：

根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．

本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键．4.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出

根据直角三角形的性质得出，进而得出，利用勾股定理解答即可．

【解答】

解：在中，，CE为AB边上的中线，，

，

，

，

为AB边上的高，

在中，

故选5.【答案】C

【解析】解：为等边三角形，

，

又，且，

，

∽，

，

，，

，

，

故选：

由等边三角形的性质结合条件可证明∽，由相似三角形的性质可求得

本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件能找到是解题的关键，注意三角形外角性质的灵活运用．6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

由正方形的性质和等边三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质和内角和得出，再运用三角形的外角性质即可得出结果．

【解答】

解：四边形ABCD是正方形，

，，，

是等边三角形，

，，

，，

，

；

故选：7.【答案】C

【解析】解：小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，

白球与红球的数量之比为1：4，

白球有10个，

红球有个

故选

由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；所以摸到白球与摸到红球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数．

本题考查的利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例．8.【答案】A

【解析】解：，n是方程的两根，

，，

，

故选：

根据根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式求出，进而可得答案．

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．9.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

由正方形的性质得出，，证出，由AAS证明≌，得出，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出∽，得出对应边成比例，得出，④正确．

【解答】

解：四边形ADEF为正方形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，①正确；

，

，

，，

，

，，

四边形CBFG是平行四边形，

又，

四边形CBFG是矩形，

，，②正确；

，，

，③正确；

易证，

，，

∽，

，

，④正确；

故选10.【答案】D

【解析】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作于

四边形OABC是菱形，

，，，A、C关于直线OB对称，

，

此时最短，

在中，，

，

，

，，

点B坐标，

直线OB解析式为，直线AD解析式为，

由解得，

点P坐标

故选：

如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作于首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．

本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．11.【答案】

【解析】解：方程有实数根，

，

解得：

若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

本题考查擦的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．12.【答案】

【解析】解：七月份生产零件50万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，

八月份的产量为万个，九月份的产量为万个，

故答案为

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程.

根据七月份的产量表示出八月和九月的产量即可列出方程．13.【答案】

【解析】解：这两个数字每个数都有，10种情况，

这个两位数字共有种等可能的结果，

陌生人一次就能打开电脑的结果有1种，

他一次就能打开电脑的概率是，

故答案为：

先判断出共有种等可能的结果，再根据概率公式即可得出结论．

本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．判断出共有100种等可能的结果是解题的关键．14.【答案】1或4或

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解.需要分类讨论：∽和∽，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度.

【解答】

解：①当∽时，，

即，

解得：，或；

②当∽时，，即，

解得：

综上所述，DP的长度是1或4或

故答案是1或4或15.【答案】

【解析】解：过点F作于H，于N，设的外角为，

平分，，，

，，

，

，

，

，

，

，

点E是边AB上靠近点B的四等分点，

，

，

将线段EC绕点E旋转，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，，

∽，

，

过点F作于H，于N，由“HL”可证，可得，可证，由勾股定理可求FC的长，通过证明∽，可得，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．16.【答案】解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似，

，

解得，，

答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似．

【解析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可．

本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应边的比相等是解题的关键．17.【答案】解：；

设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得

整理得：

解之得：，

物价局规定，售价不能超过批发价的倍．即

不合题意，舍去，得

答：应定价4元/个，才可获得800元的利润．

【解析】解：每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨元，其销售量将减少10件，

当每个纪念品定价为元时，商店每天能卖出：件；

故答案为：450；

见答案．

直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨元，其销售量将减少10件，进而得出当每个纪念品定价为元时，商店每天能卖出的件数；

利用销量每件利润，进而得出等式求出答案．

此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．18.【答案】

【解析】解：如图，作轴于D，则，，

，，

点的坐标为，

故答案为：

如图，连接OB，过点B作轴于E，则，，

，

在中，，

在中，，，

点B的坐标为

作轴于点D，则，，求出AD和OD，即可得出点A的坐标；

连接OB，过点B作轴于E，根据旋转角为，可得，求出，再利用勾股定理求出OB，然后在中，利用含直角三角形的性质和勾股定理求出BE和OE，进而可得点B的坐标．

本题考查了旋转变换，正方形的性质，坐标与图形性质，含直角三角形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是作辅助线构造含的直角三角形．19.【答案】

【解析】解：将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱有4种等可能结果，其中投放正确的只有1种结果，

投放正确的概率是，

故答案为：；

列表如下：ABCDABCD所有等可能的情况数有16种，其中垃圾投放正确的有1种，

垃圾投放正确的概率为

直接利用概率公式求解可得答案；

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：四边形ABCD是矩形，

，，

，

平分，

，

，

，，

，

在中，利用勾股定理可得：

；

连接CG，

因为是等腰直角三角形，G为EF中点，

，

又，

在和中，

，

≌

【解析】先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，在中利用勾股定理可求EF；

连接CG，在等腰直角中，证明，，然后用SAS证明≌，则

本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决这类问题时，特殊四边形中有角平分线一般涉及了等腰三角形性质，证明线段相等一般利用全等三角形的性质．21.【答案】解：是边AB上的高，

，